Функция МакРоберта E

В математике E-функция была введена Томасом Мюрреем Мак-Робертом  ( 1937–1938 ) для расширения обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q (·) на случай p > q + 1. Основная цель заключалась в определении очень общей функции, которая включает в качестве частных случаев большинство известных до того момента специальных функций . Однако эта функция не оказала большого влияния на литературу, поскольку ее всегда можно выразить в терминах G-функции Мейера , в то время как обратное неверно, так что G-функция носит еще более общий характер. Это определяется как:

${\displaystyle E(p;\alpha _{r};\rho _{s};z)\equiv {\frac {\Gamma (\alpha _{q+1})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (\rho _{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\mu =1}^{q}\int _{0}^{\infty }\lambda _{\mu }^{\rho _{\mu }-\alpha _{\mu }-a}(\lambda _{\mu }+1)^{-\rho _{\mu }}d\lambda _{\mu }\prod _{\nu =2}^{p-q-1}\int _{0}^{\infty }\lambda _{q+\nu }^{\alpha _{q+\nu }-1}\exp(-\lambda _{q+\nu })d\lambda _{q+\nu }\int _{0}^{\infty }\lambda _{p}^{\alpha _{p}-1}\exp(-\lambda _{p})\left[{\frac {\prod _{k=q+2}^{p}\lambda _{k}}{z\prod _{k=1}^{q}\lambda _{k}+1}}+1\right]d\lambda _{p}}$

Определение [ править ]

Есть несколько способов определить E-функцию МакРоберта; следующее определение дано в терминах обобщенной гипергеометрической функции :

• когда p ≤ q и x ≠ 0, или p = q + 1 и | х | > 1:

${\displaystyle E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)={\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j})}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j})}}\;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-x^{-1}\right)}$

• когда p ≥ q + 2 или p = q + 1 и | х | <1:

${\displaystyle E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)=\sum _{h=1}^{p}{\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}-a_{h})^{*}}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j}-a_{h})}}\Gamma (a_{h})\;x^{a_{h}}\;_{q+1}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},1+a_{h}-b_{1},\dots ,1+a_{h}-b_{q}\\1+a_{h}-a_{1},\dots ,*,\dots ,1+a_{h}-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-q}\;x\right).}$

Звездочки здесь напоминают нам игнорировать вклад с индексом j = h следующим образом: в произведении это означает замену Γ (0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции это означает сокращение длины вектора с p до p - 1. Очевидно, это определение охватывает все значения p и q .

Связь с G-функцией Мейера [ править ]

E-функцию МакРоберта всегда можно выразить через G-функцию Мейера :

${\displaystyle E\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)=G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,x\right)}$

где значения параметров не ограничены, т.е. это соотношение выполняется без исключения.

Ссылки [ править ]

• Эндрюс, LC (1985). Специальные функции для инженеров и прикладных математиков . Нью-Йорк: Макмиллан. ISBN 0-02-948650-5.
• Erdélyi, A .; Magnus, W .; Оберхеттингер Ф. и Трикоми Ф. Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF) . Vol. 1. Нью-Йорк: Макгроу – Хилл. |volume= has extra text (help) (см. п. 5.2, «Определение E-функции», стр. 203)
• Градштейн, Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Геронимус Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015 г.) [октябрь 2014 г.]. «9.4.». В Цвиллингере, Даниэль; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276 .
• МакРоберт TM (1937–38). «Индукционные доказательства связи некоторых асимптотических разложений и соответствующих обобщенных гипергеометрических рядов». Proc. Рой. Soc. Эдинбург . 58 : 1–13. JFM  64.0337.01 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Мак-Роберт TM (1962). «Интегралы Барнса как сумма E-функций» . Mathematische Annalen . 147 (3): 240–243. DOI : 10.1007 / bf01470741 . S2CID  121048026 . Zbl  0100.28601 .

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. "Е-функция МакРоберта" . MathWorld .