Широта

Координатная сетка на Земле в качестве сферы или эллипсоида . Линии от полюса к полюсу - это линии постоянной долготы или меридианы . Окружности, параллельные экватору, представляют собой линии постоянной широты или параллели . Сетка показывает широту и долготу точек на поверхности. В этом примере меридианы расположены с интервалом 6 °, а параллели - с интервалом 4 °.

В географии , широта является географическая координата , которое указывает на север - юг положение точки на поверхности Земли. Широта - это угол (определенный ниже), который колеблется от 0 ° на экваторе до 90 ° (север или юг) на полюсах. Линии постоянной широты или параллели проходят с востока на запад в виде окружностей, параллельных экватору. Широта используется вместе с долготой, чтобы указать точное местоположение объектов на поверхности Земли. Сам по себе термин широта следует понимать как геодезическую широту.как определено ниже. Вкратце, геодезическая широта в точке - это угол, образованный вектором, перпендикулярным (или нормальным ) к эллипсоидальной поверхности из этой точки и экваториальной плоскости. Также определены шесть дополнительных широт , которые используются в специальных приложениях.

Фон [ править ]

При определении широты и долготы используются два уровня абстракции. На первом этапе физическая поверхность моделируется геоидом - поверхностью, которая приблизительно соответствует среднему уровню моря над океанами и его продолжению под сушей. Второй шаг - аппроксимировать геоид математически более простой опорной поверхностью. Самый простой выбор в качестве опорной поверхности - сфера , но геоид более точно моделируется эллипсоидом. Определения широты и долготы на таких опорных поверхностях подробно описаны в следующих разделах. Линии постоянной широты и долготы вместе составляют координатную сетку на опорной поверхности. Широта точки на фактическомповерхность - это поверхность соответствующей точки на эталонной поверхности, причем соответствие происходит по нормали к эталонной поверхности, которая проходит через точку на физической поверхности. Широта и долгота вместе с некоторыми характеристиками высоты составляют географическую систему координат, как определено в спецификации стандарта ISO 19111. ^[а]

Поскольку существует множество различных справочных эллипсоидов , точная широта объекта на поверхности не является уникальной: это подчеркивается в стандарте ISO, который гласит, что «без полной спецификации системы отсчета координат координаты (то есть широта и долгота) в лучшем случае неоднозначны, а в худшем - бессмысленны ". Это очень важно в точных приложениях, таких как глобальная система позиционирования (GPS), но при обычном использовании, где не требуется высокая точность, опорный эллипсоид обычно не указывается.

В английских текстах угол широты, определяемый ниже, обычно обозначается греческой строчной буквой фи ( φ или ϕ ). Он измеряется в градусах , минутах и ​​секундах или десятичных градусах к северу или югу от экватора. Для целей навигации позиции указываются в градусах и десятичных минутах. Например, маяк Иглы находится на 50 ° 39,734'N 001 ° 35,500'W. ^[1]

Эта статья относится к системам координат для Земли: она может быть адаптирована для покрытия Луны, планет и других небесных объектов ( планетографическая широта ).

Определение [ править ]

В астрономической навигации широта определяется методом высоты меридиана . Более точное измерение широты требует понимания гравитационного поля Земли либо для установки теодолитов, либо для определения орбит спутников GPS. Изучение фигуры Земли вместе с ее гравитационным полем - наука геодезия .

Широта на сфере [ править ]

Перспективный вид Земли, показывающий, как широта ( ) и долгота ( ) определяются на сферической модели. Шаг сетки 10 градусов.${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ lambda}$

Сетка на сфере [ править ]

Сетка образована линиями постоянной широты и постоянной долготы, которые построены относительно оси вращения Земли. Первичные контрольные точки - это полюса, в которых ось вращения Земли пересекает контрольную поверхность. Плоскости, содержащие ось вращения, пересекают поверхность по меридианам ; а угол между любой плоскостью меридиана и плоскостью, проходящей через Гринвич ( нулевой меридиан ), определяет долготу: меридианы - это линии постоянной долготы. Плоскость, проходящая через центр Земли и перпендикулярная оси вращения, пересекает поверхность по большой окружности, называемой экватором.. Плоскости, параллельные экваториальной плоскости, пересекают поверхность кругами постоянной широты; это параллели. Экватор имеет широту 0 °, Северный полюс имеет широту 90 ° северной широты (записывается 90 ° северной широты или + 90 °), а Южный полюс имеет широту 90 ° южной широты (записывается 90 ° южной широты или -90 °. ). Широта произвольной точки - это угол между плоскостью экватора и нормалью к поверхности в этой точке: нормаль к поверхности сферы проходит по радиус-вектору.

Широту, как определено таким образом для сферы, часто называют сферической широтой, чтобы избежать неоднозначности с геодезической широтой и вспомогательными широтами, определенными в последующих разделах этой статьи.

Названные широты на Земле [ править ]

Помимо экватора, важны еще четыре параллели:

Полярный круг	66 ° 34 '(66,57 °) с.ш.
Тропик Рака	23 ° 26 '(23,43 °) с.ш.
Тропик Козерога	23 ° 26 '(23,43 °) ю.ш.
Южный полярный круг	66 ° 34 '(66,57 °) ю.ш.

Плоскость орбиты Земли вокруг Солнца называется эклиптикой , а плоскость, перпендикулярная оси вращения Земли, - плоскостью экватора. Угол между эклиптикой и плоскостью экватора называется по-разному осевым наклоном, наклоном или наклоном эклиптики и обычно обозначается буквой i . Широта тропических кругов равна i, а широта полярных кругов является его дополнением (90 ° - i ). Ось вращения медленно меняется со временем, и значения, приведенные здесь, относятся к текущей эпохе . Изменение во времени более подробно обсуждается в статье об осевом наклоне . ^[b]

На рисунке показана геометрия поперечного сечения плоскости, перпендикулярной эклиптике и проходящей через центры Земли и Солнца в день декабрьского солнцестояния, когда Солнце находится над головой в некоторой точке Тропика Козерога . Южнополярной широты ниже полярного круга в дневное время , в то время как северные полярные широты над Полярным кругом в ночное время . Ситуация меняется на противоположную во время июньского солнцестояния, когда Солнце находится над головой в тропике Рака. Только на широтах между двумя тропиками Солнце может находиться прямо над головой (в зените ).

На картографических проекциях нет универсального правила относительно того, как должны отображаться меридианы и параллели. В приведенных ниже примерах показаны названные параллели (в виде красных линий) на обычно используемой проекции Меркатора и в поперечной проекции Меркатора . На первом параллели горизонтальны, а меридианы вертикальны, тогда как на втором нет точного соотношения параллелей и меридианов с горизонталью и вертикалью: оба являются сложными кривыми.

Широта на эллипсоиде [ править ]

Эллипсоиды [ править ]

В 1687 году Исаак Ньютон опубликовал Philosophi Naturalis Principia Mathematica , в которой доказал, что вращающееся самогравитирующее жидкое тело в состоянии равновесия принимает форму сплюснутого эллипсоида. ^[2] (В этой статье используется термин эллипсоид, а не более старый термин сфероид .) Результат Ньютона был подтвержден геодезическими измерениями в 18 веке. (См. Дугу меридиана.) Сплюснутый эллипсоид - это трехмерная поверхность, образованная вращением эллипса вокруг его более короткой оси (малой оси). «Сплюснутый эллипсоид вращения» в оставшейся части этой статьи сокращенно обозначается словом «эллипсоид». (Эллипсоиды, не имеющие оси симметрии, называются трехосными.)

В истории геодезии использовалось множество различных справочных эллипсоидов . В дни, когда еще не было спутников, они были разработаны для точного соответствия геоиду на ограниченной области съемки, но с появлением GPS стало естественным использовать опорные эллипсоиды (такие как WGS84).) с центром в центре масс Земли и малой осью, совмещенной с осью вращения Земли. Эти геоцентрические эллипсоиды обычно находятся в пределах 100 м (330 футов) от геоида. Поскольку широта определяется относительно эллипсоида, положение данной точки на каждом эллипсоиде разное: невозможно точно указать широту и долготу географического объекта, не указав используемый эллипсоид. Многие карты, поддерживаемые национальными агентствами, основаны на старых эллипсоидах, поэтому нужно знать, как значения широты и долготы преобразуются из одного эллипсоида в другой. Мобильные устройства GPS включают программное обеспечение для преобразования датума, которое связывает WGS84 с локальным опорным эллипсоидом с связанной с ним сеткой.

Геометрия эллипсоида [ править ]

Форма эллипсоида вращения определяется формой эллипса, который вращается вокруг своей малой (более короткой) оси. Требуются два параметра. Одним из них является неизменно экваториальным радиусом, который является большой полуосью , . Другой параметр, как правило , (1) полярный радиус или малая полуось , б ; или (2) (первое) сплющивание , f ; или (3) эксцентриситет , e . Эти параметры не являются независимыми: они связаны соотношением

${\ displaystyle f = {\ frac {ab} {a}}, \ qquad e ^ {2} = 2f-f ^ {2}, \ qquad b = a (1-f) = a {\ sqrt {1- е ^ {2}}} \ ,.}$

Многие другие параметры (см. Эллипс , эллипсоид ) появляются при изучении геодезии, геофизики и картографических проекций, но все они могут быть выражены в терминах одного или двух членов набора a , b , f и e . И f, и e малы и часто появляются в вычислениях в последовательных разложениях; они в порядке1/298и 0,0818 соответственно. Значения для ряда эллипсоидов приведены на Рисунке Земли . Справочные эллипсоиды обычно определяются большой полуосью и обратным сплющиванием,1/ж. Например, определяющими значениями для эллипсоида WGS84 , используемого всеми устройствами GPS, являются ^[3]

• a (экваториальный радиус):6 378 137 0,0 м точно
• 1/ж (обратное сплющивание): 298,257 223 563 ровно

из которых происходят

• b (полярный радиус):6 356 752 0,3142 м
• e ² (квадрат эксцентриситета):0,006 694 379 990 14

Разница между большой и малой полуосями составляет около 21 км (13 миль), и как часть большой полуоси она равна уплощению; на мониторе компьютера размер эллипсоида может составлять 300 на 299 пикселей. Его едва ли можно отличить от сферы размером 300 на 300 пикселей, поэтому иллюстрации обычно преувеличивают сглаживание.

Геодезические и геоцентрические широты [ править ]

Определение геодезической широты ( ) и долготы ( ) на эллипсоиде. Нормаль к поверхности не проходит через центр, за исключением экватора и полюсов.${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ lambda}$

Сетка на эллипсоиде строится точно так же, как на сфере. Нормаль в точке на поверхности эллипсоида не проходит через центр, за исключением точек на экваторе или полюсах, но определение широты остается неизменным как угол между нормалью и экваториальной плоскостью. Терминологию широты необходимо уточнить, выделив:

• Геодезическая широта: угол между нормалью и экваториальной плоскостью. Стандартное обозначение в английских публикациях - φ . Это определение предполагается, когда слово широта используется без уточнения. Определение должно сопровождаться спецификацией эллипсоида.
• Геоцентрическая широта: угол между радиусом (от центра до точки на поверхности) и экваториальной плоскостью. (Рисунок ниже ). Стандартных обозначений нет: примеры из различных текстов включают θ , ψ , q , φ ′ , φ _c , φ _g . В этой статье используется θ .
• Сферическая широта: угол между нормалью к сферической опорной поверхности и экваториальной плоскостью.
• Следует осторожно использовать географическую широту . Некоторые авторы используют его как синоним геодезической широты, в то время как другие используют его как альтернативу астрономической широте .
• Широта (без определения) обычно относится к геодезической широте.

Важность указания опорных данных можно проиллюстрировать на простом примере. На эталонном эллипсоиде для WGS84 центр Эйфелевой башни имеет геодезическую широту 48 ° 51 ′ 29 ″ северной широты или 48,8583 ° северной широты и долготу 2 ° 17 ′ 40 ″ восточной долготы или 2,2944 ° восточной долготы. Те же координаты на опорной точке ED50 определяют точку на земле, которая находится на расстоянии 140 метров (460 футов) от башни. ^{[ необходима цитата ]} Веб-поиск может дать несколько различных значений широты башни; ссылочный эллипсоид указывается редко.

Меридианное расстояние[ редактировать ]

Длина градуса широты зависит от принятой фигуры Земли .

Расстояние по меридиану на сфере [ править ]

На сфере нормаль проходит через центр, и широта ( φ ), следовательно, равна углу, образуемому в центре дугой меридиана от экватора до рассматриваемой точки. Если обозначить меридианное расстояние через m ( φ ), то

${\ displaystyle m (\ phi) = {\ frac {\ pi} {180 ^ {\ circ}}} R \ phi _ {\ mathrm {градусов}} = R \ phi _ {\ mathrm {радианы}}}$

где R обозначает средний радиус Земли. R равно 6 371 км или 3 959 милям. Для R не подходит более высокая точность, поскольку для получения более точных результатов требуется модель эллипсоида. При этом значении R длина меридиана 1 градуса широты на сфере составляет 111,2 км (69,1 статутных миль) (60,0 морских миль). Длина 1 минуты широты составляет 1,853 км (1,151 статутной мили) (1,00 морская миля), а длина 1 секунды широты составляет 30,8 м или 101 фут (см. Морскую милю ).

Меридианное расстояние на эллипсоиде [ править ]

В дуге меридианов и стандартных текстах ^{[4] [5] [6]} показано, что расстояние вдоль меридиана от широты φ до экватора определяется выражением ( φ в радианах)

${\ Displaystyle м (\ phi) = \ int _ {0} ^ {\ phi} M (\ phi ') \, d \ phi' = a \ left (1-e ^ {2} \ right) \ int _ {0} ^ {\ phi} \ left (1-e ^ {2} \ sin ^ {2} \ phi '\ right) ^ {- {\ frac {3} {2}}} \, d \ phi' }$

где M ( φ ) - меридиональный радиус кривизны .

Расстояние в четверть меридиана от экватора до полюса составляет

${\ displaystyle m _ {\ mathrm {p}} = m \ left ({\ frac {\ pi} {2}} \ right) \,}$

Для WGS84 это расстояние составляет10 001 .965 729  км .

Оценка интеграла меридионального расстояния занимает центральное место во многих исследованиях в области геодезии и картографии. Его можно вычислить, расширив интеграл биномиальным рядом и интегрировав член за членом: подробности см. В разделе « Дуга меридиана» . Длина дуги меридиана между двумя заданными широтами задается заменой пределов интеграла соответствующими широтами. Длина небольшой дуги меридиана определяется по ^{формуле [5] [6]}

${\displaystyle \delta m(\phi )=M(\phi )\,\delta \phi =a\left(1-e^{2}\right)\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{-{\frac {3}{2}}}\,\delta \phi }$

${\displaystyle \phi }$	Δ1 лат	Δ1 длинный
0 °	110.574 км	111.320 км
15 °	110.649 км	107.550 км
30 °	110.852 км	96.486 км
45 °	111.132 км	78.847 км
60 °	111.412 км	55.800 км
75 °	111.618 км	28.902 км
90 °	111.694 км	0.000 км

Когда разница широты составляет 1 градус, что соответствует π/180 радиан, расстояние по дуге составляет около

${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}={\frac {\pi a\left(1-e^{2}\right)}{180^{\circ }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$

Расстояние в метрах (с точностью до 0,01 метра) между широтами  - 0,5 градуса и  + 0,5 градуса на сфероиде WGS84 составляет${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle \Delta _{\text{lat}}^{1}=111\,132.954-559.822\cos 2\phi +1.175\cos 4\phi }$

Изменение этого расстояния с широтой (на WGS84 ) показано в таблице вместе с длиной градуса долготы (расстояние с востока на запад):

${\displaystyle \Delta _{\text{long}}^{1}={\frac {\pi a\cos \phi }{180^{\circ }{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}}}\,}$

Калькулятор для любой широты предоставлен Национальным агентством геопространственной разведки (NGA) правительства США . ^[7]

На следующем графике показано изменение градуса широты и долготы в зависимости от широты.

Вспомогательные широты [ править ]

Есть шесть вспомогательных широт, которые имеют приложения к специальным задачам геодезии, геофизики и теории картографических проекций:

• Геоцентрическая широта
• Параметрическая (или приведенная) широта
• Исправление широты
• Аутальная широта
• Конформная широта
• Изометрическая широта

Все определения, данные в этом разделе, относятся к местоположениям на опорном эллипсоиде, но первые две вспомогательные широты, такие как геодезическая широта, могут быть расширены для определения трехмерной географической системы координат, как обсуждается ниже . Остальные широты таким образом не используются; они используются только как промежуточные конструкции в картографических проекциях опорного эллипсоида на плоскость или при расчетах геодезических на эллипсоиде. Их числовые значения не представляют интереса. Например, никому не нужно вычислять истинную широту Эйфелевой башни.

Приведенные ниже выражения дают вспомогательные широты в виде геодезической широты, большой полуоси a и эксцентриситета e . (Обратные значения см. Ниже .) Приведенные формы, помимо вариантов обозначений, относятся к стандартным справочникам для картографических проекций, а именно «Картографические проекции: рабочее руководство» JP Snyder. ^[8] Выводы этих выражений можно найти у Адамса ^[9] и онлайн-публикаций Осборна ^[5] и Раппа. ^[6]

Геоцентрическая широта [ править ]

Геоцентрическая широта угол между экваториальной плоскостью и радиусом от центра до точки на поверхности. Связь между геоцентрической широтой ( θ ) и геодезической широтой ( φ ) выводится в приведенных выше ссылках как

${\displaystyle \theta (\phi )=\tan ^{-1}\left(\left(1-e^{2}\right)\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)^{2}\tan \phi \right)\,.}$

Геодезические и геоцентрические широты равны на экваторе и на полюсах, но на других широтах они отличаются на несколько угловых минут. Принимая значение квадрата эксцентриситета как 0,0067 (это зависит от выбора эллипсоида), можно показать, что максимальная разница составляет около 11,5 угловых минут на геодезической широте примерно 45 ° 6 ′. ^[c]${\displaystyle \phi {-}\theta }$

Параметрическая (или приведенная) широта[ редактировать ]

Параметрическая или уменьшена широта , β , определяется радиусом , проведенной от центра эллипсоида до этой точки Q на окружающую сферы (радиуса а ) , которая является проекцией параллельно оси Земли точечного P на эллипсоиде в широта φ . Он был введен Лежандром ^[10] и Бесселем ^[11], которые решили задачи для геодезических на эллипсоиде, преобразовав их в эквивалентную задачу для сферических геодезических, используя эту меньшую широту. Обозначения Бесселя, u ( φ ), также используется в современной литературе. Параметрическая широта связана с геодезической широтой следующим образом: ^{[5] [6]}

${\displaystyle \beta (\phi )=\tan ^{-1}\left({\sqrt {1-e^{2}}}\tan \phi \right)=\tan ^{-1}\left((1-f)\tan \phi \right)}$

Альтернативное название происходит от параметризации уравнения эллипса, описывающего меридиональное сечение. В декартовых координатах p , расстояние от малой оси, и z , расстояние над экваториальной плоскостью, уравнение эллипса выглядит следующим образом:

${\displaystyle {\frac {p^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Декартовы координаты точки параметризуются как

${\displaystyle p=a\cos \beta \,,\qquad z=b\sin \beta \,;}$

Кэли предложил термин параметрическая широта из-за формы этих уравнений. ^[12]

Параметрическая широта не используется в теории картографических проекций. Его наиболее важное приложение - теория эллипсоидных геодезических ( Винсенти , Карни ^[13] ).

Исправление широты [ править ]

Ректификационная широты , μ , является меридиан расстояния масштабируется таким образом , что его значение у полюсов равно 90 градусов илиπ/2 радианы:

${\displaystyle \mu (\phi )={\frac {\pi }{2}}{\frac {m(\phi )}{m_{\mathrm {p} }}}}$

где меридианное расстояние от экватора до широты φ равно (см. дугу меридиана )

${\displaystyle m(\phi )=a\left(1-e^{2}\right)\int _{0}^{\phi }\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi '\right)^{-{\frac {3}{2}}}\,d\phi '\,,}$

а длина меридионального квадранта от экватора до полюса ( полярное расстояние ) равна

${\displaystyle m_{\mathrm {p} }=m\left({\frac {\pi }{2}}\right)\,.}$

Использование выпрямляющей широты для определения широты на сфере радиуса

${\displaystyle R={\frac {2m_{\mathrm {p} }}{\pi }}}$

определяет проекцию эллипсоида на сферу, так что все меридианы имеют истинную длину и одинаковый масштаб. Затем сферу можно спроецировать на плоскость с равнопрямоугольной проекцией, чтобы получить двойную проекцию от эллипсоида на плоскость, так что все меридианы имеют истинную длину и единый масштаб меридиана. Примером использования выпрямляющей широты является эквидистантная коническая проекция . (Снайдер, Раздел 16). ^[8] Выпрямляющая широта также имеет большое значение при построении поперечной проекции Меркатора .

Аутальная широта [ править ]

Authalic (греческий язык для той же области ) широты, £ , дает сохраняющее площадь преобразование в сфере.

${\displaystyle \xi (\phi )=\sin ^{-1}\left({\frac {q(\phi )}{q_{\mathrm {p} }}}\right)}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}q(\phi )&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)\\[2pt]&={\frac {\left(1-e^{2}\right)\sin \phi }{1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\end{aligned}}}$

а также

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{\mathrm {p} }=q\left({\frac {\pi }{2}}\right)&=1-{\frac {1-e^{2}}{2e}}\ln \left({\frac {1-e}{1+e}}\right)\\&=1+{\frac {1-e^{2}}{e}}\tanh ^{-1}e\end{aligned}}}$

а радиус сферы принимается равным

${\displaystyle R_{q}=a{\sqrt {\frac {q_{\mathrm {p} }}{2}}}\,.}$

Примером использования аутентичной широты является равновеликая коническая проекция Альберса . ^{[8] : §14}

Конформная широта [ править ]

Конформной широта , χ , дает угол сохраняющих ( конформный ) преобразования в этой сфере.

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\phi )&=2\tan ^{-1}\left[\left({\frac {1+\sin \phi }{1-\sin \phi }}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{e}\right]^{\frac {1}{2}}-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=2\tan ^{-1}\left[\tan \left({\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\left({\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right)^{\frac {e}{2}}\right]-{\frac {\pi }{2}}\\[2pt]&=\tan ^{-1}\left[\sinh \left(\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right)\right]\\&=\operatorname {gd} \left[\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\right]\end{aligned}}}$

где gd ( x ) - функция Гудермана . (См. Также проекцию Меркатора .)

Конформная широта определяет преобразование эллипсоида в сферу произвольного радиуса, так что угол пересечения между любыми двумя линиями на эллипсоиде совпадает с соответствующим углом на сфере (так что форма маленьких элементов хорошо сохраняется) . Дальнейшее конформное преобразование сферы в плоскость дает двойную конформную проекцию эллипсоида на плоскость. Это не единственный способ создания такой конформной проекции. Например, «точная» версия поперечной проекции Меркатора на эллипсоид не является двойной проекцией. (Однако это включает обобщение конформной широты на комплексную плоскость).

Изометрическая широта [ править ]

Изометрическая широта , ψ , используются в разработке эллипсоидальных версий нормального Меркатора проекции и проекции Меркатора . Название «изометрический» происходит от того факта, что в любой точке эллипсоида равные приращения ψ и долготы λ вызывают смещения на равные расстояния по меридианам и параллелям соответственно. Координатная сетка определяется линиями постоянной ф и постоянная Л, делит поверхность эллипсоида на сетку квадратов (разного размера). Изометрическая широта равна нулю на экваторе, но быстро отклоняется от геодезической широты, стремясь к бесконечности на полюсах. Стандартные обозначения даны у Снайдера (стр. 15): ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (\phi )&=\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\phi }{2}}\right)\right]+{\frac {e}{2}}\ln \left[{\frac {1-e\sin \phi }{1+e\sin \phi }}\right]\\&=\sinh ^{-1}(\tan \phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi )\\&=\operatorname {gd} ^{-1}(\phi )-e\tanh ^{-1}(e\sin \phi ).\end{aligned}}}$

Для нормальной проекции Меркатора (на эллипсоиде) эта функция определяет расстояние между параллелями: если длина экватора на проекции равна E (единицы длины или пиксели), то расстояние y параллели широты φ от экватор

${\displaystyle y(\phi )={\frac {E}{2\pi }}\psi (\phi )\,.}$

Изометрическая широта ψ тесно связана с конформной широтой χ :

${\displaystyle \psi (\phi )=\operatorname {gd} ^{-1}\chi (\phi )\,.}$

Обратные формулы и ряды [ править ]

Формулы в предыдущих разделах дают дополнительную широту в терминах геодезической широты. Выражения для геоцентрических и параметрических широт могут быть инвертированы напрямую, но это невозможно в четырех оставшихся случаях: выпрямляющей, аутентичной, конформной и изометрической широтах. Есть два способа действовать. Первый - это численное обращение определяющего уравнения для каждого отдельного значения вспомогательной широты. Доступны следующие методы: итерация с фиксированной точкой и поиск корня Ньютона – Рафсона . Другой, более полезный подход состоит в том, чтобы выразить вспомогательную широту в виде ряда с точки зрения геодезической широты, а затем инвертировать ряд методом реверсии Лагранжа.. Такие ряды представлены Адамсом, который использует разложения в ряд Тейлора и дает коэффициенты в терминах эксцентриситета. ^[9] Осборн ^[5] выводит ряды в произвольном порядке с помощью пакета компьютерной алгебры Maxima ^[14] и выражает коэффициенты как с точки зрения эксцентриситета, так и сглаживания. Метод серий не применим к изометрической широте, и необходимо использовать конформную широту на промежуточном этапе.

Численное сравнение вспомогательных широт [ править ]

График справа показывает разницу между геодезической широтой и вспомогательными широтами, отличными от изометрической широты (которая расходится до бесконечности на полюсах) для случая эллипсоида WGS84. Разница, показанная на графике, выражена в угловых минутах. В Северном полушарии (положительные широты) θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ φ; в Южном полушарии (отрицательные широты) неравенства обратные, с равенством на экваторе и полюсах. Хотя график кажется симметричным относительно 45 °, минимумы кривых на самом деле лежат между 45 ° 2 'и 45 ° 6'. Некоторые репрезентативные данные приведены в таблице ниже. Конформные и геоцентрические широты почти неразличимы, и этот факт использовался во времена ручных калькуляторов для ускорения построения картографических проекций. ^{[8] : 108}

Для первого порядка сглаживания f вспомогательные широты могут быть выражены как ζ = φ - Cf sin 2 φ, где константа C принимает значения [ 1 ⁄ 2 , 2 ⁄ 3 , 3 ⁄ 4 , 1, 1] для ζ = [ β , ξ , μ , χ , θ ].

Системы широты и координат [ править ]

Геодезическая широта или любая из дополнительных широт, определенных на опорном эллипсоиде, вместе с долготой составляет двумерную систему координат на этом эллипсоиде. Чтобы определить положение произвольной точки, необходимо расширить такую ​​систему координат до трех измерений. Таким образом используются три широты: геодезическая, геоцентрическая и параметрическая широты используются в геодезических координатах, сферических полярных координатах и ​​эллипсоидальных координатах соответственно.

Геодезические координаты [ править ]

В произвольной точке P рассмотрим прямую PN, нормальную к опорному эллипсоиду. Геодезические координаты P ( ɸ , λ , h ) - это широта и долгота точки N на эллипсоиде и расстояние PN . Эта высота отличается от высоты над геоидом или опорной высоты, например, над средним уровнем моря в указанном месте. Направление PN также будет отличаться от направления вертикального отвеса. Соотношение этих различных высот требует знания формы геоида, а также гравитационного поля Земли.

Сферические полярные координаты [ править ]

Геоцентрическая широта θ является дополнением к полярному углу θ ′ в обычных сферических полярных координатах, в которых координаты точки равны P ( r , θ ′, λ ), где r - расстояние P от центра O , θ ′ - угол между радиус-вектором и полярной осью, а λ - долгота. Поскольку нормаль в общей точке эллипсоида не проходит через центр, ясно, что точки P 'на нормали, которые имеют одинаковую геодезическую широту, будут иметь разные геоцентрические широты. При анализе гравитационного поля используются сферические полярные системы координат.

Эллипсоидальные координаты [ править ]

Параметрическая широта также может быть расширена до трехмерной системы координат. Для точки P не на опорном эллипсоиде (полуоси OA и OB ) постройте вспомогательный эллипсоид, который конфокален (те же фокусы F , F ' ) с опорным эллипсоидом: необходимое условие состоит в том, чтобы произведение ae большой полуоси и эксцентриситет одинаков для обоих эллипсоидов. Пусть u - малая полуось ( OD ) вспомогательного эллипсоида. Далее пусть β - параметрическая широта точки P на вспомогательном эллипсоиде. Множество ( u , β ,λ ) определяют эллипсоидальные координаты , ^{[4] : §4.2.2,} также известный как эллипсоидально-гармонические координаты . ^[15] Эти координаты являются естественным выбором в моделях гравитационного поля для вращающегося эллипсоидального тела. Вышесказанное относится к двухосному эллипсоиду (сфероиду, как в сплюснутых сфероидальных координатах ); для обобщения см. трехосные эллипсоидальные координаты .

Координаты преобразований [ править ]

Связи между указанными выше системами координат, а также декартовыми координатами здесь не приводятся. Преобразование между геодезическими и декартовыми координатами можно найти в преобразовании географических координат . Соотношение декартовых и сферических поляр задано в сферической системе координат . Связь декартовых и эллипсоидальных координат обсуждается в Торже. ^[4]

Астрономическая широта [ править ]

Астрономическая широта ( Φ ) - это угол между плоскостью экватора и истинным вертикальным направлением в точке на поверхности. Истинная вертикаль, направление отвеса , также является направлением силы тяжести (результатом ускорения свободного падения (основанного на массе) и центробежного ускорения ) на этой широте. ^[4] Астрономическая широта рассчитывается по углам, измеренным между зенитом и звездами, склонение которых точно известно.

В общем, истинная вертикаль в точке на поверхности не совпадает в точности ни с нормалью к опорному эллипсоиду, ни с нормалью к геоиду. Угол между астрономической и геодезической нормалями называется вертикальным отклонением и обычно составляет несколько угловых секунд, но он важен в геодезии. ^{[4] [16]} Причина, по которой он отличается от нормали к геоиду, заключается в том, что геоид представляет собой идеализированную теоретическую форму «на среднем уровне моря». Точки на реальной поверхности земли обычно находятся выше или ниже этой идеализированной поверхности геоида, и здесь истинная вертикаль может незначительно отличаться. Кроме того, на истинную вертикаль в точке в определенное время влияют приливные силы, которые усредняет теоретический геоид.

Астрономическую широту не следует путать со склонением , координаты, которые астрономы используют аналогичным образом, чтобы указать угловое положение звезд к северу / югу от небесного экватора (см. Экваториальные координаты ), ни с эклиптической широтой , координаты, которые астрономы используют для определения угловое положение звезд к северу / югу от эклиптики (см. координаты эклиптики ).

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Сноски [ править ]

Цитаты [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Сервер имен GEONets , доступ к базе данных иностранных географических объектов Национального агентства геопространственной разведки (NGA).
• Ресурсы для определения вашей широты и долготы
• Преобразование десятичных градусов в градусы, минуты, секунды - Информация о преобразовании десятичных чисел в шестидесятичные.
• Преобразование десятичных градусов в градусы, минуты, секунды
• Расчет расстояния на основе широты и долготы - версия JavaScript
• Обзор широты 16-го века
• Определение широты Фрэнсисом Дрейком на побережье Калифорнии в 1579 году