Моделирование больших вихрей

Моделирование больших вихрей в поле скорости турбулентного газа.

Моделирование больших вихрей (LES) - это математическая модель турбулентности, используемая в вычислительной гидродинамике . Первоначально он был предложен в 1963 году Джозефом Смагоринским для моделирования атмосферных воздушных течений ^[1] и впервые исследован Дирдорфом (1970). ^[2] LES в настоящее время применяется в большом количестве инженерных приложений, включая горение, ^[3] акустику ^[4] и моделирование атмосферного пограничного слоя. ^[5]

Моделирование турбулентных потоков путем численного решения уравнений Навье – Стокса требует решения очень широкого диапазона масштабов времени и длины, каждый из которых влияет на поле потока. Такое разрешение может быть достигнуто с помощью прямого численного моделирования (DNS), но DNS требует больших вычислительных ресурсов , а его стоимость запрещает моделирование практических инженерных систем со сложной геометрией или конфигурациями потоков, таких как турбулентные струи, насосы, транспортные средства и шасси.

Основная идея LES является снижение вычислительных затрат, игнорируя мелкие масштабы длины, которые являются наиболее вычислительно дорого решимостью, с помощью низкочастотной фильтрации из уравнений Навье-Стокса . Такая фильтрация нижних частот, которую можно рассматривать как усреднение по времени и пространству, эффективно удаляет мелкомасштабную информацию из численного решения. Однако эта информация не является несущественной, и ее влияние на поле потока необходимо моделировать, что является активной областью исследования проблем, в которых мелкомасштабные процессы могут играть важную роль, таких как пристенные потоки ^{[6]. [7]} , реагирующие потоки, ^[3] и многофазные потоки. ^[8]

Определение и свойства фильтра [ править ]

Поле скоростей производится с помощью прямого численного моделирования (DNS) в однородной распадающейся турбулентности . Размер домена .${\displaystyle L^{3}}$

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с помощью блочного фильтра и .${\displaystyle \Delta =L/32}$

То же поле скорости DNS, отфильтрованное с помощью блочного фильтра и .${\displaystyle \Delta =L/16}$

Фильтр LES может быть применен к пространственной и временной области и выполнить пространственную операцию фильтрации, временную операцию фильтрации, или оба. Отфильтрованное поле, обозначенное полосой, определяется как: ^{[9] [10]}${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}}$

где - ядро ​​свертки фильтра. Это также можно записать как:${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

Ядро фильтра имеет связанную шкалу длины отсечки и шкалу времени отсечки . Чешуйки меньшего размера исключаются из . Используя приведенное выше определение фильтра, любое поле может быть разделено на отфильтрованную и частично отфильтрованную (обозначенную штрихом) части, как${\displaystyle G}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \tau _{c}}$${\displaystyle {\overline {\phi }}}$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

Важно отметить, что операция фильтрации моделирования больших вихрей не удовлетворяет свойствам оператора Рейнольдса .

Отфильтрованные управляющие уравнения [ править ]

Основные уравнения LES получаются путем фильтрации уравнений в частных производных, определяющих поле потока . Существуют различия между управляющими уравнениями LES для несжимаемой и сжимаемой LES, которые приводят к определению новой операции фильтрации.${\displaystyle \rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)}$

Несжимаемый поток [ править ]

Для несжимаемого потока уравнение неразрывности и уравнения Навье – Стокса фильтруются, давая отфильтрованное уравнение неразрывности несжимаемой жидкости:

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

и фильтрованные уравнения Навье – Стокса,

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},}$

где - отфильтрованное поле давления; - тензор скорости деформации, вычисленный с использованием отфильтрованной скорости. Нелинейный фильтруются термин адвекции является главной причиной трудностей в моделировании LES. Это требует знания нефильтрованного поля скоростей, которое неизвестно, поэтому его необходимо смоделировать. Последующий анализ иллюстрирует трудности, вызванные нелинейностью, а именно тем, что она вызывает взаимодействие между большим и малым масштабами, предотвращая разделение масштабов.${\displaystyle {\bar {p}}}$${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$

Член отфильтрованной адвекции можно разделить, следуя Леонарду (1974), ^[11], следующим образом:

${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}}$

где - тензор остаточных напряжений, так что отфильтрованные уравнения Навье-Стокса становятся${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}}$

с тензором остаточных напряжений, группирующим все незамкнутые члены. Леонард разложил этот тензор напряжений и дал физические интерпретации для каждого члена. , тензор Леонарда, представляет взаимодействия между крупными масштабами, член, подобный напряжению Рейнольдса, представляет взаимодействия между масштабами подфильтра (SFS), а тензор Кларка, ^[12] представляет межмасштабные взаимодействия между крупными и мелкими масштабами. . ^[11] Моделирование незакрытого члена является задачей моделей подсетевого масштаба (SGS). Это усложняется тем фактом, что тензор напряжения подсетки должен учитывать взаимодействия между всеми шкалами, включая отфильтрованные шкалы с нефильтрованными шкалами.${\displaystyle \tau _{ij}}$${\displaystyle \tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}}$${\displaystyle L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$${\displaystyle R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$${\displaystyle C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}}$${\displaystyle \tau _{ij}}$${\displaystyle \tau _{ij}}$

Отфильтрованное основное уравнение для пассивного скаляра , такого как фракция смеси или температура, можно записать как${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}}$

где - диффузионный поток , и - поток субфильтра для скаляра . Отфильтрованный диффузионный поток является незамкнутым, если для него не предполагается особая форма, такая как модель градиентной диффузии . определяется аналогично ,${\displaystyle J_{\phi }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\overline {J_{\phi }}}}$${\displaystyle J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}}$${\displaystyle q_{j}}$${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}}$

и аналогичным образом может быть разделен на вклады от взаимодействий между различными масштабами. Этот поток субфильтра также требует модели субфильтра.

Вывод [ править ]

Используя обозначения Эйнштейна , уравнения Навье – Стокса для несжимаемой жидкости в декартовых координатах имеют вид

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Фильтрация уравнения импульса приводит к

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.}$

Если предположить, что фильтрация и дифференцирование коммутируют, то

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

Это уравнение моделирует изменения во времени отфильтрованных переменных . Поскольку неотфильтрованные переменные неизвестны, их невозможно вычислить напрямую . Однако количество известно. Произведена замена:${\displaystyle {\bar {u_{i}}}}$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}}$${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}\right).}$

Пусть . Результирующая система уравнений представляет собой уравнения LES:${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.}$

Сжимаемые управляющие уравнения [ править ]

Для основных уравнений сжимаемого потока каждое уравнение, начиная с сохранения массы, фильтруется. Это дает:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0}$

что приводит к дополнительному условию подфильтра. Однако желательно избежать моделирования масштабов подфильтра уравнения сохранения массы. По этой причине Фавр ^[13] предложил операцию фильтрации с взвешиванием по плотности, называемую фильтрацией Фавра, определяемую для произвольной величины как:${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}}$

что в пределе несжимаемости становится обычной фильтрацией. Это делает уравнение сохранения массы:

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0.}$

Затем эту концепцию можно расширить, чтобы записать уравнение импульса для сжимаемого потока с фильтрацией Фавра. Вслед за Времаном: ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$

где - тензор напряжения сдвига, определяемый для ньютоновской жидкости по формуле:${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}}$

и термин представляет вклад вязкости субфильтра от оценки вязкости с использованием температуры, отфильтрованной по Фавру . Тензор подсеточных напряжений для поля импульса, отфильтрованного Фавром, имеет вид${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$${\displaystyle \mu (T)}$${\displaystyle {\tilde {T}}}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}$

По аналогии, разложение Леонарда также может быть записано для тензора остаточных напряжений для отфильтрованного тройного произведения . Тройное произведение можно переписать с помощью оператора фильтрации Фавра как , который является незамкнутым термином (он требует знания полей и , когда известны только поля и ). Его можно разбить аналогично описанному выше, что приводит к тензору напряжения подфильтра . Этот член подфильтра можно разделить на вклады от трех типов взаимодействий: тензор Леондарда , представляющий взаимодействия между разрешенными шкалами; тензор Кларка , представляющий взаимодействие между разрешенной и неразрешенной шкалами; и тензор Рейнольдса${\displaystyle {\overline {\rho \phi \psi }}}$${\displaystyle {\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$${\displaystyle {\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)}$${\displaystyle L_{ij}}$${\displaystyle C_{ij}}$${\displaystyle R_{ij}}$, который представляет взаимодействие между неразрешенными шкалами. ^[15]

Уравнение отфильтрованной кинетической энергии [ править ]

В дополнение к отфильтрованным уравнениям массы и импульса, фильтрация уравнения кинетической энергии может дать дополнительную информацию. Поле кинетической энергии может быть отфильтровано для получения полной отфильтрованной кинетической энергии:

${\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}}$

и полная отфильтрованная кинетическая энергия может быть разложена на два члена: кинетическая энергия отфильтрованного поля скорости ,${\displaystyle E_{f}}$

${\displaystyle E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}}$

и остаточная кинетическая энергия ,${\displaystyle k_{r}}$

${\displaystyle k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}}$

такой что .${\displaystyle {\overline {E}}=E_{f}+k_{r}}$

Уравнение сохранения для может быть получено умножением отфильтрованного уравнения переноса импульса на :${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S_{ij}}}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi }$

где - диссипация кинетической энергии отфильтрованного поля скорости за счет вязкого напряжения, и представляет собой диссипацию кинетической энергии в масштабе субфильтра (SFS).${\displaystyle \epsilon _{f}=2\nu {\bar {S_{ij}}}{\bar {S_{ij}}}}$${\displaystyle \Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S_{ij}}}}$

Члены в левой части представляют собой перенос, а члены в правой части представляют собой элементы стока, которые рассеивают кинетическую энергию. ^[9]

Термин рассеивания SFS представляет особого интерес, поскольку она представляет собой передачу энергии от крупных масштабов решенных до небольших неразрешенных масштабов. В среднем передает энергию от больших масштабов к мелким. Однако мгновенное значение может быть положительным или отрицательным, что означает, что оно также может действовать как источник кинетической энергии отфильтрованного поля скорости. Передача энергии от неразрешенных к разрешенным масштабам называется обратным рассеянием (и аналогично перенос энергии от разрешенных к неразрешенным масштабам называется прямым рассеянием ). ^[16]${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle E_{f}}$

Численные методы для LES [ править ]

Моделирование больших вихрей включает решение дискретных отфильтрованных управляющих уравнений с использованием вычислительной гидродинамики . LES разрешает масштабы от размера домена до размера фильтра , и поэтому значительная часть турбулентных флуктуаций с высоким волновым числом должна быть разрешена. Для этого требуются либо численные схемы высокого порядка , либо мелкое сеточное разрешение, если используются численные схемы низкого порядка. В главе 13 Поупа ^[9] рассматривается вопрос о том, насколько точное разрешение сетки необходимо для разрешения отфильтрованного поля скорости . Госал ^[17]${\displaystyle L}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle {\overline {u}}({\boldsymbol {x}})}$обнаружил, что для схем дискретизации низкого порядка, таких как те, которые используются в методах конечного объема, ошибка усечения может быть того же порядка, что и вклады масштаба подфильтра, если только ширина фильтра значительно не превышает шаг сетки . Хотя схемы четного порядка имеют ошибку усечения, они недиссипативны, ^[18] и поскольку модели масштаба подфильтра диссипативны, схемы четного порядка не будут влиять на вклады модели масштаба подфильтра так сильно, как диссипативные схемы.${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Delta x}$

Реализация фильтра [ править ]

Операция фильтрации при моделировании больших вихрей может быть неявной или явной. Неявная фильтрация учитывает, что масштабная модель подфильтра будет рассеиваться таким же образом, как и многие численные схемы. Таким образом, сетку или схему численной дискретизации можно считать низкочастотным фильтром LES. Хотя при этом полностью используется разрешение сетки и исключаются вычислительные затраты на вычисление члена масштабной модели подфильтра, трудно определить форму LES-фильтра, которая связана с некоторыми численными проблемами. Кроме того, ошибка усечения также может стать проблемой. ^[19]

При явной фильтрации LES-фильтр применяется к дискретизированным уравнениям Навье – Стокса, обеспечивая четко определенную форму фильтра и уменьшая ошибку усечения. Однако явная фильтрация требует более тонкой сетки, чем неявная фильтрация, и вычислительные затраты возрастают с увеличением . В главе 8 книги Sagaut (2006) числовые значения LES рассматриваются более подробно. ^[10]${\displaystyle (\Delta x)^{4}}$

Граничные условия моделирования больших вихрей [ править ]

Граничные условия на входе существенно влияют на точность LES, и обработка условий на входе для LES является сложной задачей. Теоретически хорошее граничное условие для LES должно содержать следующие особенности: ^[20]

(1) предоставление точной информации о характеристиках потока, то есть скорости и турбулентности;

(2) удовлетворение уравнениям Навье-Стокса и другой физике;

(3) простота реализации и адаптации к различным случаям.

В настоящее время методы создания условий на входе для LES в целом разделены на две категории, классифицированные Табором и др .: ^[21]

Первый метод создания турбулентных входов состоит в их синтезе в соответствии с конкретными случаями, такими как методы Фурье, принцип ортогонального разложения (POD) и вихревые методы. Методы синтеза пытаются создать турбулентное поле на входах, которое имеет подходящие свойства, подобные турбулентности, и упрощает определение параметров турбулентности, таких как турбулентная кинетическая энергия и скорость турбулентной диссипации. Кроме того, условия на входе, создаваемые с помощью случайных чисел, не требуют больших вычислительных затрат. Однако у метода есть один серьезный недостаток. Синтезированная турбулентность не удовлетворяет физической структуре потока жидкости, описываемой уравнениями Навье-Стокса. ^[20]

Второй метод включает в себя отдельный расчет и предварительный расчет для создания базы данных турбулентности, которая может быть введена в основные вычисления на входах. База данных (иногда называемая «библиотекой») может быть создана несколькими способами, такими как циклические домены, предварительно подготовленная библиотека и внутреннее отображение. Однако метод создания турбулентного притока с помощью моделирования предвестников требует большой вычислительной мощности.

Исследователи, изучающие применение различных типов синтетических расчетов и расчетов предшественников, обнаружили, что чем более реалистична турбулентность на входе, тем точнее LES предсказывает результаты. ^[20]

Моделирование неразрешенных шкал [ править ]

Чтобы обсудить моделирование неразрешенных шкал, сначала необходимо классифицировать неразрешенные шкалы. Они делятся на две группы: шкалы разрешенных субфильтров (SFS) и шкалы подсеток (SGS).

Разрешенные шкалы субфильтров представляют собой шкалы с волновыми числами, превышающими волновое число отсечки , но чьи эффекты подавляются фильтром. Разрешенные шкалы субфильтров существуют только тогда, когда используются фильтры, нелокальные в волновом пространстве (такие как прямоугольный или гауссовский фильтр). Эти разрешенные шкалы субфильтров должны быть смоделированы с использованием реконструкции фильтра.${\displaystyle k_{c}}$

Масштабы подсетки - это любые масштабы, которые меньше ширины отсекающего фильтра . Форма модели SGS зависит от реализации фильтра. Как упоминалось в разделе « Численные методы для LES », если рассматривается неявный LES, модель SGS не реализуется, и предполагается, что численные эффекты дискретизации имитируют физику неразрешенных турбулентных движений.${\displaystyle \Delta }$

Подсеточные модели [ править ]

Без универсально достоверного описания турбулентности при построении и применении моделей SGS необходимо использовать эмпирическую информацию, дополненную фундаментальными физическими ограничениями, такими как галилеевская инвариантность ^[9] . ^[22] Существует два класса моделей SGS; первый класс - это функциональные модели, а второй класс - структурные модели . Некоторые модели можно отнести к обеим категориям.

Функциональные (вихревые – вязкостные) модели [ править ]

Функциональные модели проще, чем структурные, они сосредоточены только на рассеивании энергии с физически правильной скоростью. Они основаны на подходе искусственной вихревой вязкости, в котором эффекты турбулентности объединяются в турбулентную вязкость. Подход рассматривает диссипацию кинетической энергии в подсеточных масштабах как аналог молекулярной диффузии. В этом случае девиаторная часть моделируется как:${\displaystyle \tau _{ij}}$

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}}$

где - турбулентная вихревая вязкость, - тензор скорости деформации.${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }}$${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$

На основании анализа размеров вихревая вязкость должна иметь единицы . Большинство моделей вихревой вязкости SGS моделируют вихревую вязкость как произведение характерного масштаба длины и характерного масштаба скорости.${\displaystyle \left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}$

Модель Смагоринского – Лилли [ править ]

Первой разработанной моделью SGS была модель SGS Смагоринского – Лилли, разработанная Смагоринским ^[1] и использованная в первом моделировании LES Дирдорфом. ^[2] Он моделирует вихревую вязкость как:

${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|}$

где - размер сетки, а - константа.${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle C}$

Этот метод предполагает, что производство и рассеяние энергии в малых масштабах находятся в равновесии, то есть .${\displaystyle \epsilon =\Pi }$

Динамическая модель (Германо и др. И не только) [ править ]

Germano et al. ^[23] идентифицировали ряд исследований с использованием модели Смагоринского, в каждой из которых были найдены разные значения постоянной Смагоринского для разных конфигураций потока. Пытаясь сформулировать более универсальный подход к моделям SGS, Germano et al. предложил динамическую модель Смагоринского, в которой использовались два фильтра: сеточный LES-фильтр, обозначенный , и тестовый LES-фильтр, обозначенный для любого турбулентного поля.${\displaystyle C}$${\displaystyle {\overline {f}}}$${\displaystyle {\hat {f}}}$${\displaystyle f}$. Тестовый фильтр больше по размеру, чем сеточный фильтр, и добавляет дополнительное сглаживание поля турбулентности по уже сглаженным полям, представленным LES. Применение тестового фильтра к уравнениям LES (которые получены путем применения «сеточного» фильтра к уравнениям Навье-Стокса) приводит к новому набору уравнений, которые идентичны по форме, но с заменой напряжения SGS на . Германо {\ it et al. отметил, что даже несмотря на то, что ни и не могут быть вычислены точно из-за наличия неразрешенных шкал, существует точное соотношение, связывающее эти два тензора. Это отношение, известное как идентичность Germano, здесь${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$${\displaystyle T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}}$${\displaystyle \tau _{ij}}$${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.}$${\displaystyle L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}}$может быть явно оценен, поскольку он включает только отфильтрованные скорости и операцию тестовой фильтрации. Значение идентичности в том , что , если предположить , что турбулентность сам похоже , так что SGS напряжение на уровне сетки и тестирований имеют ту же форму и , то тождество Джермано дает уравнение , из которого коэффициента Смагоринского (который больше не является 'постоянная') потенциально может быть определена. [Неотъемлемой частью процедуры является предположение, что коэффициент не зависит от масштаба (см. Обзор ^[24] )]. Для этого в исходную формулировку были введены два дополнительных шага. Во-первых, предполагалось, что хотя${\displaystyle \tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}}$${\displaystyle T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$был в принципе переменным, изменение было достаточно медленным, чтобы его можно было исключить из операции фильтрации . Во-вторых, поскольку это был скаляр, идентичность Германо была сжата с тензором второго ранга (был выбран тензор скорости деформации), чтобы преобразовать его в скалярное уравнение, из которого можно было определить. Лилли ^[25] нашел менее произвольный и, следовательно, более удовлетворительный подход для получения C из тензорного тождества. Он отметил, что идентичность Джермано требовала выполнения девяти уравнений в каждой точке пространства (из которых только пять независимы) для одной величины . Поэтому проблема получения была чрезмерно определена. Поэтому он предложил${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$определяться методом наименьших квадратов путем минимизации остатков. Это приводит к

${\displaystyle C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.}$

Здесь

${\displaystyle m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}}$

и для краткости : первоначальные попытки реализовать модель в симуляциях LES оказались безуспешными. Во-первых, вычисленный коэффициент вовсе не был «медленно изменяющимся», как предполагалось, и изменялся так же сильно, как любое другое турбулентное поле. Во-вторых, вычисленное может быть как положительным, так и отрицательным. Последний факт сам по себе не следует рассматривать как недостаток, поскольку априорные тесты с использованием фильтрованных полей DNS показали, что скорость рассеяния локальной подсети ${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$${\displaystyle \beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle -\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}}$в турбулентном поле почти так же вероятно будет отрицательным, как и положительным, хотя интеграл по жидкостной области всегда положителен, представляя чистую диссипацию энергии в больших масштабах. Небольшое преобладание положительных значений в противоположность строгой положительности вихревой вязкости приводит к наблюдаемой чистой диссипации. Это так называемое «обратное рассеяние» энергии от малого к большому масштабу действительно соответствует отрицательным значениям C в модели Смагоринского. Тем не менее было обнаружено, что формулировка Джермано-Лилли не дает стабильных расчетов. Специальная мера была принята путем усреднения числителя и знаменателя по однородным направлениям (где такие направления существуют в потоке).

${\displaystyle C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.}$

Когда усреднение включало достаточно большую статистическую выборку, чтобы вычисленное было положительным (или, по крайней мере, редко - отрицательным), стабильные вычисления были возможны. Простая установка отрицательных значений на ноль (процедура, называемая «отсечением») с усреднением или без него также приводила к стабильным вычислениям. Менево предложил ^[26] усреднение по траекториям лагранжевой жидкости с экспоненциально затухающей «памятью». Это может быть применено к задачам, в которых отсутствуют однородные направления, и может быть стабильным, если эффективное время, в течение которого выполняется усреднение, достаточно велико, но не настолько, чтобы сглаживать интересующие пространственные неоднородности.${\displaystyle C}$

Модификация Лилли метода Джермано с последующим статистическим усреднением или синтетическим удалением областей с отрицательной вязкостью кажется специальной, даже если ее можно заставить «работать». Альтернативная формулировка процедуры минимизации наименьших квадратов, известная как «Модель динамической локализации» (DLM), была предложена Ghosal et al. ^[27] В этом подходе сначала определяется величина

${\displaystyle E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}}$

с тензорами и заменены соответствующей моделью SGS. Этот тензор затем представляет величину, на которую подсеточная модель не учитывает идентичность Germano в каждом пространственном местоположении. В подходе Лилли из шляпы вытаскивается оператор ${\displaystyle \tau _{ij}}$${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$

создание алгебраической функции которого затем определяется требованием, чтобы рассматриваемая как функция C имела наименьшее возможное значение. Однако, поскольку полученная таким образом величина оказывается столь же изменчивой, как и любая другая флуктуирующая величина в турбулентности, исходное предположение о постоянстве не может быть обосновано апостериори. В подходе DLM можно избежать этой несогласованности, не задействуя этап удаления C из операции тестовой фильтрации. Вместо этого глобальную ошибку определяют по всей области потока величиной ${\displaystyle E_{ij}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E_{ij}E_{ij}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV}$

где интеграл проходит по всему объему жидкости. Затем эта глобальная ошибка является функционалом пространственно изменяющейся функции (здесь момент времени фиксируется и поэтому появляется просто как параметр), которая определяется таким образом, чтобы минимизировать этот функционал. Решение этой вариационной задачи состоит в том, что оно должно удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма второго рода ${\displaystyle E[C(x,y,z,t)]}$${\displaystyle C(x,y,z,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}}$

где функции и определены в терминах разрешенных полей и, следовательно, известны на каждом временном шаге, а интеграл распространяется по всей области жидкости. Интегральное уравнение решается численно с помощью итерационной процедуры, и сходимость оказалась в целом быстрой при использовании схемы предварительного кондиционирования. Несмотря на то, что этот вариационный подход устраняет внутреннюю несогласованность подхода Лилли, полученные из интегрального уравнения все же демонстрируют нестабильность, связанную с отрицательными вязкостями. Эту проблему можно решить, настаивая на минимизации этого ограничения . Это приводит к уравнению для нелинейного ${\displaystyle K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}$${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}$${\displaystyle L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}}$${\displaystyle C(x,y,z,t)}$${\displaystyle E[C]}$${\displaystyle C(x,y,z,t)\geq 0}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}}$

Здесь суффикс + указывает на «положительную часть», то есть . Хотя это внешне выглядит как «отсечение», это не специальная схема, а реальное решение вариационной задачи с ограничениями. Эта модель DLM (+) оказалась стабильной и дала отличные результаты для вынужденной и затухающей изотропной турбулентности, потоков в каналах и множества других более сложных геометрий. Если поток имеет однородные направления (скажем, направления x и z), то можно ввести анзац . Затем вариационный подход немедленно дает результат Лилли с усреднением по однородным направлениям без каких-либо специальных модификаций предыдущего результата.${\displaystyle x_{+}=(x+|x|)/2}$${\displaystyle C=C(y,t)}$

Одним из недостатков модели DLM (+) было то, что она не описывала обратное рассеяние, которое, как известно, является реальной «вещью» при анализе данных DNS. Для решения этой проблемы были разработаны два подхода. В одном подходе, предложенном Carati et al. ^[28] флуктуирующая сила с амплитудой, определяемой флуктуационно-диссипативной теоремой, добавляется по аналогии с теорией флуктуирующей гидродинамики Ландау. Во втором подходе отмечается, что любая «обратно рассеянная» энергия появляется в разрешенных масштабах только за счет энергии в подсеточных масштабах. DLM можно просто модифицировать, чтобы учесть этот физический факт, чтобы учесть обратное рассеяние, оставаясь при этом стабильным по своей природе. Эта версия DLM с k-уравнением, DLM (k) заменяет в модели вихревой вязкости Смагоринского на${\displaystyle \Delta |{\bar {S}}|}$${\displaystyle {\sqrt {k}}}$как соответствующий масштаб скорости. Процедура определения остается идентичной «неограниченной» версии, за исключением того, что тензоры , где кинетическая энергия K шкалы субтеста связана с кинетической энергией k подсеточной шкалы (следует путем взятия следа идентичности Germano). Теперь для определения k мы используем уравнение переноса ${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$${\displaystyle \beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}}$${\displaystyle K=k+L_{ii}/2}$

${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

где - кинематическая вязкость, а${\displaystyle \nu }$${\displaystyle C_{*},D}$- положительные коэффициенты, представляющие диссипацию кинетической энергии и диффузию соответственно. Их можно определить, следуя динамической процедуре с ограниченной минимизацией, как в DLM (+). Этот подход, хотя и более затратный в реализации, чем DLM (+), оказался стабильным и привел к хорошему согласию с экспериментальными данными для множества испытанных потоков. Кроме того, для DLM (k) математически невозможно привести к нестабильному вычислению, поскольку сумма энергий большого масштаба и SGS не увеличивается по конструкции. Оба этих подхода, включающие обратное рассеяние, работают хорошо. Они дают модели с немного меньшей рассеивающей способностью и несколько улучшенной производительностью по сравнению с DLM (+). Модель DLM (k) дополнительно дает подсеточную кинетическую энергию, которая может быть интересной физической величиной.Эти улучшения достигаются за счет несколько более высоких затрат на реализацию модели.

Динамическая модель возникла в 1990 году Летняя программа в Центре Турбулентность исследований (CTR) в Стэнфордском университете . Серия семинаров «CTR-Tea» отметила 30-летие этой важной вехи в моделировании турбулентности.

Структурные модели [ править ]

См. Также [ править ]

• Прямое численное моделирование
• Гидравлическая механика
• Галилева инвариантность - важное свойство некоторых типов фильтров.
• Усредненные по Рейнольдсу уравнения Навье – Стокса
• Турбулентность

Дальнейшее чтение [ править ]

• Heus, T .; ван Хеерваарден, СС; Йонкер, HJJ; Pier Siebesma, A .; Аксельсен, С. « Формулировка голландского моделирования атмосферных больших вихрей (DALES) и обзор его приложений »  Разработка геонаучных моделей , 3, 2, 30-09-2010, стр. 415–444. DOI : 10.5194 / gmd-3-415-2010 . ISSN : 1991-9603.

Ссылки [ править ]