Четыре градиента

В дифференциальной геометрии , то четыре градиент (или 4-градиент ) представляет собой четырехмерный вектор аналог градиента от векторного анализа .${\ Displaystyle \ mathbf {\ partial}}$ ${\displaystyle {\vec {\mathbf {\nabla } }}}$

В специальной теории относительности и квантовой механике четыре градиента используются для определения свойств и отношений между различными физическими четырьмя векторами и тензорами .

Обозначение [ править ]

В этой статье используется метрическая подпись (+ - - -) .

SR и GR - это аббревиатуры для специальной теории относительности и общей теории относительности соответственно.

( ) указывает скорость света в вакууме.${\displaystyle c}$

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$- плоская метрика пространства-времени СТО.

В физике есть альтернативные способы написания четырехвекторных выражений:

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} }$- это стиль с четырьмя векторами , который обычно более компактен и может использовать векторную нотацию (например, внутренний продукт «точка»), всегда используя жирный верхний регистр для представления четырехвектора и жирный нижний регистр для представления векторов с тремя пробелами, напр . Большинство правил векторов в трех пространствах имеют аналоги в четырехвекторной математике.${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$

${\displaystyle A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}$- это стиль исчисления Риччи , который использует нотацию тензорных индексов и полезен для более сложных выражений, особенно тех, которые включают тензоры с более чем одним индексом, например .${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }}$

Латинский тензорный индекс находится в диапазоне {1, 2, 3} и представляет собой вектор с тремя пространствами, например .${\displaystyle A^{i}=(a^{1},a^{2},a^{3})={\vec {\mathbf {a} }}}$

Греческий тензорный индекс находится в диапазоне {0, 1, 2, 3} и представляет 4-вектор, например .${\displaystyle A^{\mu }=(a^{0},a^{1},a^{2},a^{3})=\mathbf {A} }$

В физике СТО обычно используется краткое смешение, например , где представляет временную составляющую и представляет пространственную 3-компонентную.${\displaystyle \mathbf {A} =(a^{0},{\vec {\mathbf {a} }})}$${\displaystyle a^{0}}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Тензорное сжатие, используемое в метрике Минковского, может идти в любую сторону (см. Обозначения Эйнштейна ): ^[1]

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }=\sum _{\mu =0}^{3}a^{\mu }b_{\mu }=a^{0}b^{0}-\sum _{i=1}^{3}a^{i}b^{i}=a^{0}b^{0}-{\vec {\mathbf {a} }}\cdot {\vec {\mathbf {b} }}}$

Определение [ править ]

4-градиентные ковариантные компоненты, компактно записанные в четырехвекторной нотации и нотации исчисления Риччи : ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\dfrac {\partial }{\partial X^{\mu }}}=\left(\partial _{0},\partial _{1},\partial _{2},\partial _{3}\right)=\left(\partial _{0},\partial _{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\partial _{x},\partial _{y},\partial _{z}\right)=\partial _{\mu }={}_{,\mu }}$

Запятая в последней части выше , влечет за собой частичную дифференциацию по отношению к 4- м положения .${\displaystyle {}_{,\mu }}$${\displaystyle X^{\mu }}$

Контравариантные компоненты: ^{[4] [5]}

${\displaystyle \mathbf {\partial } =\partial ^{\alpha }=\eta ^{\alpha \beta }\partial _{\beta }=\left(\partial ^{0},\partial ^{1},\partial ^{2},\partial ^{3}\right)=\left(\partial ^{0},\partial ^{i}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)}$

Альтернативные символы являются и D (хотя также может означать , то d'оператор Даламбера ).${\displaystyle \partial _{\alpha }}$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }}$

В ОТО необходимо использовать более общий метрический тензор и тензорную ковариантную производную (не путать с векторным 3-градиентом ).${\displaystyle g^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle \nabla _{\mu }={}_{;\mu }}$${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$

Ковариантная производная включает эффекты 4-градиента плюс кривизны пространства-времени через символы Кристоффеля.${\displaystyle \nabla _{\nu }}$${\displaystyle \partial _{\nu }}$ ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }}$

Принцип строгой эквивалентности можно сформулировать так: ^[6]

«Любой физический закон, который может быть выражен в тензорной записи в СТО, имеет точно такую ​​же форму в локально инерциальной системе отсчета искривленного пространства-времени». 4-градиентные запятые (,) в SR просто заменяются на ковариантные производные точки с запятой (;) в GR, при этом связь между ними осуществляется с помощью символов Кристоффеля . Это известно в физике относительности как «правило от запятой к точке с запятой».

Так, например, если в SR, то в GR.${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0}$${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\mu }=0}$

На (1,0) -тензоре или 4-векторе это будет: ^[7]

${\displaystyle \nabla _{\beta }V^{\alpha }=\partial _{\beta }V^{\alpha }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }}$

${\displaystyle V^{\alpha }{}_{;\beta }=V^{\alpha }{}_{,\beta }+V^{\mu }\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \beta }}$

На (2,0) -тензоре это будет:

${\displaystyle \nabla _{\nu }T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

${\displaystyle T^{\mu \nu }{}_{;\nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }+\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \nu }T^{\sigma \nu }+\Gamma ^{\nu }{}_{\sigma \nu }T^{\mu \sigma }}$

Использование [ править ]

4-градиент используется в специальной теории относительности ( СТО ) по- разному :

В этой статье все формулы верны для плоских пространственно-временных координат Минковского СТО, но должны быть изменены для более общих искривленных пространственных координат общей теории относительности (ОТО).

Как 4-дивергенция и источник законов сохранения [ править ]

Дивергенция является вектор оператором , который производит подписанное скалярное поле , задающее количество в векторном поле «s источника в каждой точке.

4-дивергенция 4-положении дает измерение в пространстве - времени :${\displaystyle X^{\mu }=(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {X} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }X^{\nu }=\partial _{\nu }X^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (ct,{\vec {x}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(ct)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {x}}=(\partial _{t}t)+(\partial _{x}x+\partial _{y}y+\partial _{z}z)=(1)+(3)=4}$

4-дивергенция 4-плотности тока дает закон сохранения - сохранения заряда : ^[8]${\displaystyle J^{\mu }=(\rho c,{\vec {\mathbf {j} }})=\rho _{o}U^{\mu }=\rho _{o}\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=(\rho c,\rho {\vec {\mathbf {u} }})}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {J} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }J^{\nu }=\partial _{\nu }J^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot (\rho c,{\vec {j}})={\frac {\partial _{t}}{c}}(\rho c)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=\partial _{t}\rho +{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}=0}$

Это означает, что скорость изменения плотности заряда во времени должна равняться отрицательной пространственной дивергенции плотности тока .${\displaystyle \partial _{t}\rho =-{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {j}}}$

Другими словами, заряд внутри ящика не может изменяться произвольно, он должен входить в ящик и выходить из него через ток. Это уравнение неразрывности .

4-дивергенция потока 4-х чисел (4-пыль) используется для сохранения частиц: ^[9]${\displaystyle N^{\mu }=(nc,{\vec {\mathbf {n} }})=n_{o}U^{\mu }=n_{o}\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})=(nc,n{\vec {\mathbf {u} }})}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {N} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }N^{\nu }=\partial _{\nu }N^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left(nc,n{\vec {\mathbf {u} }}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left(nc\right)+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=\partial _{t}n+{\vec {\nabla }}\cdot n{\vec {\mathbf {u} }}=0}$

Это закон сохранения плотности числа частиц, обычно что-то вроде плотности барионного числа.

4-расходимость электромагнитного 4-потенциала используется в условии калибровки Лоренца : ^[10]${\displaystyle A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} =\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }=\partial _{\nu }A^{\nu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)\cdot \left({\frac {\phi }{c}},{\vec {a}}\right)={\frac {\partial _{t}}{c}}\left({\frac {\phi }{c}}\right)+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}={\frac {\partial _{t}\phi }{c^{2}}}+{\vec {\nabla }}\cdot {\vec {a}}=0}$

Это эквивалент закона сохранения для ЭМ 4-потенциала.

4-расходимость поперечного бесследового 2-тензора, представляющего гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника).${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$ : Поперечное состояние

является эквивалентом уравнения сохранения для свободно распространяющихся гравитационных волн.

4-дивергенция тензора энергии-импульса , сохраняющегося тока Нётер, связанного с трансляциями пространства-времени , дает четыре закона сохранения в СТО: ^[11]${\displaystyle T^{\mu \nu }}$

Сохранения энергии (временное направление) и сохранения импульса (3 отдельных пространственных направлениях).

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot T^{\mu \nu }=\partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0^{\mu }=(0,0,0,0)}$

Его часто пишут так:

${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }{}_{,\nu }=0}$

где подразумевается, что единственный ноль на самом деле является нулем 4-вектора ).${\displaystyle 0^{\mu }=(0,0,0,0}$

Когда сохранение тензора энергии-импульса ( ) для идеальной жидкости сочетается с сохранением плотности числа частиц ( ), в обоих случаях используется 4-градиент, можно вывести релятивистские уравнения Эйлера , которые в механике жидкости и астрофизике являются обобщение уравнений Эйлера , учитывающих эффекты специальной теории относительности . Эти уравнения сводятся к классическим уравнениям Эйлера, если трехмерная скорость жидкости намного меньше скорости света, давление намного меньше плотности энергии , а в последней преобладает плотность массы покоя.${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0^{\mu }}$${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {N} =0}$

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент ( релятивистский угловой момент ) также сохраняется:

${\displaystyle \partial _{\nu }(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })=(x^{\alpha }T^{\mu \nu }-x^{\mu }T^{\alpha \nu })_{,\nu }=0^{\alpha \mu }}$

где этот нуль на самом деле является (2,0) -тензорным нулем.

Как матрица Якоби для метрического тензора С.Р. Минковского [ править ]

Матрица Якоби является матрицей всех первого порядка в частных производных одного вектор-функции .

4-градиент, действующий на 4-позицию, дает метрику пространства SR Минковского : ^[12]${\displaystyle \partial ^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\nu }}$${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } [\mathbf {X} ]=\partial ^{\mu }[X^{\nu }]=X^{\nu _{,}\mu }=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)[(ct,{\vec {x}})]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\partial _{x},-\partial _{y},-\partial _{z}\right)[(ct,x,y,z)],}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}ct&{\frac {\partial _{t}}{c}}x&{\frac {\partial _{t}}{c}}y&{\frac {\partial _{t}}{c}}z\\-\partial _{x}ct&-\partial _{x}x&-\partial _{x}y&-\partial _{x}z\\-\partial _{y}ct&-\partial _{y}x&-\partial _{y}y&-\partial _{y}z\\-\partial _{z}ct&-\partial _{z}x&-\partial _{z}y&-\partial _{z}z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } [\mathbf {X} ]=\eta ^{\mu \nu }.}$

Для метрики Минковского, компоненты { не суммируются}, с недиагональными компонентами все равны нулю.${\displaystyle [\eta ^{\mu \mu }]=1/[\eta _{\mu \mu }]}$${\displaystyle \mu }$

Для декартовой метрики Минковского это дает .${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

В общем, где находится 4- мерная дельта Кронекера .${\displaystyle \eta _{\mu }^{\nu }=\delta _{\mu }^{\nu }=\operatorname {diag} [1,1,1,1]}$${\displaystyle \delta _{\mu }^{\nu }}$

Как способ определения преобразований Лоренца [ править ]

Преобразование Лоренца записывается в тензорной форме как ^[13]

${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda _{\nu }^{\mu '}X^{\nu }}$

и поскольку это просто константы, то${\displaystyle \Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

${\displaystyle \partial X^{\mu '}/\partial X^{\nu }=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

Таким образом, по определению 4-градиента

${\displaystyle \partial _{\nu }[X^{\mu '}]=(\partial /\partial X^{\nu })[X^{\mu '}]=\partial X^{\mu '}/\partial X^{\nu }=\Lambda _{\nu }^{\mu '}}$

Эта идентичность фундаментальна. Компоненты 4-градиента преобразуются согласно обратным компонентам 4-векторов. Итак, 4-градиент - это «архетипическая» форма.

Как часть полной производной собственного времени [ править ]

Скалярное произведение 4-скорости на 4-градиент дает полную производную по собственному времени : ^[14]${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } =U^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\gamma (c,{\vec {u}})\cdot \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}+{\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}\right)=\gamma \left(\partial _{t}+{\frac {dx}{dt}}\partial _{x}+{\frac {dy}{dt}}\partial _{y}+{\frac {dz}{dt}}\partial _{z}\right)=\gamma {\frac {d}{dt}}={\frac {d}{d\tau }}}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{dX^{\mu }}}{\frac {d}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d}{dX^{\mu }}}=U^{\mu }\partial _{\mu }=\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } }$

Тот факт, что он является скалярным инвариантом Лоренца, показывает, что полная производная по собственному времени также является скалярным инвариантом Лоренца.${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } }$ ${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}$

Так, например, 4-скорость - это производная 4-го положения по собственному времени:${\displaystyle U^{\mu }}$ ${\displaystyle X^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =(\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {X} =\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } [\mathbf {X} ]=U^{\alpha }\cdot \eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\eta _{\alpha \nu }\eta ^{\mu \nu }=U^{\alpha }\delta _{\alpha }^{\mu }=U^{\mu }=\mathbf {U} }$

или же

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}\mathbf {X} =\gamma {\frac {d}{dt}}(ct,{\vec {x}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}ct,{\frac {d}{dt}}{\vec {x}}\right)=\gamma (c,{\vec {u}})=\mathbf {U} }$

Другой пример, 4-ускорение - это производная по собственному времени от 4-скорости :${\displaystyle A^{\mu }}$ ${\displaystyle U^{\mu }}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =(\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {U} =\mathbf {U} \cdot \mathbf {\partial } [\mathbf {U} ]=U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }\partial ^{\mu }[U^{\nu }]}$

${\displaystyle =U^{\alpha }\eta _{\alpha \mu }{\begin{bmatrix}{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma {\vec {u}}\\-{\vec {\nabla }}\gamma c&-{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}=U^{\alpha }{\begin{bmatrix}\ {\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c&0\\0&{\vec {\nabla }}\gamma {\vec {u}}\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle =\gamma \left(c{\frac {\partial _{t}}{c}}\gamma c,{\vec {u}}\cdot \nabla \gamma {\vec {u}}\right)=\gamma \left(c\partial _{t}\gamma ,{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$

или же

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}\mathbf {U} =\gamma {\frac {d}{dt}}(\gamma c,\gamma {\vec {u}})=\gamma \left({\frac {d}{dt}}[\gamma c],{\frac {d}{dt}}[\gamma {\vec {u}}]\right)=\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})=\mathbf {A} }$

Как способ определить электромагнитный тензор Фарадея и вывести уравнения Максвелла [ править ]

Электромагнитный тензор Фарадея - это математический объект, который описывает электромагнитное поле в пространстве-времени физической системы. ^{[15] [16] [17] [18] [19]}${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

Применяя 4-градиент для создания антисимметричного тензора, получаем:

${\displaystyle F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

куда:

Электромагнитный 4-потенциал , не путать с 4-кратным ускорением.${\displaystyle A^{\mu }=\mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\gamma (c{\dot {\gamma }},{\dot {\gamma }}{\vec {u}}+\gamma {\dot {\vec {u}}})}$

${\displaystyle \phi }$- электрический скалярный потенциал , - магнитный векторный потенциал в трехмерном пространстве .${\displaystyle {\vec {\mathbf {a} }}}$

Снова применяя 4-градиент и определяя плотность 4-тока как можно получить тензорную форму уравнений Максвелла :${\displaystyle J^{\beta }=\mathbf {J} =(c\rho ,{\vec {\mathbf {j} }})}$

${\displaystyle \partial _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{o}J^{\beta }}$

${\displaystyle \partial _{\gamma }F_{\alpha \beta }+\partial _{\alpha }F_{\beta \gamma }+\partial _{\beta }F_{\gamma \alpha }=0_{\alpha \beta \gamma }}$

где вторая строка - это версия тождества Бианки ( тождества Якоби ).

Как способ определения 4-волнового вектора [ править ]

Волновой вектор является вектором , который помогает описать волну . Как и любой вектор, он имеет величину и направление , оба из которых важны: его величина - это либо волновое число, либо угловое волновое число волны (обратно пропорционально длине волны ), а его направление обычно является направлением распространения волны.

4-волновой вектор является 4-градиент отрицательной фазы (или отрицательный градиент 4-фазы) волны в пространстве Минковского: ^[20]${\displaystyle K^{\mu }}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {\partial } [-\Phi ]=-\mathbf {\partial } [\Phi ]}$

Это математически эквивалентно определению фазы в виде волны (или более конкретно плоская волна ):

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {X} =\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}=-\Phi }$

где 4-позиция , - временная угловая частота, - пространственный 3-пространственный волновой вектор и - скалярно-инвариантная фаза Лоренца.${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle \partial [\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} ]=\partial [\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}],-\nabla [\omega t-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]\right)=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}[\omega t],-\nabla [-{\vec {\mathbf {k} }}\cdot {\vec {\mathbf {x} }}]\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\mathbf {K} }$

в предположении, что плоская волна и не являются явными функциями от или${\displaystyle \omega }$${\displaystyle {\vec {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle {\vec {\mathbf {x} }}}$

Явный вид плоской волны СИ можно записать как ^[21]${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )}$

${\displaystyle \Psi _{n}(\mathbf {X} )=A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}=A_{n}e^{i(\Phi _{n})}}$где - (возможно, комплексная ) амплитуда.${\displaystyle A_{n}}$

Общая волна будет суперпозицией нескольких плоских волн:${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {X} )=\sum _{n}[\Psi _{n}(\mathbf {X} )]=\sum _{n}[A_{n}e^{-i(\mathbf {K_{n}} \cdot \mathbf {X} )}]=\sum _{n}[A_{n}e^{i(\Phi _{n})}]}$

Снова используя 4-градиент,

${\displaystyle \partial [\Psi (\mathbf {X} )]=\partial [Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}]=-i\mathbf {K} [Ae^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}]=-i\mathbf {K} [\Psi (\mathbf {X} )]}$

или же

${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Как оператор Даламбертиана [ править ]

В специальной теории относительности, электромагнетизме и теории волн оператор Даламбера, также называемый даламбертовским или волновым оператором, является оператором Лапласа пространства Минковского. Оператор назван в честь французского математика и физика Жана ле Ронда Даламбера.

Квадрат - это 4- лапласиан , который называется оператором Даламбера : ^{[22] [23] [24] [25]}${\displaystyle \mathbf {\partial } }$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\partial ^{\mu }\cdot \partial ^{\nu }=\partial ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\partial ^{\nu }=\partial _{\nu }\partial ^{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}}\right)^{2}-{\vec {\nabla }}^{2}}$.

Поскольку это скалярное произведение двух 4-векторов, Даламбертиан - инвариантный скаляр Лоренца .

Иногда, по аналогии с 3-мерным обозначением, символы и используются для 4-градиента и Даламбертиана соответственно. Однако чаще этот символ зарезервирован для Даламбертиана.${\displaystyle \Box }$${\displaystyle \Box ^{2}}$${\displaystyle \Box }$

Ниже приведены некоторые примеры 4-градиента, использованного в даламбертиане:

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна – Гордона для частиц со спином 0 (например, бозона Хиггса ):

${\displaystyle [(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =[\left({\frac {\partial _{t}^{2}}{c^{2}}}-{\vec {\nabla }}^{2}\right)+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$

В волновом уравнении для электромагнитного поля (с использованием калибровки Лоренца ):${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {A} )=(\partial _{\mu }A^{\mu })=0}$

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mathbf {0} }$ {в вакууме}

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }${с 4-токовым источником, не считая эффектов спина}

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )A^{\mu }=e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi }${с источником квантовой электродинамики , включая эффекты спина}

куда:

Электромагнитный 4-потенциал - это векторный электромагнитный потенциал.${\displaystyle \mathbf {A} =A^{\alpha }=\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {\vec {a}} \right)}$

4-плотность тока - это плотность электромагнитного тока.${\displaystyle \mathbf {J} =J^{\alpha }=(\rho c,\mathbf {\vec {j}} )}$

Гамма-матрицы Дирака обеспечивают эффекты вращения${\displaystyle \gamma ^{\alpha }=(\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3})}$

В волновом уравнении в виде гравитационной волны { с использованием аналогичной Lorenz датчика } ^[26]${\displaystyle (\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu })=0}$

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )h_{TT}^{\mu \nu }=0}$

где - поперечный бесследовый 2-тензор, представляющий гравитационное излучение в пределе слабого поля (т.е. свободно распространяющееся вдали от источника).${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

Дополнительные условия :${\displaystyle h_{TT}^{\mu \nu }}$

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT}^{0\nu }=0}$ : Чисто пространственный

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }h_{TT}^{\mu \nu }=h_{TT\nu }^{\nu }=0}$ : Бесследный

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot h_{TT}^{\mu \nu }=\partial _{\mu }h_{TT}^{\mu \nu }=0}$ : Поперечный

В 4-мерной версии функции Грина :

${\displaystyle (\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } )G[\mathbf {X} -\mathbf {X'} ]=\delta ^{(4)}[\mathbf {X} -\mathbf {X'} ]}$

где дельта-функция 4D :

${\displaystyle \delta ^{(4)}[\mathbf {X} ]={\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}\mathbf {K} e^{-i(\mathbf {K} \cdot \mathbf {X} )}}$

Как компонент 4D теоремы Гаусса / теоремы Стокса / теоремы о расходимости [ править ]

В векторном исчислении теорема о расходимости , также известная как теорема Гаусса или теорема Остроградского, является результатом, который связывает поток (то есть поток ) векторного поля через поверхность с поведением векторного поля внутри поверхности. Точнее, теорема дивергенции гласит , что внешний поток векторного поля через замкнутую поверхность равен объемом интеграл от дивергенции по области внутренней поверхности. Интуитивно он утверждает, что сумма всех источников за вычетом суммы всех стоков дает чистый поток из региона.. В векторном исчислении и в более общей дифференциальной геометрии теорема Стокса (также называемая обобщенной теоремой Стокса) представляет собой утверждение об интегрировании дифференциальных форм на многообразиях, которое одновременно упрощает и обобщает несколько теорем векторного исчисления.

${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X(\partial _{\mu }V^{\mu })=\oint _{\partial \Omega }dS(V^{\mu }N_{\mu })}$

или же

${\displaystyle \int _{\Omega }d^{4}X(\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} )=\oint _{\partial \Omega }dS(\mathbf {V} \cdot \mathbf {N} )}$

куда

${\displaystyle \mathbf {V} =V^{\mu }}$ 4-векторное поле, определенное в ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {V} =\partial _{\mu }V^{\mu }}$ 4-дивергенция ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \mathbf {V} \cdot \mathbf {N} =V^{\mu }N_{\mu }}$компонент вдоль направления${\displaystyle V}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle \Omega }$ является четырехмерной односвязной областью пространства-времени Минковского.

${\displaystyle \partial \Omega =S}$ это его трехмерная граница с собственным трехмерным элементом объема ${\displaystyle dS}$

${\displaystyle \mathbf {N} =N^{\mu }}$ направленный наружу нормальный

${\displaystyle d^{4}X=(c\,dt)(d^{3}x)=(c\,dt)(dx\,dy\,dz)}$ это элемент дифференциального объема 4D

Как компонент уравнения СТО Гамильтона – Якоби в релятивистской аналитической механике [ править ]

Уравнение Гамильтона – Якоби (HJE) - это формулировка классической механики, эквивалентная другим формулировкам, таким как законы движения Ньютона , лагранжева механика и гамильтонова механика . Уравнение Гамильтона – Якоби особенно полезно для определения сохраняющихся величин для механических систем, что может быть возможным даже тогда, когда сама механическая проблема не может быть решена полностью. HJE также является единственной формулировкой механики, в которой движение частицы может быть представлено как волна. В этом смысле HJE выполнил давнюю цель теоретической физики (восходящую, по крайней мере, к Иоганну Бернулли в 18 веке) - найти аналогию между распространением света и движением частицы.

Обобщенный релятивистский импульс частицы можно записать как ^[27]${\displaystyle \mathbf {P_{T}} }$

${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\mathbf {P} +q\mathbf {A} }$

где и${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {\mathbf {a} }}\right)}$

По сути, это 4-й общий импульс системы; пробная частица в поле , используя минимальное соединительное правило. Есть собственный импульс частицы , плюс импульс из-за взаимодействия с ЭМ 4-векторным потенциалом через заряд частицы .${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle q}$

Релятивистское уравнение Гамильтона – Якоби получается, если положить полный импульс равным отрицательному 4-градиенту действия .${\displaystyle S}$

${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =-\mathbf {\partial } [S]}$

${\displaystyle \mathbf {P_{T}} =\left({\frac {E_{T}}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=\left({\frac {H}{c}},{\vec {\mathbf {p_{T}} }}\right)=-\mathbf {\partial } [S]=-\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)[S]}$

Временная составляющая дает: ${\displaystyle E_{T}=H=-\partial _{t}[S]}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {\mathbf {p_{T}} }}={\vec {\mathbf {\nabla } }}[S]}$

где - гамильтониан.${\displaystyle H}$

Это фактически связано с тем, что 4-волновой вектор равен отрицательному 4-му градиенту фазы сверху.${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=-\mathbf {\partial } [\Phi ]}$

Чтобы получить HJE, сначала используется правило скалярного инварианта Лоренца для 4-импульса:

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$

Но из правила минимального связывания :

${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} }$

Так:

${\displaystyle (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )\cdot (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )=(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle (\mathbf {P_{T}} -q\mathbf {A} )^{2}=(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle (-\mathbf {\partial } [S]-q\mathbf {A} )^{2}=(m_{0}c)^{2}}$

Разбивая на временную и пространственную составляющие:

${\displaystyle (-\partial _{t}[S]/c-q\phi /c)^{2}-(\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}=(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}-(1/c)^{2}(-\partial _{t}[S]-q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}=0}$

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } [S]-q\mathbf {a} )^{2}-(1/c)^{2}(\partial _{t}[S]+q\phi )^{2}+(m_{0}c)^{2}=0}$

где финал - релятивистское уравнение Гамильтона – Якоби .

Как компонент соотношений Шредингера в квантовой механике [ править ]

4-градиент связан с квантовой механикой .

Связь между 4-импульсом и 4-градиентом дает соотношения КМ Шредингера . ^[28]${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {\partial } }$

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=i\hbar \mathbf {\partial } =i\hbar \left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$

Временная составляющая дает: ${\displaystyle E=i\hbar \partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {p}}=-i\hbar {\vec {\nabla }}}$

Фактически это может состоять из двух отдельных шагов.

Первый: ^[29]

${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \mathbf {K} =\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)}$ что является полной 4-векторной версией:

(Временная составляющая) соотношение Планка – Эйнштейна ${\displaystyle E=\hbar \omega }$

(Пространственные компоненты) волновое соотношение материи де Бройля ${\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}$

Второй: ^[30]

${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=i\mathbf {\partial } =i\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)}$что представляет собой 4-градиентную версию волнового уравнения для комплексных плоских волн

Временная составляющая дает: ${\displaystyle \omega =i\partial _{t}}$

Пространственные компоненты дают: ${\displaystyle {\vec {k}}=-i{\vec {\nabla }}}$

Как компонент ковариантной формы квантового коммутационного отношения [ править ]

В квантовой механике (физике) каноническое коммутационное отношение - это фундаментальное отношение между каноническими сопряженными величинами (величинами, которые связаны по определению таким образом, что одно является преобразованием Фурье другого).

${\displaystyle [P^{\mu },X^{\nu }]=i\hbar [\partial ^{\mu },X^{\nu }]=i\hbar \partial ^{\mu }[X^{\nu }]=i\hbar \eta ^{\mu \nu }}$^[31]

${\displaystyle [p^{j},x^{k}]=i\hbar \eta ^{jk}}$: Принимая пространственные компоненты:

${\displaystyle [p^{j},x^{k}]=-i\hbar \delta ^{jk}}$: потому что ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=\operatorname {diag} [1,-1,-1,-1]}$

${\displaystyle [x^{k},p^{j}]=i\hbar \delta ^{kj}}$: потому что ${\displaystyle [a,b]=-[b,a]}$

${\displaystyle [x^{j},p^{k}]=i\hbar \delta ^{jk}}$: изменение метки индексов дает обычные правила квантовой коммутации

Как компонент волновых уравнений и вероятностных токов в релятивистской квантовой механике [ править ]

4-градиент является составной частью нескольких релятивистских волновых уравнений: ^{[32] [33]}

В релятивистском квантовом волновом уравнении Клейна – Гордона для частиц со спином 0 (например, бозона Хиггса ): ^[34]

${\displaystyle [(\partial ^{\mu }\partial _{\mu })+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$

В релятивистском квантовом волновом уравнении Дирака для частиц со спином 1/2 (например, электронов ): ^[35]

${\displaystyle [i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-{\frac {m_{0}c}{\hbar }}]\psi =0}$

где являются гамма - матрицей Дирака и является релятивистской волновой функцией .${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi }$является скаляром Лоренца для уравнения Клейна – Гордона и спинором для уравнения Дирака.

Приятно, что сами гамма-матрицы относятся к фундаментальному аспекту СТО, метрике Минковского: ^[36]

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\,}$

Сохранение плотности тока с четырьмя вероятностями следует из уравнения неразрывности: ^[37]

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {J} =\partial _{t}\rho +{\vec {\mathbf {\nabla } }}\cdot {\vec {\mathbf {j} }}=0}$

Плотность тока с четырьмя вероятностями имеет релятивистски ковариантное выражение: ^[38]

${\displaystyle J_{prob}^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m_{0}}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

Плотность тока с четырьмя зарядами - это просто заряд (q), умноженный на плотность тока с четырьмя вероятностями: ^[39]

${\displaystyle J_{charge}^{\mu }={\frac {i\hbar q}{2m_{0}}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})}$

Как ключевой компонент при выводе квантовой механики и релятивистских квантовых волновых уравнений из специальной теории относительности [ править ]

Релятивистские волновые уравнения используют 4-векторы, чтобы быть ковариантными. ^{[40] [41]}

Начнем со стандартных 4-векторов SR: ^[42]

4 позиции ${\displaystyle \mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$

4-скоростной ${\displaystyle \mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$

4-импульс ${\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$

4-волновой вектор ${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$

4-градиентный ${\displaystyle \mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

Обратите внимание на следующие простые отношения из предыдущих разделов, где каждый 4-вектор связан с другим скаляром Лоренца :

${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$, Где есть надлежащее время${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$, где - масса покоя${\displaystyle m_{0}}$

${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$, Который является 4-вектор вариант соотношения Планка-Эйнштейна и в де Бройля материя волны соотношением

${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, который представляет собой 4-градиентную версию комплексных плоских волн

Теперь просто примените стандартное правило скалярного произведения Лоренца к каждому из них:

${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

Последнее уравнение (с 4-градиентным скалярным произведением) является фундаментальным квантовым соотношением.

Применительно к скалярному полю Лоренца мы получаем уравнение Клейна – Гордона, самое основное из квантовых релятивистских волновых уравнений : ^[43]${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]\psi =0}$

Уравнение Шредингера является предельным случаем малых скоростей {| v | << c} уравнения Клейна – Гордона . ^[44]

Если квантовое соотношение применяется к 4-векторному полю вместо скалярного поля Лоренца , то получается уравнение Прока : ^[45]${\displaystyle A^{\mu }}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}]A^{\mu }=0^{\mu }}$

Если член массы покоя равен нулю (светоподобные частицы), то это дает свободное уравнение Максвелла :

${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0^{\mu }}$

Более сложные формы и взаимодействия могут быть получены с помощью правила минимального связывания :

Как компонент ковариантной производной RQM (внутренние пространства частиц) [ править ]

В современной физике элементарных частиц можно определить калибровочную ковариантную производную, которая использует дополнительные RQM-поля (внутренние пространства частиц), о существовании которых сейчас известно.

Версия, известная из классической ЭМ (в натуральных единицах): ^[46]

${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-igA^{\mu }}$

Полная ковариантная производная для фундаментальных взаимодействий в стандартной модели , которые мы в настоящее время известны о (в натуральных единицах ) составляет: ^[47]

${\displaystyle D^{\mu }=\partial ^{\mu }-ig_{1}(Y/2)B^{\mu }-ig_{2}(\tau _{i}/2)\cdot W_{i}^{\mu }-ig_{3}(\lambda _{a}/2)\cdot G_{a}^{\mu }}$

или же

${\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {\partial } -ig_{1}(Y/2)\mathbf {B} -ig_{2}(\mathbf {\tau _{i}} /2)\cdot \mathbf {W_{i}} -ig_{3}(\mathbf {\lambda _{a}} /2)\cdot \mathbf {G_{a}} }$