В теории вероятностей , то закон (или формула ) полной вероятности является основным правилом в отношении предельных вероятностей для условных вероятностей . Он выражает общую вероятность результата, который может быть реализован через несколько различных событий - отсюда и название.
Заявление
Закон полной вероятности [1] - это теорема, которая в дискретном случае утверждает, чтоконечное или счетное разбиение из выборочного пространства (другими словами, множество попарно непересекающихся событий , у которых объединение является весь образец пространство) и каждое событиеэто измеримо , то для любого событиятого же вероятностного пространства :
или, альтернативно, [1]
где для любого для которого эти члены просто опускаются при суммировании, потому что конечно.
Суммирование можно интерпретировать как средневзвешенное значение и, следовательно, предельную вероятность,, иногда называют «средней вероятностью»; [2] «общая вероятность» иногда используется в менее формальных текстах. [3]
Закон полной вероятности также может быть сформулирован для условных вероятностей.
Принимая как указано выше, и предполагая событие, не зависящее от:
Неформальная формулировка
Вышеупомянутое математическое утверждение можно интерпретировать следующим образом: учитывая событие, с известными условными вероятностями при любом из события, каждое с известной вероятностью, какова полная вероятность того, что случится? Ответ на этот вопрос дает.
Непрерывный случай
Закон полной вероятности распространяется на случай обусловливания событий, генерируемых непрерывными случайными величинами. Позволять- вероятностное пространство . Предполагать случайная величина с функцией распределения , а также событие на . Тогда закон полной вероятности гласит
Если допускает функцию плотности , то результат
Более того, для конкретного случая, когда , где является борелевским множеством, то это дает
Пример
Предположим, что две фабрики поставляют на рынок лампочки . Лампы Factory X работают более 5000 часов в 99% случаев, тогда как лампы Factory Y работают более 5000 часов в 95% случаев. Известно, что фабрика X поставляет 60% от общего количества ламп, а Y - 40% от общего количества ламп. Каков шанс, что купленная лампочка проработает более 5000 часов?
Применяя закон полной вероятности, имеем:
где
- вероятность того, что приобретенная лампочка изготовлена на заводе X ;
- вероятность того, что приобретенная лампочка изготовлена заводом Y ;
- вероятность того, что лампочка производства X проработает более 5000 часов;
- это вероятность того, что лампа, произведенная Y , проработает более 5000 часов.
Таким образом, каждая приобретенная лампочка имеет шанс 97,4% проработать более 5000 часов.
Другие названия
Термин « закон полной вероятности» иногда используется для обозначения закона альтернатив , который является частным случаем закона полной вероятности, применяемого к дискретным случайным величинам . [ необходимая цитата ] Один автор использует терминологию «правила средних условных вероятностей» [4], а другой называет его «непрерывным законом альтернатив» в непрерывном случае. [5] Этот результат был дан Гримметом и Уэлшем [6] как теорема о разбиении , имя, которое они также дали соответствующему закону полного математического ожидания .
Смотрите также
Заметки
- ^ a b Цвиллинджер, Д., Кокоска, С. (2000) Стандартные таблицы вероятностей и статистики CRC и формулы , CRC Press. ISBN 1-58488-059-7 стр. 31.
- ^ Пол Э. Пфайффер (1978). Понятия теории вероятностей . Courier Dover Publications. С. 47–48. ISBN 978-0-486-63677-1.
- ^ Дебора Рамси (2006). Вероятность для чайников . Для чайников. п. 58. ISBN 978-0-471-75141-0.
- ^ Джим Питман (1993). Вероятность . Springer. п. 41. ISBN 0-387-97974-3.
- ^ Кеннет Баклавски (2008). Введение вероятности с R . CRC Press. п. 179. ISBN. 978-1-4200-6521-3.
- ^ Вероятность: Введение , Джеффри Гриммет и Доминик Уэлш , Oxford Science Publications, 1986, теорема 1B.
Рекомендации
- Введение в вероятность и статистику Роберта Дж. Бивера, Барбары М. Бивер, Томсон Брукс / Коул, 2005 г., стр. 159.
- Теория статистики , Марк Дж. Шервиш, Springer, 1995.
- Обзор вероятностей Шаума, второе издание , автор Джон Дж. Шиллер, Сеймур Липшутц, McGraw – Hill Professional, 2010, стр. 89.
- Первый курс стохастических моделей , Х. К. Таймс, Джон Вили и сыновья, 2003 г., страницы 431–432.
- Промежуточный курс теории вероятностей , Алан Гут, Springer, 1995, страницы 5–6.