Большое сито

Большое решето — это метод (или семейство методов и связанных с ними идей) в аналитической теории чисел . Это тип сита , в котором удаляется до половины всех остаточных классов чисел, в отличие от небольших сит, таких как сито Сельберга , в которых удаляются только несколько остаточных классов. Этот метод был дополнительно улучшен за счет более крупного сита , которое удаляет произвольное количество классов остатков. ^[1]

Его название происходит от его первоначального применения: для заданного множества , элементы которого не могут лежать в множестве A _p ⊂ Z / p Z по модулю каждого простого числа p , насколько большим может быть S ? Здесь A _p считается большим, т.е., по крайней мере, таким же большим, как константа, умноженная на p ; если это не так, то говорят о маленьком сите . ${\ Displaystyle S \ подмножество \ {1, \ ldots, N \}}$

Ранняя история большого сита восходит к работам Ю. Б. Линник , в 1941 г. работающий над задачей о наименьшем квадратичном невычете . Впоследствии над ним работал Альфред Реньи , используя вероятностные методы. Только два десятилетия спустя, после большого количества вкладов других, большое сито было сформулировано более определенным образом. Это произошло в начале 1960-х, в независимой работе Клауса Рота и Энрико Бомбьери . Примерно в то же время стала лучше пониматься связь с принципом двойственности. В середине 1960-х годов теорема Бомбьери-Виноградова была доказана как основное применение больших решет с использованием оценок средних значенийПерсонажи Дирихле . В конце 1960-х и начале 1970-х Патрик X. Галлахер упростил многие ключевые компоненты и оценки . ^[2]

Методы с большими ситами были достаточно развиты, чтобы их можно было применять и к ситуациям с маленькими ситами. Что-то обычно рассматривается как связанное с большим решетом, не обязательно с точки зрения того, связано ли оно с ситуацией, описанной выше, а скорее, если оно включает один из двух методов доказательства, традиционно используемых для получения результата большого решета. :

Если множество S плохо распределено по модулю p (в силу, например, исключения из классов конгруэнтности A _p ), то коэффициенты Фурье характеристической функции f _p множества S mod p в среднем велики. Эти коэффициенты можно поднять до значений преобразования Фурье характеристической функции f множества S (т.е. ${\ displaystyle {\ widehat {f_ {p}}} (а)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (а / п)}$ ${\ displaystyle {\ widehat {f}}}$

Ограничивая производные, мы можем видеть, что они должны быть большими в среднем для всех x , близких к рациональным числам формы a / p . Большое здесь означает «относительно большое постоянное время | S |». С ${\ displaystyle {\ widehat {f}} (x)}$