Выпуклая мера

В меру и теории вероятностей в математике , A выпуклая мера является вероятностной мерой , что - слабо говоря - не назначает больше массы для какого - либо промежуточного набора «между» двух измеримых множеств A и B , чем это делает , чтобы A или B по отдельности. Существует несколько способов сравнения вероятностей A и B и промежуточного набора, что приводит к множественным определениям выпуклости, таким как логарифмическая вогнутость , гармоническая выпуклость и т. д. математик Кристер Борелл был пионером подробного изучения выпуклых мер на локально выпуклых пространствах в 1970-х годах. ^{[1] [2]}

Общее определение и частные случаи

Пусть X — локально выпуклое хаусдорфово векторное пространство , и рассмотрим вероятностную меру µ на борелевской σ - алгебре X. Зафиксируем −∞ ≤ s ≤ 0 и определим для u , v ≥ 0 и 0 ≤ λ ≤ 1,

${\displaystyle M_{s,\lambda }(u,v)={\begin{cases}(\lambda u^{s}+(1-\lambda )v^{s})^{1/s}&{\text{if }}-\infty <s<0,\\\min(u,v)&{\text{if }}s=-\infty ,\\u^{\lambda }v^{1-\lambda }&{\text{if }}s=0.\end{cases}}}$

Для подмножеств A и B множества X мы пишем

${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B=\{\lambda x+(1-\lambda )y\mid x\in A,y\in B\}}$

для их суммы Минковского . В этих обозначениях мера µ называется s - выпуклой ^[1] , если для всех измеримых по Борелю подмножеств A и B множества X и всех 0 ⩽ λ ⩽ 1

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq M_{s,\lambda }(\mu (A),\mu (B)).}$

Частным случаем s = 0 является неравенство

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },}$

то есть

${\displaystyle \log \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \lambda \log \mu (A)+(1-\lambda )\log \mu (B).}$

Таким образом, 0-выпуклая мера — это то же самое, что и логарифмически вогнутая мера .

Характеристики

Классы s -выпуклых мер образуют вложенное возрастающее семейство при уменьшении s до −∞"

${\displaystyle s\leq t{\text{ and }}\mu {\text{ is }}t{\text{-convex}}\implies \mu {\text{ is }}s{\text{-convex}}}$

или, что то же самое

${\displaystyle s\leq t\implies \{s{\text{-convex measures}}\}\supseteq \{t{\text{-convex measures}}\}.}$

Таким образом, набор −∞-выпуклых мер является наибольшим таким классом, тогда как 0-выпуклые меры (логарифмически вогнутые меры) являются наименьшим классом.

Выпуклость меры µ на n - мерном евклидовом пространстве Rn в ^{указанном} выше смысле тесно связана с выпуклостью ее функции плотности вероятности . ^[2] В самом деле, µ является s -выпуклым тогда и только тогда, когда существует абсолютно непрерывная мера ν с функцией плотности вероятности ρ на некотором Rk , так что ^µ является прямым продвижением на ν при линейном или аффинном отображении и является выпуклым функция , где${\displaystyle e_{s,k}\circ \rho \colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$

${\displaystyle e_{s,k}(t)={\begin{cases}t^{s/(1-sk)}&{\text{if }}-\infty <s<0\\t^{-1/k}&{\text{if }}s=-\infty ,\\-\log t&{\text{if }}s=0.\end{cases}}}$

Выпуклые меры также удовлетворяют закону нуля или единицы : если G — измеримая аддитивная подгруппа векторного пространства X (т. е. измеримое линейное подпространство) , то внутренняя мера G при μ ,

${\displaystyle \mu _{\ast }(G)=\sup\{\mu (K)\mid K\subseteq G{\text{ and }}K{\text{ is compact}}\},}$

должно быть 0 или 1. (В случае, когда µ является радоновской мерой и, следовательно, внутренней регулярностью , мера µ и ее внутренняя мера совпадают, так что µ -мера G равна 0 или 1.) ^[1]

использованная литература