Теорема о фокальной подгруппе

В абстрактной алгебре теорема о фокальной подгруппе описывает слияние элементов в силовской подгруппе конечной группы . Теорема о фокальной подгруппе была введена в ( Higman 1953 ) и является «первым крупным применением переноса» согласно ( Gorenstein, Lyons & Solomon 1996 , p. 90). Теорема о фокальной подгруппе связывает идеи переноса и слияния, как описано в ( Grün 1936 ). Различные применения этих идей включают локальные критерии p -нильпотентности и различные критерии непростоты , фокусирующиеся на демонстрации того, что конечная группа имеет нормальную подгруппу изиндекс р .

Теорема о фокальной подгруппе связывает несколько направлений исследований в теории конечных групп: нормальные подгруппы индекса степени p , трансферный гомоморфизм и слияние элементов.

Следующие три нормальные подгруппы индекса a степени числа p определяются естественным образом и возникают как наименьшие нормальные подгруппы, фактор-группа которых является (определенного вида) p -группой. Формально они являются ядрами отражения на рефлективную подкатегорию p -групп (соответственно элементарных абелевых p -групп , абелевых p -групп).

Во-первых, поскольку это более слабые условия для групп K, мы получаем вложения. Далее они связаны следующим образом: ${\ displaystyle \ mathbf {E} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {A} ^ {p} (G) \ supseteq \ mathbf {O} ^ {p} (G).}$

O ^p ( G ) имеет следующую альтернативную характеристику как подгруппа, порожденная всеми силовскими q -подгруппами группы G , когда q ≠ p пробегает простые делители порядка группы G , отличные от p .

O ^p ( G ) используется для определения нижнего p -рядаG , аналогично верхнему p -ряду , описанному в p-core .