Проблема Ямабе относится к гипотезе в математической области дифференциальной геометрии , которая была разрешена в 1980-х годах. Это утверждение о скалярной кривизны в римановых многообразий :
Пусть ( M , g ) - гладкое замкнутое риманово многообразие. Тогда существует положительная и гладкая функция f на M такая, что риманова метрика fg имеет постоянную скалярную кривизну.
Вычислив формулу того, как скалярная кривизна fg соотносится с кривизной g , это утверждение можно перефразировать в следующей форме:
Пусть ( M , g ) - гладкое замкнутое риманово многообразие. Тогда существует положительная гладкая функция φ на M и число c такие, что
Здесь n обозначает размерность M , R g обозначает скалярную кривизну g , а ∆ g обозначает оператор Лапласа-Бельтрами для g .
Математик Хидехико Ямабе в статье Ямабе (1960) представил приведенные выше утверждения как теоремы и представил доказательство; однако Трудингер (1968) обнаружил ошибку в своем доказательстве. Проблема понимания того, являются ли приведенные выше утверждения истинными или ложными, стала известна как проблема Ямабе. Совместная работа Ямабе, Трюдингера, Тьерри Обена и Ричарда Шёна позволила утвердительно решить эту проблему в 1984 году.
В настоящее время она рассматривается как классическая проблема геометрического анализа , для доказательства которой требуются новые методы в области дифференциальной геометрии и уравнений в частных производных . Решающим моментом в окончательной резолюции Шена о проблеме было применение теоремы положительной энергии в общей теории относительности , которая является чисто дифференциально-геометрическая математическая теорема доказана впервые (в предварительной настройке) в 1979 году Шена и Shing-Tung Яу .
Недавно появилась работа Саймона Брендла , Маркуса Хури, Фернандо Кода Маркеса и Шона , посвященная совокупности всех положительных и гладких функций f таких, что для данного риманова многообразия ( M , g ) метрика fg имеет постоянная скалярная кривизна. Кроме того, проблема Ямабе, поставленная в аналогичных постановках, например, для полных некомпактных римановых многообразий, еще полностью не понята.
Проблема Ямабе в частных случаях
Здесь мы имеем в виду «решение проблемы Ямабе» на римановом многообразии как риманову метрику g на M, для которой существует положительная гладкая функция с участием
На замкнутом многообразии Эйнштейна
Позволять - гладкое риманово многообразие. Рассмотрим положительную гладкую функцию чтобы - произвольный элемент гладкого конформного класса Стандартное вычисление показывает
Принимая продукт g -inner с приводит к
Если считается Эйнштейном, то левая часть обращается в нуль. Если считается замкнутым, то можно выполнить интегрирование по частям, вспоминая тождество Бианки чтобы увидеть
Если R имеет постоянную скалярную кривизну, то правая часть обращается в нуль. Последующее обращение в нуль левой части доказывает следующий факт, сделанный Обатой (1971):
Каждое решение проблемы Ямабе на замкнутом многообразии Эйнштейна - это решение Эйнштейна.
Затем Обата доказал, что, за исключением случая стандартной сферы с ее обычной метрикой постоянной секционной кривизны, единственные метрики постоянной скалярной кривизны в конформном классе метрики Эйнштейна (на замкнутом многообразии) являются постоянными кратные данной метрике. Доказательство продолжается, показывая, что градиент конформного фактора на самом деле является конформным полем Киллинга. Если конформный фактор непостоянен, отслеживание линий потока этого градиентного поля, начиная с минимума конформного фактора, позволяет показать, что многообразие конформно связано с цилиндром, а значит, имеет нулевую кривизну Вейля.
Некомпактный случай
Близким к этому вопросу является так называемая «некомпактная проблема Ямабе», которая спрашивает: верно ли, что на каждом гладком полном римановом многообразии ( M , g ), которое не является компактным, существует метрика, конформная g , имеет постоянную скалярную кривизну и тоже является полной? Ответ отрицательный, благодаря контрпримерам, приведенным Джином (1988) . Известны различные дополнительные критерии, с помощью которых можно показать, что решение проблемы Ямабе для некомпактного многообразия существует (например, Aviles & McOwen (1988) ); Однако получение полного понимания того, когда проблема может быть решена в некомпактном случае, остается предметом исследования.
Смотрите также
Рекомендации
Исследовательские статьи
- Обен, Тьерри (1976), "Различные нелинейные уравнения и проблемы Ямабе, касающиеся курса обучения", J. Math. Pures Appl. , 55 : 269–296
- Aviles, P .; McOwen, RC (1988), "Конформная деформация к постоянной отрицательной скалярной кривизне на некомпактных римановых многообразиях", J. Differ. Геом. , 27 (2): 225-239, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214441781 , МР 0925121
- Джин, Жирень (1988), "Контрпример к проблеме Ямабе для полных некомпактных многообразий", Lect. Notes Math. , Лекции по математике, 1306 : 93-101, DOI : 10.1007 / BFb0082927 , ISBN 978-3-540-19097-4
- Ли, Джон М .; Паркер, Томас Х. (1987), "Проблема Ямаба" , Бюллетень Американского математического общества , 17 : 37-81, DOI : 10,1090 / s0273-0979-1987-15514-5.
- Обата, Морио (1971), "Гипотеза о конформных преобразованиях риманова многообразия", Ж. Дифференциальная геометрия , 6 : 247-258, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214430407 , МР 0303464
- Шен, Ричард (1984), "Конформная деформация римановой метрики к постоянной скалярной кривизне", J. Differ. Геом. , 20 (2): 479-495, DOI : 10,4310 / Jdg / 1214439291
- Trudinger, Neil S. (1968), "Замечания о конформной деформации римановых структур на компактных многообразиях" , Ann. Scuola Norm. Как дела. Пиза (3) , 22 : 265–274, MR 0240748
- Ямабе, Хидехико (1960), "О деформации римановых структур на компактных многообразиях" , Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37, ISSN 0030-6126 , MR 0125546
Учебники
- Обен, Тьерри. Некоторые нелинейные задачи римановой геометрии. Монографии Спрингера по математике. Springer-Verlag, Берлин, 1998. xviii + 395 с. ISBN 3-540-60752-8
- Schoen, R .; Яу, С.-Т. Лекции по дифференциальной геометрии. Конспекты лекций подготовили Вэй Юэ Дин, Кунг Чинг Чанг [Гун Цин Чжан], Цзя Цин Чжун и И Чао Сюй. Перевод с китайского Дин и С.Ю. Ченг. С предисловием, переведенным с китайского Кайсинг Цо. Материалы конференции и конспекты лекций по геометрии и топологии, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v + 235 pp. ISBN 1-57146-012-8
- Струве, Майкл. Вариационные методы. Приложения к нелинейным уравнениям в частных производных и гамильтоновым системам. Четвертое издание. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных обзоров по математике], 34. Springer-Verlag, Berlin, 2008. xx + 302 pp. ISBN 978-3-540-74012-4