В математике , борелевская мера μ на п - мерное евклидово пространство называются логарифмический вогнутыми (или логарифмический вогнутым для краткости) , если для любых компактных подмножеств A и B изи 0 < λ <1 имеем
где λ + (1 - λ ) В обозначает сумму Минковского из λ А и (1 - Л ) B . [1]
Примеры
Неравенство Брунна- Минковского утверждает , что мера Лебега является лог-вогнутая. Ограничение меры Лебега на любое выпуклое множество также лог-вогнуто.
По теореме Борелла [2] мера логарифмически вогнута тогда и только тогда, когда она имеет плотность относительно меры Лебега на некоторой аффинной гиперплоскости, и эта плотность является логарифмически вогнутой функцией . Таким образом, любая гауссовская мера лог-вогнута.
В неравенство Prékopa-Leindler показывает , что свертка лог-вогнутых мер логарифмически вогнута.
Смотрите также
- Выпуклая мера , обобщение этого понятия
- Логарифмически вогнутая функция
Рекомендации
- ^ Prékopa, А. (1980). «Логарифмические вогнутые меры и связанные темы». Стохастическое программирование (Proc. Internat. Conf., Univ. Oxford, Oxford, 1974) . Лондон-Нью-Йорк: Academic Press. С. 63–82. Руководство по ремонту 0592596 .
- ^ Борелл, К. (1975). «Выпуклые множества функций в d- пространстве». Период. Математика. Hungar . 6 (2): 111–136. DOI : 10.1007 / BF02018814 . Руководство по ремонту 0404559 .