Уравнения Лондона, разработанные братьями Фрицем и Хайнцем Лондоном в 1935 году [1], являются определяющими соотношениями для сверхпроводника, связывающими его сверхпроводящий ток с электромагнитными полями внутри и вокруг него. В то время как закон Ома - это простейшее определяющее соотношение для обычного проводника , уравнения Лондона представляют собой простейшее содержательное описание сверхпроводящих явлений и составляют основу почти любого современного вводного текста по этому вопросу. [2] [3] [4] Главный триумф уравнений - их способность объяснять эффект Мейснера., [5] в котором материал экспоненциально вытесняет все внутренние магнитные поля, когда он пересекает сверхпроводящий порог.
Описание
Есть два уравнения Лондона, выраженные через измеримые поля:
Здесь - плотность (сверхпроводящего) тока , E и B - соответственно электрическое и магнитное поля внутри сверхпроводника, это заряд электрона или протона, - масса электрона, а - феноменологическая константа, слабо связанная с плотностью сверхпроводящих носителей. [6]
Два уравнения могут быть объединены в одно «уравнение Лондона» [6] [7] в терминах определенного векторного потенциала. который был привязан к "лондонскому датчику", давая: [8]
В лондонской калибровке векторный потенциал подчиняется следующим требованиям, гарантируя, что его можно интерпретировать как плотность тока: [9]
- в объеме сверхпроводника,
- где - вектор нормали к поверхности сверхпроводника.
Эти требования отменяют всякую калибровочную свободу и однозначно определяют векторный потенциал. Можно также записать уравнение Лондона в терминах произвольной калибровки [10] просто определив , где - скалярная функция и представляет собой изменение калибровки, которое переводит произвольную калибровку в лондонскую. Выражение векторного потенциала справедливо для магнитных полей, которые медленно меняются в пространстве. [4]
Лондонская глубина проникновения
Если вторым уравнением Лондона манипулировать, применяя закон Ампера , [11]
- ,
тогда его можно превратить в уравнение Гельмгольца для магнитного поля:
где величина, обратная собственному значению лапласиана :
- характерный масштаб длины, , над которой внешние магнитные поля подавляются экспоненциально: она называется лондонской глубиной проникновения : типичные значения составляют от 50 до 500 нм .
Например, рассмотрим сверхпроводник в свободном пространстве, где магнитное поле вне сверхпроводника представляет собой постоянную величину, направленную параллельно сверхпроводящей граничной плоскости в направлении z . Если x ведет перпендикулярно границе, то можно показать, что решение внутри сверхпроводника имеет вид
Отсюда, пожалуй, легче всего понять физический смысл лондонской глубины проникновения.
Обоснование уравнений Лондона
Оригинальные аргументы
Хотя важно отметить, что приведенные выше уравнения не могут быть получены формально [12], Лондоны действительно следовали определенной интуитивной логике в формулировке своей теории. Вещества поразительно широкого диапазона составов ведут себя примерно в соответствии с законом Ома , который гласит, что ток пропорционален электрическому полю. Однако такая линейная зависимость невозможна в сверхпроводнике почти по определению для электронов в сверхпроводящем потоке без какого-либо сопротивления. С этой целью братья Лондон представляли электроны как свободные электроны, находящиеся под действием однородного внешнего электрического поля. Согласно закону силы Лоренца
эти электроны должны столкнуться с однородной силой и, таким образом, фактически должны равномерно ускоряться. Это именно то, что утверждает первое уравнение Лондона.
Чтобы получить второе уравнение, возьмите ротор первого уравнения Лондона и примените закон Фарадея ,
- ,
чтобы получить
В его нынешнем виде это уравнение допускает как постоянные, так и экспоненциально убывающие решения. Лондоны признали из эффекта Мейснера, что постоянные ненулевые решения нефизичны, и, таким образом, постулировали, что не только производная по времени вышеупомянутого выражения равна нулю, но также и что выражение в скобках должно быть идентично нулю. Это приводит ко второму уравнению Лондона.
Канонические аргументы импульса
Также можно обосновать уравнения Лондона другими способами. [13] [14] Плотность тока определяется согласно уравнению
Перенося это выражение из классического описания в квантово-механическое, мы должны заменить значения j и v на математические ожидания их операторов. Оператор скорости
определяется делением калибровочно-инвариантного кинематического оператора импульса на массу частицы m . [15] Обратите внимание, что мы используемкак заряд электрона. Затем мы можем сделать эту замену в приведенном выше уравнении. Однако важное предположение микроскопической теории сверхпроводимости состоит в том, что сверхпроводящее состояние системы является основным состоянием, и согласно теореме Блоха [16] в таком состоянии канонический импульс p равен нулю. Это оставляет
которое является уравнением Лондона согласно второй формулировке, приведенной выше.
Рекомендации
- ^ Лондон, Ф .; Лондон, Х. (1935). «Электромагнитные уравнения суперпроводника» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 149 (866): 71. Bibcode : 1935RSPSA.149 ... 71L . DOI : 10.1098 / RSPA.1935.0048 .
- ^ Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-064878-6.
- ^ Нил Эшкрофт ; Дэвид Мермин (1976). Физика твердого тела . Колледж Сондерса. п. 738 . ISBN 0-03-083993-9.
- ^ а б Чарльз Киттель (2005). Введение в физику твердого тела (8-е изд.). Вайли. ISBN 0-471-41526-X.
- ^ Meissner, W .; Р. Оксенфельд (1933). "Ein neuer Effekt bei Eintritt der Supraleitfähigkeit". Naturwissenschaften . 21 (44): 787. Bibcode : 1933NW ..... 21..787M . DOI : 10.1007 / BF01504252 . S2CID 37842752 .
- ^ а б Джеймс Ф. Аннетт (2004). Сверхпроводимость, сверхтекучие жидкости и конденсаты . Оксфорд. п. 58 . ISBN 0-19-850756-9.
- ^ Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Джон Вили и сыновья. п. 604 . ISBN 0-19-850756-9.
- ^ Лондон, Ф. (1 сентября 1948 г.). «К проблеме молекулярной теории сверхпроводимости» . Физический обзор . 74 (5): 562–573. Bibcode : 1948PhRv ... 74..562L . DOI : 10.1103 / PhysRev.74.562 .
- ^ Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . Макгроу-Хилл. п. 6 . ISBN 0-07-064878-6.
- ^ Бардин, Дж. (1 февраля 1951 г.). «Выбор калибра в лондонском подходе к теории сверхпроводимости» . Физический обзор . 81 (3): 469–470. Полномочный код : 1951PhRv ... 81..469B . DOI : 10.1103 / PhysRev.81.469.2 .
- ^ (Смещение игнорируетсятак как предполагаетсячто электрическое полетолько медленно изменяется по времени, а термин уже подавлено с коэффициентом с .)
- ^ Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . Макгроу-Хилл. п. 5 . ISBN 0-07-064878-6.
- ^ Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Джон Вили и сыновья. стр. 603 -604. ISBN 0-19-850756-9.
- ^ Майкл Тинкхэм (1996). Введение в сверхпроводимость . Макгроу-Хилл. С. 5–6 . ISBN 0-07-064878-6.
- ^ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц (1977). Квантовая механика - нерелятивистская теория . Баттерворт-Хайнеманн. С. 455–458. ISBN 0-7506-3539-8.
- ^ Тинкхи стр.5: «Эта теорема,видимому неопубликованная, хотя известные.»