Без потери общности (часто сокращенно до WOLOG , без потери общности , [1] или без потери общности , режекак указано без потери общности или без потери общности ), часто используется выражение в математике . Этот термин используется, чтобы указать, что следующее предположение выбрано произвольно, сужая посылку до конкретного случая, но не влияет на действительность доказательства в целом. Остальные случаи достаточно похожи на представленный, поэтому их доказательство следует по сути той же логике. [2] [3] В результате, когда доказательство дано для частного случая, онотривиально адаптировать его для доказательства вывода во всех остальных случаях.
Во многих сценариях использование «без потери общности» стало возможным благодаря наличию симметрии . Например, если известно, что какое-то свойство P ( x , y ) действительных чисел является симметричным по x и y , а именно, что P ( x , y ) эквивалентно P ( y , x ), то при доказательстве того, что P ( x , y ) выполняется для любых x и y , можно без ограничения общности считать, что x ≤у . В этом предположении нет потери общности, так как после того, как случай x ≤ y ⇒ P ( x , y ) был доказан, другой случай следует заменой x и y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), и в силу симметрии P это влечет P ( x , y ), тем самым показывая, что P ( x , y ) выполняется во всех случаях.
С другой стороны, если такая симметрия (или другая форма эквивалентности) не может быть установлена, то использование выражения «без потери общности» неверно и может составлять случай доказательства на примере - логическая ошибка доказательства утверждения. доказывая нерепрезентативный пример. [4] [3]
Пример [ править ]
Рассмотрим следующую теорему (которая является случаем принципа ящика ):
Если три объекта окрашены в красный или синий цвет, то должно быть как минимум два объекта одного цвета.
Доказательство:
Без ограничения общности предположим, что первый объект красный. Если любой из двух других объектов красный, то мы закончили; Если нет, то два других объекта должны быть синими, и мы все еще закончили.
Здесь обратите внимание, что приведенный выше аргумент работает, потому что точно такое же рассуждение можно было бы применить, если бы было сделано альтернативное предположение, а именно, что первый объект синий. В результате в этом случае допустимо использование выражения «без потери общности».
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ "Без потери общности" . Искусство решения проблем . Проверено 21 октября 2019 .
- ^ Chartrand, Гэри ; Polimeni, Albert D .; Чжан, Пинг (2008), Mathematical Proofs / A Transition to Advanced Mathematics (2-е изд.), Pearson / Addison Wesley, стр. 80–81, ISBN 978-0-321-39053-0
- ^ a b "Окончательный словарь высшего математического жаргона - без потери общности" . Математическое хранилище . 2019-08-01 . Проверено 21 октября 2019 .
- ^ «Ациклическое неравенство по трем переменным» . www.cut-the-knot.org . Проверено 21 октября 2019 .
Внешние ссылки [ править ]
