В кристаллографии , что уравнения Лауэ относятся входящие волны к исходящему волн в процессе дифракции на кристаллической решетке . Они названы в честь физика Макса фон Лауэ (1879–1960). Они сводятся к закону Брэгга .
Позволять - примитивные векторы кристаллической решетки, атомы которого расположены в точках которые представляют собой целочисленные линейные комбинации примитивных векторов.
Позволять - волновой вектор входящего (падающего) пучка, и пусть- волновой вектор выходящего (дифрагированного) пучка. Тогда векторназывается вектором рассеяния (также называемым переданным волновым вектором) и измеряет изменение между двумя волновыми векторами.
Три условия, при которых вектор рассеяния должны удовлетворять, называемые уравнениями Лауэ , следующим образом: числа определяется уравнениями
должны быть целыми числами . Каждый выбор целых чисел, называемый индексами Миллера , определяет вектор рассеяния. Следовательно, существует бесконечно много векторов рассеяния, удовлетворяющих уравнениям Лауэ. Они образуют решетку, называемая обратной решеткой кристаллической решетки. Это условие позволяет одиночному падающему лучу дифрагировать в бесконечном множестве направлений. Однако лучи, соответствующие высоким индексам Миллера, очень слабые и не наблюдаются. Этих уравнений достаточно, чтобы найти основу обратной решетки, по которой можно определить кристаллическую решетку. Это принцип рентгеновской кристаллографии .
Падающий и дифрагированный пучки представляют собой возбуждения плоских волн.
поля, которое для простоты мы принимаем за скаляр, хотя основной интерес представляет собой электромагнитное поле, которое является векторным.
Две волны распространяются в пространстве независимо, за исключением точек решетки, где они резонируют с осцилляторами, поэтому их фазы должны совпадать. [1] Следовательно, для каждой точки решетки у нас есть
или, что то же самое, мы должны иметь
для некоторого целого числа , это зависит от точки . Упрощая, получаем
Теперь достаточно проверить выполнение этого условия на примитивных векторах (это именно то, что говорят уравнения Лауэ), потому что тогда для других точек у нас есть
где это целое число .
Это гарантирует, что если уравнения Лауэ выполнены, то входящая и выходящая волна имеют одинаковую фазу во всех точках кристаллической решетки, поэтому колебания атомов, следующие за входящей волной, могут одновременно генерировать выходящую волну. .
Если является вектор обратной решетки , мы знаем , по определению обратной решетки базисных векторов,, где является целым числом (мы используем определение вектора обратной решетки, которое дает множитель ). Но обратите внимание, что это не что иное, как уравнения Лауэ. Следовательно, мы отождествляем, это иногда называют условием Лауэ. В некотором смысле дифракционные картины - это способ экспериментального измерения обратной решетки.
Переписываем условие Лауэ: [2]
Применяя условие упругого рассеяния к приведенному выше уравнению, получаем:
- .
По сути, условие Лауэ - это сохранение импульса и следствие очень общего утверждения о том, что импульс кристалла сохраняется только до вектора обратной решетки, в то время как условие упругости - это сохранение энергии, переносимой рентгеновскими лучами (т. Е. кристалл не получает энергии от рассеянного излучения).
Результат - уравнение плоскости (геометрии) . Векторзадает набор плоскостей Брэгга в обратном пространстве, перпендикулярном ему. Обратите внимание, что это подразумевает соответствующий набор плоскостей Брэгга в реальном пространстве, то есть целочисленные решения для к уравнению для целочисленных коэффициентов и заказать . Векторы, , а также образуют равнобедренный треугольник. Это означает, что рентгеновские лучи, по-видимому, «отражаются» от этих плоскостей под тем же углом, что и угол их приближения. (относительно самолета).
Поскольку угол между а также является , это означает, что . Четко,. Если постоянная решетки равна, тогда ; это потому, что по определению мы требуем, и, кроме того, мы можем выбрать набор плоскостей Брэгга в реальном пространстве с межплоскостным разделением , и без ограничения общности выберем параллельно . С их помощью мы восстанавливаем закон Брэгга :