Линейная система коников

В алгебраической геометрии , как конические сечения в проективной плоскости образуют линейную систему размерности пять, как видно путем подсчета констант в степени два уравнения . Условие , чтобы пройти через заданную точку Р накладывает одну линейное состояние, так что коники С помощью Р образует линейную систему размерности 4. Другие типов состояния, которые представляют интерес , включают касание к данной линии  L .

В самых элементарных трактовках линейная система появляется в виде уравнений

${\ Displaystyle \ лямбда С + \ му С '= 0 \}$

с неизвестными скалярами λ и μ, но не равными нулю. Здесь C и C ′ - коники. Абстрактно мы можем сказать, что это проективная прямая в пространстве всех коник, на которой мы берем

${\ displaystyle [\ lambda: \ mu] \}$

как однородные координаты . Геометрически мы замечаем, что любая точка Q, общая для C и C ′ , также находится на каждой из коник линейной системы. Согласно теореме Безу, C и C ′ пересекаются в четырех точках (при правильном подсчете). Предполагая, что они находятся в общем положении , то есть четыре различных пересечения, мы получаем другую интерпретацию линейной системы как коники, проходящие через четыре заданные точки (обратите внимание, что коразмерность четыре здесь совпадает с размерностью один в пятимерном пространстве коник ). Отметим, что из этих коник ровно три вырожденные., каждая из которых состоит из пары линий, соответствующих способам выбора 2 пар точек из 4 точек (подсчет через полиномиальный коэффициент и учет пересчета с коэффициентом 2, что при заинтересованности в подсчете пар пар, а не только подборки размера 2).${\ displaystyle \ textstyle {{\ binom {4} {2,2}} / 2 = 3}}$${\ displaystyle \ textstyle {\ binom {4} {2}}}$

Приложения [ править ]

Поразительное применение такого семейства содержится в ( Faucette 1996 ), где дано геометрическое решение уравнения четвертой степени путем рассмотрения пучка коник через четыре корня квартики и отождествления трех вырожденных коник с тремя корнями резольвентной кубики. .

Пример [ править ]

Внешнее видео
Линейная система типа I ( Коффмана ).

Например, учитывая четыре точки, можно параметризовать проходящий через них пучок коник, которые являются аффинными комбинациями уравнений и соответствуют параллельным вертикальным и горизонтальным линиям; это дает вырожденные коники в стандартных точках A, менее элегантная, но более симметричная параметризация определяется тем, что инвертирование a ( ) меняет местами x и y , давая следующий пучок; во всех случаях центр находится в начале координат:${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1),}$${\ displaystyle ax ^ {2} + (1-a) y ^ {2} = 1,}$${\ displaystyle x ^ {2} = 1}$${\ displaystyle y ^ {2} = 1,}$${\ displaystyle 0,1, \ infty.}$${\ Displaystyle (1 + а) х ^ {2} + (1-а) у ^ {2} = 2,}$${\ Displaystyle а \ mapsto -a}$

• ${\ displaystyle a> 1:}$ гиперболы, открывающиеся вправо и влево;
• ${\ displaystyle a = 1:}$ параллельные вертикальные линии ${\ Displaystyle х = -1, х = 1;}$

(точка пересечения на [1: 0: 0])

• ${\ Displaystyle 0 <а <1:}$ эллипсы с большой вертикальной осью;
• ${\ displaystyle a = 0:}$круг (с радиусом );${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$
• ${\ displaystyle -1 <a <0:}$ эллипсы с большой горизонтальной осью;
• ${\ displaystyle a = -1:}$ параллельные горизонтальные линии ${\ Displaystyle у = -1, у = 1;}$

(точка пересечения в [0: 1: 0])

• ${\ displaystyle a <-1:}$ гиперболы, открывающиеся вверх и вниз,
• ${\ displaystyle a = \ infty:}$ диагональные линии ${\ Displaystyle у = х, у = -х;}$

(деление на и принятие лимита в качестве урожайности )${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ to \ infty}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}=0}$

(точка пересечения в [0: 0: 1])

• Затем выполняется цикл до, поскольку карандаши - это проективная линия.${\displaystyle a>1,}$

По терминологии ( Levy, 1964 ), это линейная система конусов Типа I, которая анимирована в связанном видео.

Классификация [ править ]

Существует 8 типов линейных систем коник над комплексными числами, в зависимости от кратности пересечения в базовых точках, которые делятся на 13 типов по действительным числам, в зависимости от того, являются ли базовые точки действительными или мнимыми; это обсуждается в ( Levy 1964 ) и проиллюстрировано в ( Coffman ).

Ссылки [ править ]

• Коффман, Адам, Linear Systems of Conics , получено 8 августа 2020 г.
• Фосетт, Уильям Марк (январь 1996 г.), «Геометрическая интерпретация решения общего многочлена четвертой степени», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX  10.1.1.111.5574 , JSTOR  2975214
• Леви, Гарри (1964), Проективная и родственная геометрии , Нью-Йорк: The Macmillan Co., стр. X + 405