постоянная Ландау – Рамануджана

В математике и области теории чисел константа Ландау-Рамануджана — это положительное действительное число b , которое встречается в теореме, доказанной Эдмундом Ландау в 1908 году ^[1] , в которой говорится, что для больших число положительных целых чисел ниже суммы двух квадратных чисел ведет себя асимптотически как ${\ Displaystyle х}$ ${\ Displaystyle х}$

Эта константа b была заново открыта в 1913 году Шринивасой Рамануджаном в первом письме, которое он написал Г. Х. Харди . ^[2]

По теореме о сумме двух квадратов , числа, которые могут быть выражены как сумма двух квадратов целых чисел, являются теми, для которых каждое простое число , конгруэнтное 3 по модулю 4, появляется с четным показателем в их простой факторизации . Например, 45 = 9 + 36 — это сумма двух квадратов; в его простой факторизации 3 ² × 5 простое число 3 появляется с четным показателем, а простое число 5 сравнимо с 1 по модулю 4, поэтому его показатель может быть нечетным.

Теорема Ландау утверждает, что если число положительных целых чисел меньше суммы двух квадратов, то ${\ Displaystyle Н (х)}$ ${\ Displaystyle х}$

где – постоянная Ландау–Рамануджана. ${\ Displaystyle б}$

Эта константа была сформулирована Ландау в предельной форме выше; Вместо этого Рамануджан аппроксимировал интегралом с той же константой пропорциональности и с медленно растущим членом ошибки. ^[3] ${\ Displaystyle Н (х)}$