В электромагнетизме , то электромагнитный тензор или тензор электромагнитного поля (иногда называемый тензор напряженности поля , тензор Фарадея или Максвелл бивектор ) представляет собой математический объект , который описывает электромагнитное поле в пространстве - время. Тензор поля был впервые использован после того, как четырехмерная тензорная формулировка специальной теории относительности была введена Германом Минковским . Тензор позволяет очень кратко записать связанные физические законы.
Определение
Электромагнитный тензор, условно обозначенный F , определяются как внешняя производная от электромагнитного потенциала , A , дифференциальной 1-формы: [1] [2]
Следовательно, F является дифференциальной 2-формой, т. Е. Антисимметричным тензорным полем ранга 2, на пространстве Минковского. В компонентной форме
где является четырехградиентным иэто четырехпотенциал .
Единицы СИ для уравнений Максвелла и в знак конвенция физики частицы для подписи в пространстве Минковского (+ - - -) , будут использоваться в этой статье.
Связь с классическими полями
В электрических и магнитных полей , могут быть получены из компонент электромагнитного тензора. В декартовых координатах связь самая простая :
где c - скорость света, а
где - тензор Леви-Чивиты . Это дает поля в определенной системе отсчета; при изменении системы отсчета компоненты электромагнитного тензора будут преобразовываться ковариантно , и поля в новой системе отсчета будут заданы новыми компонентами.
В контравариантной матричной форме
Ковариантная форма задается понижением индекса ,
Двойственный по Ходжу тензора Фарадея равен
С этого момента в этой статье, когда упоминаются электрические или магнитные поля, предполагается декартова система координат, а электрическое и магнитное поля относятся к системе отсчета системы координат, как в уравнениях выше.
Характеристики
Матричная форма тензора поля дает следующие свойства: [3]
- Антисимметрия :
- Шесть независимых компонентов: в декартовых координатах это просто три пространственных компонента электрического поля ( E x , E y , E z ) и магнитного поля ( B x , B y , B z ).
- Внутренний продукт: Если один образует скалярное произведение напряженности поля тензора в инвариант Лоренца формируется
- Псевдоскалярный инвариант: произведение тензорас его двойным ходжем дает инвариант Лоренца :
- Определитель :
- След :
Значимость
Этот тензор упрощает и сокращает уравнения Максвелла как четыре уравнения векторного исчисления до двух уравнений тензорного поля. В электростатики и электродинамики , закон Гаусса и циркуляционного закон Ампера соответственно:
и сведем к неоднородному уравнению Максвелла:
- , где является четырехтоковым .
В магнитостатике и магнитодинамике закон Гаусса для магнетизма и уравнение Максвелла – Фарадея соответственно:
которые сводятся к идентичности Бьянки :
или используя обозначение индекса с квадратными скобками [примечание 1] для антисимметричной части тензора:
Относительность
Тензор поля получил свое название от того факта, что электромагнитное поле подчиняется закону преобразования тензора , это общее свойство физических законов было признано после появления специальной теории относительности . Эта теория предусматривала, что все законы физики должны иметь одинаковую форму во всех системах координат - это привело к введению тензоров . Тензорный формализм также позволяет математически упростить представление физических законов.
Неоднородное уравнение Максвелла приводит к уравнению неразрывности :
подразумевая сохранение заряда .
Законы Максвелла выше , может быть обобщены на искривленное пространство - время , просто заменяя частные производные с ковариантными :
- а также
где точка с запятой представляет ковариантную производную, в отличие от частной производной. Эти уравнения иногда называют уравнениями Максвелла искривленного пространства . Опять же, второе уравнение подразумевает сохранение заряда (в искривленном пространстве-времени):
Лагранжева формулировка классического электромагнетизма
Классический электромагнетизм и уравнения Максвелла могут быть выведены из действия :
где
- над пространством и временем.
Это означает, что плотность лагранжиана равна
Два средних члена в круглых скобках такие же, как и два внешних члена, поэтому плотность лагранжиана равна
Подставляя это в уравнение движения Эйлера – Лагранжа для поля:
Таким образом, уравнение Эйлера – Лагранжа принимает следующий вид:
Величина в круглых скобках выше - это просто тензор поля, поэтому в конечном итоге это упрощается до
Это уравнение является еще один способ записи двух неоднородных уравнений Максвелла ( в частности, закон Гаусса и циркуляционного закон Ампера ) с помощью подстановки:
где i, j, k принимают значения 1, 2 и 3.
Гамильтонова форма
Плотность гамильтониана может быть получена с помощью обычного соотношения
- .
Квантовая электродинамика и теория поля
Лагранжиан из квантовой электродинамики выходит за рамки классического лагранжиана установлено в теории относительности , чтобы включить создание и уничтожение фотонов (и электронов):
где первая часть в правой части, содержащая спинор Дирака , представляет поле Дирака . В квантовой теории поля он используется в качестве шаблона для тензора калибровочной напряженности поля. Будучи задействованным в дополнение к лагранжиану локального взаимодействия, он воспроизводит свою обычную роль в КЭД.
Смотрите также
- Классификация электромагнитных полей
- Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
- Электромагнитный тензор энергии-напряжения.
- Тензор напряженности глюонного поля
- Исчисление Риччи
- Вектор Римана – Зильберштейна.
Заметки
- ^ По определению
Так что если
тогда
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
- ^ Ди-джей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2.
- ^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . ISBN WH Freeman & Co. 0-7167-0344-0.
Рекомендации
- Брау, Чарльз А. (2004). Современные проблемы классической электродинамики . Издательство Оксфордского университета . ISBN 0-19-514665-4.
- Джексон, Джон Д. (1999). Классическая электродинамика . ISBN компании John Wiley & Sons, Inc. 0-471-30932-X.
- Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Издательство "Персей". ISBN 0-201-50397-2.