- Для уравнения Лиувилля в дифференциальной геометрии см . Уравнение Лиувилля .
В математике , уравнение Лиувилля-Брат-Гельфанд или уравнение Лиувилля является нелинейным уравнением Пуассона , названное в честь математиков Лиувилль , [1] Г. Брат [2] и Израиля Гельфанда . [3] Уравнение гласит
Уравнение при тепловом разгоне появляется как теория Франка-Каменецкого , астрофизика, например, уравнение Эмдена-Чандрасекара . Это уравнение также описывает объемный заряд электричества вокруг светящегося провода [4] и описывает планетарную туманность .
Решение Лиувилля [5]
В двух измерениях с декартовыми координатами , Джозеф Лиувилль предложил решение в 1853 году как
где - произвольная аналитическая функция с. В 1915 г. Г. Уокер [6] нашел решение, приняв форму для. Если, то решение Уокера
где - некоторый конечный радиус. Это решение затухает на бесконечности при любом, но становится бесконечным в начале координат при , становится конечным в нуле при и обращается в ноль в начале координат при . Уокер также предложил еще два решения в своей статье 1915 года.
Радиально-симметричные формы
Если исследуемая система радиально симметрична, то уравнение в измерение становится
где расстояние от начала координат. С граничными условиями
и для , реальное решение существует только для , где - критический параметр, называемый параметром Франка-Каменецкого . Критический параметр для , для а также для . Для, существует два решения и для бесконечно много решений существует с решениями, колеблющимися вокруг точки . Для, решение единственное, и в этих случаях критический параметр определяется выражением . Кратность решения длябыл открыт Израилем Гельфандом в 1963 году, а в 1973 году обобщен для всехот Daniel D. Иосифа и Томас С. Лундгрен . [7]
Решение для который действителен в диапазоне дан кем-то
где относится к в виде
Решение для который действителен в диапазоне дан кем-то
где относится к в виде
Рекомендации
- ^ Liouville, J. "Sur l'équation aux différences partielles. "Journal de mathématiques pures et appliquées (1853): 71–72. Http://sites.mathdoc.fr/JMPA/PDF/JMPA_1853_1_18_A3_0.pdf
- ^ Брату, Г. "Sur les équations intégrales non linéaires". Бюллетень математического общества Франции 42 (1914): 113–142. http://archive.numdam.org/article/BSMF_1914__42__113_0.pdf
- ^ Гельфанд, И.М. "Некоторые вопросы теории квазилинейных уравнений". Амер. Математика. Soc. Перевод 29.2 (1963): 295–381. http://www.mathnet.ru/links/aa75c5d339030f17940afb64e17793d8/rm7290.pdf
- ^ Ричардсон, Оуэн Уилланс. Эмиссия электричества горячими телами. Лонгманс, Грин и компания, 1921 год.
- ↑ Бейтман, Гарри. «Уравнения в частных производных математической физики». Уравнения в частных производных математической физики, Х. Бейтман, Кембридж, Великобритания: Cambridge University Press, 1932 (1932).
- ^ Уокер, Джордж У. "Некоторые проблемы, иллюстрирующие формы туманностей". Труды Лондонского королевского общества. Серия A, содержащие статьи математического и физического характера 91.631 (1915): 410-420. https://www.jstor.org/stable/pdf/93512.pdf?refreqid=excelsior%3Af4a4cc9656b8bbd9266f9d32587d02b1
- ^ Джозеф, DD, и TS Лундгрен. «Квазилинейные задачи Дирихле, основанные на положительных источниках». Архив рациональной механики и анализа 49.4 (1973): 241-269.