В математике , то неравенство Ландау-Колмогорова , имени Эдмунд Ландау и Андрея Колмогорова , является следующее семейство интерполяционных неравенств между различными производными функции F , определенная на подмножестве Т действительных чисел: [1]
На реальной линии
Для k = 1, n = 2, T = R неравенство впервые было доказано Эдмундом Ландау [2] с точной постоянной C (2, 1, R ) = 2. Следуя вкладам Жака Адамара и Георгия Шилова , Андрей Колмогоров нашел точные константы и произвольные n , k : [3]
где a n - константы Фавара .
На пол-линии
После работы по Маториным и других, extremising функции были найдены Исаак Шёнберг , [4] явные формы для точных констант, однако до сих пор неизвестно.
Обобщения
Есть много обобщений, которые имеют вид
Здесь все три нормы могут отличаться друг от друга (от L 1 до L ∞ , в классическом случае p = q = r = ∞), а T может быть действительной осью, полуосью или замкнутым отрезком.
Неравенство Kallman-Rota обобщает неравенство Ландау-Колмогорова от производной оператора в более общих сокращений на банаховых пространствах . [5]
Заметки
- ^ Weisstein, EW "Константы Ландау-Колмогорова" . MathWorld - Интернет-ресурс Wolfram.
- ^ Ландау, Э. (1913). "Ungleichungen für zweimal Differenzierbare Funktionen" . Proc. Лондонская математика. Soc . 13 : 43–49. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s2-13.1.43 .
- ^ Колмогоров, А. (1949). "О неравенствах между верхними границами последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале". Амер. Математика. Soc. Пер . 1–2: 233–243.
- ^ Шенберг, И. Дж. (1973). "Элементарный случай проблемы неравенства между производными Ландау". Амер. Математика. Ежемесячно . 80 (2): 121–158. DOI : 10.2307 / 2318373 . JSTOR 2318373 .
- ^ Каллман, Роберт Р .; Рота, Джан-Карло (1970), "О неравенстве", Inequalities, II (Proc. Second Sympos., US Air Force Acad., Colo., 1967) , New York: Academic Press, pp. 187–192, MR 0278059.
→