Коррекция Лангера

Коррекции Langer , названные в честь математика Рудольф Эрнест Лангера , является поправкой к приближению ВКБА для задач с радиальной симметрией.

Описание [ править ]

В 3D-системах [ править ]

При применении метода ВКБ приближения к радиальному уравнению Шредингера ,

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} R (r)} {dr ^ {2}}} + [E-V _ {\ textrm { eff}} (r)] R (r) = 0}$,

где эффективный потенциал определяется выражением

${\ displaystyle V _ {\ textrm {eff}} (r) = V (r) - {\ frac {\ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1)} {2mr ^ {2}}}}$

( Азимутальное квантовое число связанных с оператором углового момента ), то собственная энергия и поведение волновой функции получена отличается от реального решения.${\ displaystyle \ ell}$

В 1937 году Рудольф Э. Лангер предложил поправку.

${\ displaystyle \ ell (\ ell +1) \ rightarrow \ left (\ ell + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}}$

которая известна как коррекция Лангера или замена Лангера . ^[1] Эта манипуляция эквивалентна добавлению постоянного множителя 1/4 всякий раз, когда он появляется. Эвристически считается, что этот фактор возникает из-за того, что диапазон радиального уравнения Шредингера ограничен от 0 до бесконечности, а не всей действительной прямой. Благодаря такому изменению постоянного члена в эффективном потенциале результаты, полученные с помощью приближения ВКБ, воспроизводят точный спектр для многих потенциалов. Правильность замены Лангера следует из вычисления ВКБ собственных значений кулоновского значения с заменой, которая воспроизводит хорошо известный результат. ^[2]${\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}$

В 2D-системах [ править ]

Обратите внимание, что для 2D-систем, поскольку эффективный потенциал принимает вид

${\ displaystyle V _ {\ textrm {eff}} (r) = V (r) - {\ frac {\ hbar ^ {2} (\ ell ^ {2} - {\ frac {1} {4}})} {2мр ^ {2}}}}$,

Итак, поправка Лангера идет: ^[3]

${\ displaystyle \ left (\ ell ^ {2} - {\ frac {1} {4}} \ right) \ rightarrow \ ell ^ {2}}$.

Эта манипуляция также эквивалентна вставке постоянного множителя 1/4 всякий раз, когда он появляется.${\ displaystyle \ ell ^ {2}}$

Обоснование [ править ]

Еще более убедительным расчетом является вывод траекторий Редже (и, следовательно, собственных значений) радиального уравнения Шредингера с потенциалом Юкавы как методом возмущений (со старым множителем), так и независимо вывод методом ВКБ (с заменой Лангера): в обоих случаях даже на более высокие порядки. Для расчета возмущений см. Книгу Müller-Kirsten ^[4] и для расчета WKB Boukema. ^{[5] [6]}${\ displaystyle \ ell (\ ell +1)}$

См. Также [ править ]

• Метод Эйнштейна – Бриллюэна – Келлера.

Ссылки [ править ]