Ли Шаньлань личность

В математике , в комбинаторике , тождество Ли Шанланя (также называемое формулой суммирования Ли Шанланя ) - это определенная комбинаторная идентичность, приписываемая китайскому математику XIX века Ли Шанланю . ^[1] Поскольку Ли Шанлань также известен как Ли Реншу, эта личность также упоминается как личность Ли Реншу . ^[2] Эта идентичность появляется в третьей главе Duoji bilei (垛积比类 / 垛積比纇, что означает суммирование конечных рядов ), математическом тексте, автором которого является Ли Шанлан и опубликованном в 1867 году как часть его собрания работ. Чехияматематик Йозеф Кауки опубликовал элементарное доказательство личности вместе с историей личности в 1964 году. ^[3] Кауки приписал эту личность некоему Ли Джен-Шу. Из истории личности было установлено, что Ли Жэнь-Шу на самом деле Ли Шаньлань. ^[1] Западные ученые изучали китайскую математику как историческую ценность; но приписывание этой идентичности китайскому математику девятнадцатого века вызвало переосмысление математической ценности трудов китайских математиков. ^[2]

«На Западе Ли лучше всего запомнился комбинаторной формулой, известной как« тождество Ли Реншу », которую он вывел, используя только традиционные китайские математические методы». ^[4]

Личность [ править ]

Личность Ли Шанланя утверждает, что

\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}={{n+p} \choose p}^{2}

.

Ли Шанлань не представил личность таким образом. Он представил это традиционным китайским алгоритмическим и риторическим способом.^[5]

Подтверждения личности [ править ]

Ли Шанлань не предоставила удостоверение личности в Duoji bilei . Первое доказательство с помощью дифференциальных уравнений и полиномы Лежандра, понятия чуждых Shanlan, было опубликовано Пал Туран в 1936 году, и доказательство появилось на китайском языке в Yung Чанг бумаги «s опубликовано в 1939 году ^[2] С тех пор , по крайней мере пятнадцать различного доказательство имеет был найден. ^[2] Следующее - одно из простейших доказательств. ^[6]

Доказательство начинается с выражения , как свертка Вандермонда в : $n \choose q$

{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}

Предварительно умножив обе стороны на , $n \choose p$

{n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{n \choose p}{{n-p} \choose k}{p \choose {q-k}}

.

Используя следующее соотношение

{n \choose p}{{n-p} \choose k}={{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}

указанное выше соотношение можно преобразовать к

{n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{p \choose {q-k}}{{p+k} \choose k}{n \choose {p+k}}

.

Далее отношение

{p \choose {q-k}}{{p+k} \choose {k}}={q \choose k}{{p+k} \choose {q}}

используется, чтобы получить

{n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{{p+k} \choose q}

.

Другое применение свертки Вандермонда дает

{{p+k} \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}

и, следовательно

{n \choose p}{n \choose q}=\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{k \choose {q-j}}

Поскольку не зависит от k , это можно представить в виде $p \choose j$

{n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose k}{n \choose {p+k}}{k \choose {q-j}}

Далее результат

{q \choose k}{k \choose {q-j}}={q \choose j}{j \choose {q-k}}

дает

{n \choose p}{n \choose q}=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}\sum _{k=0}^{q}{q \choose j}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}

=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}\sum _{k=0}^{q}{j \choose {q-k}}{n \choose {p+k}}

=\sum _{j=0}^{q}{p \choose j}{q \choose j}{{n+j} \choose {p+q}}

Положив p = q и заменив j на k ,

{n \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+k} \choose {2p}}

Тождество Ли следует из этого заменой n на n + p и некоторой перестановкой терминов в полученном выражении:

{{n+p} \choose p}^{2}=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}^{2}{{n+2p-k} \choose {2p}}

О Duoji bilei [ править ]

Термин дуодзи обозначает определенный традиционный китайский метод вычисления сумм стопок. Большая часть математики, разработанной в Китае с шестнадцатого века, связана с методом дуодзи . Ли Шанлань был одним из величайших представителей этого метода, а « Дуоджи билей» представляет собой экспозицию его работ, связанных с этим методом. Duoji bilei состоит из четырех глав: Глава 1 посвящена треугольным сваям, Глава 2 - ряду конечной мощности, Глава 3 - треугольным саморазумножающимся сваям и Глава 4 - модифицированным треугольным сваям. ^[7]

Ссылки [ править ]

^ ^a ^b Жан-Клод Марцлофф (1997). История китайской математики . Гейдельберг Берлин: Springer Verlag. С. 342–343. ISBN 9783540337829.
^ ^a ^b ^c ^d Карен В. Х. Паршалл, Жан-Клод Марцлофф (сентябрь 1992 г.). «Ли Шанлань (1811–1882) и китайская традиционная математика». Математический интеллигент . 14 (4): 32–37. DOI : 10.1007 / bf03024470 . S2CID 123468479 .
^ Йозеф Kaucky (1965). "Новый элемент демонстрации формулы комбинаторики Ли Жэнь Шу". М.-Фузик. Cas. . 15 : 206–214.
^ Wann-Sheng Horng. «Китайский математик Ли Шанлань» . Британская энциклопедия . Проверено 14 ноября 2015 года .
^ Андреа Бреар (2013). «Китай» . В Робин Уилсон, Джон Дж. Уоткинс (ред.). Комбинаторика: древнее и современное . Оксфорд: ОУП. С. 78–79. ISBN 9780191630637.
↑ Джон Риордан (1979). Комбинаторные тождества . Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. С. 15–16. ISBN 0882758292.
^ Тянь Мяо (2003). «Вестернизация китайской математики: тематическое исследование метода Duoji и его развития». Восточноазиатская наука, технология и медицина . 20 : 45–72. DOI : 10.1163 / 26669323-02001004 .

[history-1] Жан-Клод Марцлофф (1997). История китайской математики . Гейдельберг Берлин: Springer Verlag. С. 342–343. ISBN 9783540337829.

[MI-2] Карен В. Х. Паршалл, Жан-Клод Марцлофф (сентябрь 1992 г.). «Ли Шанлань (1811–1882) и китайская традиционная математика». Математический интеллигент . 14 (4): 32–37. DOI : 10.1007 / bf03024470 . S2CID 123468479 .

[3] Йозеф Kaucky (1965). "Новый элемент демонстрации формулы комбинаторики Ли Жэнь Шу". М.-Фузик. Cas. . 15 : 206–214.

[4] Wann-Sheng Horng. «Китайский математик Ли Шанлань» . Британская энциклопедия . Проверено 14 ноября 2015 года .

[5] Андреа Бреар (2013). «Китай» . В Робин Уилсон, Джон Дж. Уоткинс (ред.). Комбинаторика: древнее и современное . Оксфорд: ОУП. С. 78–79. ISBN 9780191630637.

[6] Джон Риордан (1979). Комбинаторные тождества . Нью-Йорк: Издательство Роберта Э. Кригера. С. 15–16. ISBN 0882758292.

[7] Тянь Мяо (2003). «Вестернизация китайской математики: тематическое исследование метода Duoji и его развития». Восточноазиатская наука, технология и медицина . 20 : 45–72. DOI : 10.1163 / 26669323-02001004 .

[1]