Конформно плоский коллектор

Верхний коллектор плоский. Нижнего нет, но он конформен первому.

( Псевдо -) риманово многообразие является конформно плоским, если каждая точка имеет окрестность, которая может быть отображена в плоское пространство с помощью конформного преобразования .

На практике метрика ${\ displaystyle g}$ коллектора ${\ displaystyle M}$ должен быть конформным плоской метрике ${\ displaystyle \ eta}$, т. е. геодезические сохраняются во всех точках${\ displaystyle M}$углы, перемещаясь от одного к другому, а также оставляя нулевые геодезические неизменными ^[1], что означает, что существует функция${\ Displaystyle \ лямбда (х)}$ такой, что ${\ Displaystyle г (х) = \ лямбда ^ {2} (х) \, \ eta}$, куда ${\ Displaystyle \ лямбда (х)}$известен как конформный фактор и${\ displaystyle x}$ - точка на многообразии.

Более формально, пусть ${\ displaystyle (M, g)}$- псевдориманово многообразие. Затем${\ displaystyle (M, g)}$ конформно плоский, если для каждой точки ${\ displaystyle x}$ в ${\ displaystyle M}$, существует окрестность ${\ displaystyle U}$ из ${\ displaystyle x}$и гладкая функция ${\ displaystyle f}$ определено на ${\ displaystyle U}$ такой, что ${\ displaystyle (U, e ^ {2f} g)}$является плоской (т.е. кривизну из${\ displaystyle e ^ {2f} g}$ исчезает на ${\ displaystyle U}$). Функция${\ displaystyle f}$ нет необходимости определять все ${\ displaystyle M}$.

Некоторые авторы используют определение локально конформной плоскости, когда упоминают лишь какую-то точку.${\ displaystyle x}$ на ${\ displaystyle M}$и зарезервировать определение конформно плоского для случая, когда соотношение справедливо для всех${\ displaystyle x}$ на ${\ displaystyle M}$.

Примеры

• Всякое многообразие постоянной секционной кривизны конформно плоское.
• Всякое двумерное псевдориманово многообразие конформно плоское. ^[1]
  • Метрика двумерных сферических координат, подобная той, которая используется в географической системе координат ,

  ${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \,}$, ^[2] имеет метрический тензор${\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & sin ^ {2} \ theta \ end {bmatrix}}}$ и не является плоским, но со стереографической проекцией может быть отображено на плоское пространство с использованием конформного фактора${\ Displaystyle 2 \ над (1 + г ^ {2})}$, куда ${\ displaystyle r}$- расстояние от начала плоского пространства, ^[3] получаем

  ${\ displaystyle ds ^ {2} = d \ theta ^ {2} + \ sin ^ {2} \ theta \, d \ phi ^ {2} \, = {\ frac {4} {(1 + r ^ { 2}) ^ {2}}} (dx ^ {2} + dy ^ {2})}$.

• Трехмерное псевдориманово многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда тензор Коттона равен нулю.
• П - мерное псевдориманово многообразие для п ≥ 4 конформно плоским тогда и только тогда , когда тензор Вейля обращается в нуль.
• Всякое компактное , односвязное , конформно евклидово риманово многообразие конформно эквивалентно круглой сфере . ^[4]

• Стереографическая проекция обеспечивает систему координат сферы , в которой конформная плоскостность является явной, так как метрика пропорциональна плоским.

• В общей теории относительности часто можно использовать конформно плоские многообразия, например, для описания метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уолкера . ^[5] Однако было также показано, что не существует конформно плоских срезов керровского пространства-времени . ^[6]

Например, метрика Крускала-Секереса

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2GM} {r}} \ right) dv \, du}$ имеет метрический тензор ${\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 - {\ frac {2GM} {r}} \\ 1 - {\ frac {2GM} {r}} & 0 \ end {bmatrix}}}$а так не плоский. Но с преобразованиями${\ Displaystyle т = 1/2 (v + u)}$ е ${\ Displaystyle х = 1/2 (ВУ)}$

становится

${\ displaystyle ds ^ {2} = \ left (1 - {\ frac {2m} {r}} \ right) (dt ^ {2} -dx ^ {2})}$ с метрическим тензором ${\ displaystyle g_ {ik} = {\ begin {bmatrix} 1 - {\ frac {2GM} {r}} & 0 \\ 0 & 1 - {\ frac {2GM} {r}} \ end {bmatrix}}}$,

которая является плоской метрикой, умноженной на конформный фактор ${\ displaystyle 1 - {\ frac {2GM} {r}}}$. ^[7]

См. Также

• Теорема Вейля – Схоутена.
• конформная геометрия
• Проблема Ямабе

Ссылки