Треугольная волна

Треугольная волна с ограниченной полосой пропускания, изображенная во временной области (вверху) и частотной области (внизу). Основная частота составляет 220 Гц (A3).

	Образец звука треугольной волны 5 секунд треугольной волны при 220 Гц
Проблемы с воспроизведением этого файла? См. Справку по СМИ .

	Аддитивный образец звука волны треугольника Каждую секунду к синусоиде добавляется гармоника, образуя треугольную волну 220 Гц.
Проблемы с воспроизведением этого файла? См. Справку по СМИ .

Треугольная волна или треугольная волна является не-синусоидальным сигналом назван в честь его треугольной формы. Это периодический , кусочно - линейная , непрерывная вещественная функция .

Подобно прямоугольной волне , треугольная волна содержит только нечетные гармоники . Однако высшие гармоники затухают намного быстрее, чем в прямоугольной волне (пропорционально обратному квадрату номера гармоники, а не только обратному).

Определения [ править ]

Синусоидальная , квадратная , треугольная и пилообразная формы сигналов

Тригонометрические функции [ править ]

Треугольная волна с периодом p и амплитудой a может быть выражена через синус и арксинус (значение которых находится в диапазоне от -π / 2 до π / 2):

${\ displaystyle y (x) = {\ frac {2a} {\ pi}} \ arcsin \ left (\ sin \ left ({\ frac {2 \ pi} {p}} x \ right) \ right).}$

Идентификатор может использоваться для преобразования треугольной «синусоидальной» волны в треугольную «косинусоидальную» волну. Эту сдвинутую по фазе треугольную волну также можно выразить с помощью косинуса и арккосинуса :${\ displaystyle \ cos {x} = \ sin \ left ({\ frac {p} {4}} - x \ right)}$

${\ displaystyle y (x) = a - {\ frac {2a} {\ pi}} \ arccos \ left (\ cos \ left ({\ frac {2 \ pi} {p}} x \ right) \ right) .}$

Гармоники [ править ]

Анимация аддитивного синтеза треугольной волны с увеличивающимся числом гармоник. См. Математическое описание в разделе « Анализ Фурье» .

Можно аппроксимировать треугольную волну с помощью аддитивного синтеза , суммируя нечетные гармоники основной гармоники, умножая каждую другую нечетную гармонику на -1 (или, что то же самое, изменяя ее фазу на π) и умножая амплитуду гармоник на единицу по квадрату номера их моды, n (что эквивалентно единице в квадрате их относительной частоты относительно основной гармоники ).

Вышесказанное можно резюмировать математически следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} x _ {\ mathrm {треугольник}} (t) & {} = {\ frac {8} {\ pi ^ {2}}} \ sum _ {i = 0} ^ {N -1} (- 1) ^ {i} n ^ {- 2} \ sin \ left (2 \ pi f_ {0} nt \ right) \ end {выровнено}}}$

где N - количество гармоник, которые необходимо включить в приближение, t - независимая переменная (например, время для звуковых волн), - основная частота, а i - метка гармоники, которая связана с номером ее моды посредством .${\ displaystyle f_ {0}}$${\ Displaystyle п = 2i + 1}$

Этот бесконечный ряд Фурье сходится к треугольной волне, когда N стремится к бесконечности, как показано на анимации.

Функция этажа [ править ]

Другое определение треугольной волны с диапазоном от -1 до 1 и периодом p :

${\displaystyle x(t)={\frac {4}{p}}\left(t-{\frac {p}{2}}\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor \right)(-1)^{\left\lfloor {\frac {2t}{p}}+{\frac {1}{2}}\right\rfloor }}$

где - функция пола .${\displaystyle \lfloor \,\ \rfloor }$

Пилообразная волна [ править ]

Также треугольная волна является абсолютным значением пилообразной волны :

${\displaystyle x(t)=2\left|{t \over p}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right|}$

или для диапазона от -1 до 1:

${\displaystyle x(t)=2\left|2\left({t \over p}-\left\lfloor {t \over p}+{1 \over 2}\right\rfloor \right)\right|-1.}$

Прямоугольная волна [ править ]

Треугольная волна также может быть выражена как интеграл от квадратной волны :

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}\operatorname {sgn}(\sin(u))\,du.}$

Операция по модулю [ править ]

Общее уравнение для треугольной волны с амплитудой и периодом, использующее операцию по модулю и абсолютное значение :${\displaystyle a}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle y(x)={\frac {4a}{p}}{\biggl |}\left((x-{\frac {p}{4}}){\bmod {p}}\right)-{\frac {p}{2}}{\biggr |}-a.}$

Отсюда для треугольной волны с амплитудой 5 и периодом 4:

${\displaystyle y(x)=5{\bigl |}\left((x-1){\bmod {4}}\right)-2{\bigr |}-5.}$

Фазовый сдвиг можно получить, изменив значение члена, а вертикальное смещение можно отрегулировать, изменив значение члена.${\displaystyle -p/4}$${\displaystyle -a}$

Поскольку здесь используется только операция по модулю и абсолютное значение, его можно использовать для простой реализации треугольной волны на аппаратной электронике с меньшей мощностью процессора.

Обратите внимание, что во многих языках программирования %оператор является оператором остатка (с тем же знаком, что и делимое), а не оператором по модулю ; операцию по модулю можно получить, используя ((x % p) + p) % pвместо x % p. Например, в JavaScript это приводит к уравнению формы 4*a/p * Math.abs((((x-p/4)%p)+p)%p - p/2) - a.

Длина дуги [ править ]

Длина дуги за период для треугольной волны, обозначаемая s , задается через амплитуду a и длину периода p как

${\displaystyle s={\sqrt {(4a)^{2}+p^{2}}}.}$

См. Также [ править ]

• Список периодических функций
• Синусоидальная волна
• Квадратная волна
• Пилообразная волна
• Пульсовая волна
• Звук
• Функция треугольника
• Волна
• Зигзаг

Ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Ряд Фурье - треугольная волна» . MathWorld .