Лемуан шестиугольник

Шестиугольник Лемуана, показанный с самопересекающейся связностью, описанный первым кругом Лемуана.

В геометрии , то шестигранной Лемуан является циклическим шестиугольник с вершинами , заданных шести пересечений ребер треугольника и трех линий, которые параллельны краям , которые проходят через его симедиана точки . Есть два определения шестиугольника, которые различаются в зависимости от порядка соединения вершин.

Площадь и периметр [ править ]

Шестиугольник Лемуана можно определить двумя способами, во-первых, как простой шестиугольник с вершинами на пересечениях, как определено ранее. Второй - самопересекающийся шестиугольник с линиями, проходящими через симедианную точку, так как три ребра и три других ребра соединяют пары смежных вершин.

Для простого шестиугольника, нарисованного в треугольнике с длинами сторон и площадью, периметр задается как${\ displaystyle a, b, c}$${\ displaystyle \ Delta}$

${\ displaystyle p = {\ frac {a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + 3abc} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}$

и площадь по

${\displaystyle K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

Для самопересекающегося шестиугольника периметр задается формулой

${\displaystyle p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

и площадь по

${\displaystyle K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

Circumcircle [ править ]

В геометрии пять точек определяют конику , поэтому произвольные наборы из шести точек обычно не лежат на коническом сечении, не говоря уже о окружности. Тем не менее шестиугольник Лемуана (с любым порядком соединения) является циклическим многоугольником , а это означает, что все его вершины лежат на общей окружности. Описанная окружность шестиугольника Лемуана известна как первая окружность Лемуана .

Ссылки [ править ]

• Кейси, Джон (1888), «Круги Лемуана, Такера и Тейлора», продолжение первых шести книг Элементов Евклида, содержащее легкое введение в современную геометрию с многочисленными примерами (5-е изд.), Дублин: Ходжес, Figgis, & Co., стр. 179ff..
• Лемуан, Э. (1874), «Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un треугольник», Французская ассоциация развития науки, Congrès (002; 1873; Лион) (на французском языке), стр. 90–95..
• Mackay, JS (1895), "Symmedians треугольника и их сопутствующие круги", Труды Эдинбургского математического общества , 14 : 37-103, DOI : 10,1017 / S0013091500031758.

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Шестиугольник Лемуана» . MathWorld .