Лиссажу-торический узел

где , и – целые числа , фазовый сдвиг – действительное число , а параметр изменяется от 0 до . ^[1]${\ Displaystyle Н}$${\ Displaystyle р}$${\ Displaystyle д}$ ${\ Displaystyle \ фи}$${\ Displaystyle т}$${\ Displaystyle 2 \ пи}$

Ибо узел является торическим узлом .${\ Displaystyle р = д}$

В форме косы эти узлы могут быть определены в виде квадратного сплошного тора (т. е. куба с отождествленными вершиной и низом) как${\ Displaystyle [-1,1] ^ {3}}$

Замена функций синуса и косинуса в параметризации треугольной волной изотопно преобразует торический узел Лиссажу в бильярдную кривую внутри полнотора. Из-за этого свойства лиссажу-торические узлы называют также бильярдными узлами в полнотории. ^[2]

Торические узлы Лиссажу сначала изучались как бильярдные узлы, и они имеют много общих свойств с бильярдными узлами в цилиндре. ^[3] Они встречаются также при анализе особенностей минимальных поверхностей с точками ветвления ^[4] и при изучении задачи трех тел . ^[5]

Лиссажу-торические узлы обозначаются через . Чтобы гарантировать, что узел будет пройден только один раз при параметризации , необходимы условия. Кроме того, необходимо исключить сингулярные значения фазы, приводящие к самопересечениям.${\ Displaystyle К (N, д, р, \ фи)}$${\ Displaystyle \ НОД (N, д) = \ НОД (Н, р) = 1}$

Торический узел Лиссажу с параметрами 5, 6 и 22 в форме косы (с осью z в ​​горизонтальном направлении)

Торический узел Лиссажу T (4,7,35) как бильярдный узел с периодом 7

Симметрии торического узла Лиссажу T (3,8,7): симметричное объединение (вертикальная ось), поворот в зеркальное отображение и свойство палиндромности внутри Q (горизонтальная ось)