G-функция Мейера

В математике G-функция была введена Корнелисом Саймоном Мейером  ( 1936 ) как очень общая функция, предназначенная для включения большинства известных специальных функций в качестве частных случаев. Это была не единственная попытка подобного рода: обобщенная гипергеометрическая функция и E-функция МакРоберта преследовали одну и ту же цель, но G-функция Мейера могла включать и их как частные случаи. Первое определение было сделано Мейером с использованием ряда ; в настоящее время принято более общее определение через линейный интеграл на комплексной плоскости , введенное в его полной общностиАртур Эрдейи в 1953 году.

Согласно современному определению, большинство установленных специальных функций можно представить в терминах G-функции Мейера. Примечательным свойством является замыкание множества всех G-функций не только при дифференцировании, но и при неопределенном интегрировании. В сочетании с функциональным уравнением, которое позволяет освободить от G-функции G ( z ) любой множитель z ^ρ, который является постоянной степенью своего аргумента z , замыкание означает, что всякий раз, когда функция выражается как G-функция от константы кратное некоторой постоянной степени аргумента функции, f ( x ) = G ( cx ^γ), производная и первообразная этой функции также выражаются.

Широкий охват специальных функций также придает мощь использованию G-функции Мейера, помимо представления и манипулирования производными и первообразными. Например, определенный интеграл по положительной вещественной оси любой функции g ( x ), которую можно записать как произведение G ₁ ( cx ^γ ) · G ₂ ( dx ^δ ) двух G-функций с рациональными γ / δ, равен просто другая G-функция и обобщения интегральных преобразований, таких как преобразование Ганкеля иПреобразование Лапласа и обратное к ним возникают, когда подходящие пары G-функций используются в качестве ядер преобразования.

Еще более общая функция, которая вводит дополнительные параметры в G-функцию Мейера, - это H-функция Фокса .

Определение G-функции Мейера [ править ]

Общее определение G-функции Мейера дается следующим интегралом по прямой на комплексной плоскости ( Bateman & Erdélyi 1953 , § 5.3-1):

${\ displaystyle G_ {p, q} ^ {\, m, n} \! \ left (\ left. {\ begin {matrix} a_ {1}, \ dots, a_ {p} \\ b_ {1}, \ dots, b_ {q} \ end {matrix}} \; \ right | \, z \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ int _ {L} {\ frac {\ prod _ {j = 1} ^ {m} \ Gamma (b_ {j} -s) \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ Gamma (1-a_ {j} + s)} {\ prod _ { j = m + 1} ^ {q} \ Gamma (1-b_ {j} + s) \ prod _ {j = n + 1} ^ {p} \ Gamma (a_ {j} -s)}} \, z ^ {s} \, ds,}$

где Γ обозначает гамма-функцию . Этот интеграл относится к так называемому типу Меллина – Барнса и может рассматриваться как обратное преобразование Меллина . Определение справедливо при следующих предположениях:

• 0 ≤ m ≤ q и 0 ≤ n ≤ p , где m , n , p и q - целые числа
• a _k - b _j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., m , из чего следует, что никакой полюс любого Γ ( b _j - s ), j = 1, 2, ..., m , совпадает с любым полюсом любого Γ (1 - a _k + s ), k = 1, 2, ..., n
• z ≠ 0

Обратите внимание, что по историческим причинам первый нижний и второй верхний индексы относятся к верхней строке параметров, а второй нижний и первый верхний индексы относятся к нижней строке параметров. Часто можно встретить следующие более синтетические обозначения с использованием векторов :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Реализации G-функции в системах компьютерной алгебры обычно используют отдельные векторные аргументы для четырех (возможно, пустых) групп параметров a ₁ ... a _n , a _{n +1} ... a _p , b ₁ ... b _m , и b _{m +1} ... b _q , и, таким образом, можно опустить порядки p , q , n и m как избыточные.

Л в интеграле представляет собой путь , которым необходимо следовать в процессе интеграции. Для этого пути возможны три варианта:

1. L пробегает от - i ∞ до + i ∞ так, что все полюса Γ ( b _j - s ), j = 1, 2, ..., m , находятся справа от пути, а все полюса Γ (1 - a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , находятся слева. Тогда интеграл сходится при | arg z | < δ π , где

${\displaystyle \delta =m+n-{\tfrac {1}{2}}(p+q);}$

очевидным условием для этого является δ > 0. Интеграл дополнительно сходится при | arg z | = δ π ≥ 0, если (q - p) ( σ + ¹ ⁄ ₂ )> Re ( ν ) + 1, где σ представляет Re ( s ), поскольку переменная интегрирования s приближается как к + i ∞, так и к - i ∞, и где

${\displaystyle \nu =\sum _{j=1}^{q}b_{j}-\sum _{j=1}^{p}a_{j}.}$

Как следствие, при | arg z | = δ π и p = q интеграл сходится независимо от σ, если Re ( ν ) <−1.

2. L - петля, начинающаяся и заканчивающаяся в + ∞, охватывающая все полюса Γ ( b _j - s ), j = 1, 2, ..., m , ровно один раз в отрицательном направлении, но не охватывающая ни один полюс Γ (1 - a _k + s ), k = 1, 2, ..., n . Тогда интеграл сходится для всех z, если q > p ≥ 0; он также сходится при q = p > 0, пока | z | <1. В последнем случае интеграл дополнительно сходится при | z | = 1, если Re ( ν) <−1, где ν определяется как для первого пути.

3. L - петля, начинающаяся и заканчивающаяся в −∞ и охватывающая все полюса Γ (1 - a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , ровно один раз в положительном направлении, но не охватывающая никакие полюс Γ ( b _j - s ), j = 1, 2, ..., m . Теперь интеграл сходится для всех z, если p > q ≥ 0; он также сходится при p = q > 0, пока | z | > 1. Как уже отмечалось для второго пути, в случае p = qинтеграл также сходится при | z | = 1, когда Re ( ν ) <−1.

Условия сходимости легко устанавливаются путем применения асимптотического приближения Стирлинга к гамма-функциям в подынтегральном выражении. Когда интеграл сходится более чем для одного из этих путей, можно показать, что результаты интегрирования совпадают; если он сходится только для одного пути, то это единственный путь, который следует учитывать. Фактически, численное интегрирование по траектории в комплексной плоскости представляет собой практичный и разумный подход к вычислению G-функций Мейера.

Как следствие этого определения, G-функция Мейера является аналитической функцией от z с возможным исключением начала координат z = 0 и единичной окружности | z | = 1.

Дифференциальное уравнение [ править ]

G-функция удовлетворяет следующему линейному дифференциальному уравнению порядка max ( p , q ):

${\displaystyle \left[(-1)^{p-m-n}\;z\prod _{j=1}^{p}\left(z{\frac {d}{dz}}-a_{j}+1\right)-\prod _{j=1}^{q}\left(z{\frac {d}{dz}}-b_{j}\right)\right]G(z)=0.}$

За фундаментальный набор решений этого уравнения в случае p ≤ q можно взять:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,1,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{h},b_{1},\dots ,b_{h-1},b_{h+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,q,}$

и аналогично в случае p ≥ q :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,q,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{h},a_{1},\dots ,a_{h-1},a_{h+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n+1}\;z\right),\quad h=1,2,\dots ,p.}$

Эти частные решения являются аналитическими, за исключением возможной особенности при z = 0 (а также возможной особенности при z = ∞), а в случае p = q также неизбежной особенности при z = (−1) ^{p - m - п} . Как будет показано ниже, их можно отождествить с обобщенными гипергеометрическими функциями _p F _{q −1} аргумента (−1) ^{p - m - n} z , умноженными на степень z ^{b _h}, и с обобщенными гипергеометрическими функциями _q F _{p −1} аргумента (−1) ^{q - m - n} z ⁻¹ , умноженными на степень z ^{a _h −1} соответственно.

Связь между G-функцией и обобщенной гипергеометрической функцией [ править ]

Если интеграл сходится при вычислении по второму пути, введенному выше, и если между Γ ( b _j - s ), j = 1, 2, ..., m , не появляются сливающиеся полюсы , то G-функция Мейера может быть выражена как сумму вычетов по обобщенным гипергеометрическим функциям _p F _{q −1} (теорема Слейтера):

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{m}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-b_{h})^{*}\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1+b_{h}-a_{j})\;z^{b_{h}}}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1+b_{h}-b_{j})\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-b_{h})}}\times }$

${\displaystyle _{p}F_{q-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1+b_{h}-\mathbf {a_{p}} \\(1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right).}$

Звездочка указывает на то, что член, соответствующий j = h , опущен. Чтобы интеграл сходился по второму пути, должно быть либо p < q , либо p = q и | z | <1, и для того, чтобы полюса были различны, никакая пара среди b _j , j = 1, 2, ..., m , не может отличаться целым числом или нулем. Звездочки в соотношении напоминают нам игнорировать вклад с индексом j = h следующим образом: в произведении это означает замену Γ (0) на 1, а в аргументе гипергеометрической функции, если вспомнить смысл векторных обозначений,

${\displaystyle 1+b_{h}-\mathbf {b_{q}} =(1+b_{h}-b_{1}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{j}),\,\dots ,\,(1+b_{h}-b_{q}),}$

это означает сокращение длины вектора с q до q −1.

Обратите внимание, что при m = 0 второй путь не содержит полюсов, поэтому интеграл должен тождественно равняться нулю,

${\displaystyle G_{p,q}^{\,0,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

если либо p < q , либо p = q и | z | <1.

Точно так же, если интеграл сходится при вычислении по третьему пути выше, и если между Γ (1 - a _k + s ), k = 1, 2, ..., n , не появляются сливающиеся полюсы , то G-функция может выражаться как:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=\sum _{h=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{h}-a_{j})^{*}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-a_{h}+b_{j})\;z^{a_{h}-1}}{\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{h}+a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (a_{h}-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle _{q}F_{p-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-a_{h}+\mathbf {b_{q}} \\(1-a_{h}+\mathbf {a_{p}} )^{*}\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{q-m-n}z^{-1}\right).}$

Для этого либо p > q , либо p = q и | z | > 1 не требуются, и никакая пара среди a _k , k = 1, 2, ..., n , не может отличаться целым числом или нулем. При п = 0 , следовательно , имеет один:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=0,}$

если либо p > q , либо p = q и | z | > 1.

С другой стороны, любую обобщенную гипергеометрическую функцию легко выразить через G-функцию Мейера:

${\displaystyle \;_{p}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} \\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-z\right)={\frac {\Gamma (\mathbf {b_{q}} )}{\Gamma (\mathbf {a_{p}} )}}\;G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,-z^{-1}\right),}$

где мы использовали векторные обозначения:

${\displaystyle \Gamma (\mathbf {a_{p}} )=\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}).}$

Это справедливо до тех пор, пока неположительное целое значение хотя бы одного из его параметров a _{p не} приводит гипергеометрическую функцию к конечному полиному, и в этом случае гамма-префактор любой G-функции обращается в нуль, а наборы параметров G-функций нарушают требование a _k - b _j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., m из определения выше. Помимо этого ограничения, соотношение справедливо всякий раз, когда обобщенный гипергеометрический ряд _p F _q ( z ) сходится, т. Е. Для любого конечного zкогда p ≤ q , а для | z | <1 при p = q + 1. В последнем случае связь с G-функцией автоматически обеспечивает аналитическое продолжение _p F _q ( z ) на | z | ≥ 1 с ветвью, разрезанной от 1 до ∞ вдоль вещественной оси. Наконец, это соотношение обеспечивает естественное расширение определения гипергеометрической функции на порядки p > q + 1. Таким образом, с помощью G-функции мы можем решить обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение и для p > q + 1.

Полиномиальные случаи [ править ]

Чтобы выразить полиномиальные случаи обобщенных гипергеометрических функций через G-функции Мейера, в общем случае требуется линейная комбинация двух G-функций:

${\displaystyle \;_{p+1}F_{q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=h!\;{\frac {\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (1-a_{j})\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (b_{j})}{\prod _{j=1}^{n}\Gamma (a_{j})\prod _{j=1}^{m}\Gamma (1-b_{j})}}\times }$

${\displaystyle \left[G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {a_{p}} ,h+1\\0,1-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)+(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}h+1,1-\mathbf {a_{p}} \\1-\mathbf {b_{q}} ,0\end{matrix}}\;\right|\,(-1)^{p-m-n}\;z\right)\right],}$

где h = 0, 1, 2, ... равно степени многочлена _{p +1} F _q ( z ). Порядки m и n можно свободно выбирать в диапазонах 0 ≤ m ≤ q и 0 ≤ n ≤ p , что позволяет избежать того, что конкретные целочисленные значения или целочисленные различия между параметрами a _p и b _q полинома приводят к расходящимся гамма-функции в префакторе или противоречат определению G-функции . Отметим, что первая G-функция обращается в нуль при n = 0, еслиp > q , а вторая G-функция обращается в нуль при m = 0, если p < q . Опять же, формулу можно проверить, выразив две G-функции как суммы вычетов ; здесь нет необходимости исключать случаи сливающихся полюсов, разрешенные определением G-функции.

Основные свойства G-функции [ править ]

Как видно из определения G-функции , если среди a _p и b _q появляются одинаковые параметры, определяющие множители в числителе и знаменателе подынтегрального выражения, дробь может быть упрощена, и тем самым порядок функции быть уменьшенным. Будет ли порядок m или n уменьшаться, зависит от конкретного положения рассматриваемых параметров. Таким образом, если одно из a _k , k = 1, 2, ..., n , равно одному из b _j , j = m + 1, ..., q , G-функция понижает свои порядкиp , q и n :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},a_{1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m,\,n-1}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n,p,q\geq 1.}$

По той же причине, если одно из a _k , k = n + 1, ..., p , равно одному из b _j , j = 1, 2, ..., m , то G-функция понижает свой заказы p , q и m :

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},b_{1}\\b_{1},b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p-1,\,q-1}^{\,m-1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1}\\b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m,p,q\geq 1.}$

Исходя из определения, также можно получить следующие свойства:

${\displaystyle z^{\rho }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} +\rho \\\mathbf {b_{q}} +\rho \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} ,\alpha '\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\alpha '-\alpha }\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ',\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\leq p,\;\alpha '-\alpha \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ,\mathbf {b_{q}} ,\beta '\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta '-\beta }\;G_{p,\,q+2}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\beta ',\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta '-\beta \in \mathbb {Z} ,}$

${\displaystyle G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{\beta -\alpha }\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\leq q,\;\beta -\alpha =0,1,2,\dots ,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{q,p}^{\,n,m}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\mathbf {b_{q}} \\1-\mathbf {a_{p}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {h^{1+\nu +(p-q)/2}}{(2\pi )^{(h-1)\delta }}}\;G_{hp,\,hq}^{\,hm,\,hn}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}/h,\dots ,(a_{1}+h-1)/h,\dots ,a_{p}/h,\dots ,(a_{p}+h-1)/h\\b_{1}/h,\dots ,(b_{1}+h-1)/h,\dots ,b_{q}/h,\dots ,(b_{q}+h-1)/h\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z^{h}}{h^{h(q-p)}}}\right),\quad h\in \mathbb {N} .}$

Сокращения ν и δ были введены в определение G-функции выше.

Производные и первообразные [ править ]

Что касается производных от G-функции, можно найти следующие соотношения:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-a_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{1-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-a_{p}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=-z^{-1-b_{1}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left[z^{-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)\right]=z^{-1-b_{q}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

Из этих четырех эквивалентных соотношений можно вывести просто вычисление производной в левой части и немного манипулирования. Например, можно получить:

${\displaystyle z{\frac {d}{dz}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)+(a_{1}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1.}$

Более того, для производных произвольного порядка h имеем

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,h\end{matrix}}\;\right|\,z\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,0\\h,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle z^{h}{\frac {d^{h}}{dz^{h}}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,1-h\\1,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right)=(-1)^{h}\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-h,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,1\end{matrix}}\;\right|\,z^{-1}\right),}$

которые справедливы и для h <0, что позволяет получить первообразную любой G-функции так же легко, как и производную. Выбирая тот или иной из двух результатов, представленных в любой формуле, всегда можно предотвратить нарушение набора параметров в результате условия a _k - b _j ≠ 1, 2, 3, ... для k = 1, 2, ..., n и j = 1, 2, ..., m, что налагается определением G-функции . Обратите внимание, что каждая пара результатов становится неравной в случае h <0.

Из этих соотношений можно вывести соответствующие свойства гипергеометрической функции Гаусса и других специальных функций.

Отношения повторения [ править ]

Приравнивая различные выражения для производных первого порядка, мы получаем следующие трехчленные рекуррентные соотношения между смежными G-функциями:

${\displaystyle (a_{p}-a_{1})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq n<p,}$

${\displaystyle (b_{1}-b_{q})\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad 1\leq m<q,}$

${\displaystyle (b_{1}-a_{1}+1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-1,a_{2},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1}+1,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,\;m\geq 1,}$

${\displaystyle (a_{p}-b_{q}-1)\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right)=G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-1\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)+G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+1\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p,\;m<q.}$

Аналогичные соотношения для пар диагональных параметров a ₁ , b _q и b ₁ , a _p следуют соответствующей комбинацией вышеуказанного. Опять же, соответствующие свойства гипергеометрических и других специальных функций могут быть получены из этих рекуррентных соотношений.

Теоремы умножения [ править ]

При z ≠ 0 выполняются следующие соотношения:

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1}+h,b_{2},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,wz\right)=w^{b_{q}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\b_{1},\dots ,b_{q-1},b_{q}+h\end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad m<q,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{1}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(1-w)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1}-h,a_{2},\dots ,a_{p}\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {z}{w}}\right)=w^{1-a_{p}}\sum _{h=0}^{\infty }{\frac {(w-1)^{h}}{h!}}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p-1},a_{p}-h\\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right),\quad n<p.}$

За ними следует разложение Тейлора о w = 1 с помощью основных свойств, рассмотренных выше. Радиусы сходимости будет зависеть от величины г и на G-функции , которая расширяется. Разложения можно рассматривать как обобщения аналогичных теорем для бесселевых , гипергеометрических и конфлюэнтных гипергеометрических функций.

Определенные интегралы с участием G-функции [ править ]

Среди определенных интегралов с произвольной G-функцией есть:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{s-1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx={\frac {\eta ^{-s}\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}+s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}-s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}-s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}+s)}}.}$

Обратите внимание, что ограничения, при которых существует этот интеграл, здесь опущены. Конечно, неудивительно, что преобразование Меллина G-функции должно приводить к подынтегральному выражению, фигурирующему в приведенном выше определении .

Интегралы типа Эйлера для G-функции имеют вид:

${\displaystyle \int _{0}^{1}x^{-\alpha }\;(1-x)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\beta \end{matrix}}\;\right|\,z\right),}$

${\displaystyle \int _{1}^{\infty }x^{-\alpha }\;(x-1)^{\alpha -\beta -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,zx\right)dx=\Gamma (\alpha -\beta )\;G_{p+1,\,q+1}^{\,m+1,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\alpha \\\beta ,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Обширные ограничения, при которых существуют эти интегралы, можно найти на стр. 417 "Таблиц интегральных преобразований", т. II (1954), под ред. А. Эрдели. Отметим, что ввиду их влияния на G-функцию, эти интегралы могут использоваться для определения операции дробного интегрирования для довольно большого класса функций ( операторов Эрдейи – Кобера ).

Результат фундаментальной важности заключается в том, что произведение двух произвольных G-функций, проинтегрированных по положительной действительной оси, может быть представлено просто другой G-функцией (теорема свертки):

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)G_{\sigma ,\tau }^{\,\mu ,\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {c_{\sigma }} \\\mathbf {d_{\tau }} \end{matrix}}\;\right|\,\omega x\right)dx=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\eta }}\;G_{q+\sigma ,\,p+\tau }^{\,n+\mu ,\,m+\nu }\!\left(\left.{\begin{matrix}-b_{1},\dots ,-b_{m},\mathbf {c_{\sigma }} ,-b_{m+1},\dots ,-b_{q}\\-a_{1},\dots ,-a_{n},\mathbf {d_{\tau }} ,-a_{n+1},\dots ,-a_{p}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\omega }{\eta }}\right)=}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\omega }}\;G_{p+\tau ,\,q+\sigma }^{\,m+\nu ,\,n+\mu }\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{n},-\mathbf {d_{\tau }} ,a_{n+1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{m},-\mathbf {c_{\sigma }} ,b_{m+1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right).}$

Ограничения, при которых существует интеграл, можно найти в Meijer, CS, 1941: Nederl. Акад. Wetensch, Proc. 44, с. 82-92. Обратите внимание, как преобразование Меллина результата просто собирает гамма-факторы из преобразований Меллина двух функций в подынтегральном выражении.

Формула свертки может быть получена путем подстановки определяющего интеграла Меллина – Барнса для одной из G-функций, изменения порядка интегрирования и вычисления внутреннего интеграла преобразования Меллина. Аналогично следуют предыдущие интегралы типа Эйлера.

Преобразование Лапласа [ править ]

Используя приведенный выше интеграл свертки и основные свойства, можно показать, что:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;x^{-\alpha }\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)dx=\omega ^{\alpha -1}\;G_{p+1,\,q}^{\,m,\,n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}\alpha ,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right),}$

где Re ( ω )> 0. Это преобразование Лапласа функции G ( ηx ), умноженное на степень x ^{- α} ; если положить α = 0, мы получим преобразование Лапласа G-функции. Как обычно, обратное преобразование определяется следующим образом:

${\displaystyle x^{-\alpha }\;G_{p,\,q+1}^{\,m,\,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} ,\alpha \end{matrix}}\;\right|\,\eta x\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }e^{\omega x}\;\omega ^{\alpha -1}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {\eta }{\omega }}\right)d\omega ,}$

где c - действительная положительная постоянная, которая помещает путь интегрирования справа от любого полюса подынтегрального выражения.

Другая формула преобразования Лапласа G-функции:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-\omega x}\;G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,\eta x^{2}\right)dx={\frac {1}{{\sqrt {\pi }}\omega }}\;G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}0,{\frac {1}{2}},\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,{\frac {4\eta }{\omega ^{2}}}\right),}$

где снова Re ( ω )> 0. Детали ограничений, при которых существуют интегралы, опущены в обоих случаях.

Интегральные преобразования на основе G-функции [ править ]

В общем, две функции k ( z , y ) и h ( z , y ) называются парой ядер преобразования, если для любой подходящей функции f ( z ) или любой подходящей функции g ( z ) одновременно выполняются следующие два соотношения :

${\displaystyle g(z)=\int _{0}^{\infty }k(z,y)\,f(y)\;dy,\quad f(z)=\int _{0}^{\infty }h(z,y)\,g(y)\;dy.}$

Пара ядер называется симметричной, если k ( z , y ) = h ( z , y ).

Преобразование Нараина [ править ]

Руп Нараин ( 1962 , 1963a , 1963b ) показал, что функции:

${\displaystyle k(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,m,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} ,\mathbf {b_{q}} \\\mathbf {c_{m}} ,\mathbf {d_{n}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right),}$

${\displaystyle h(z,y)=2\gamma \;(zy)^{\gamma -1/2}\;G_{p+q,\,m+n}^{\,n,\,q}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {b_{q}} ,-\mathbf {a_{p}} \\-\mathbf {d_{n}} ,-\mathbf {c_{m}} \end{matrix}}\;\right|\,(zy)^{2\gamma }\right)}$

представляют собой асимметричную пару ядер преобразований, где γ > 0, n - p = m - q > 0, и:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{p}a_{j}+\sum _{j=1}^{q}b_{j}=\sum _{j=1}^{m}c_{j}+\sum _{j=1}^{n}d_{j},}$

вместе с дальнейшими условиями сходимости. В частности, если p = q , m = n , a _j + b _j = 0 для j = 1, 2, ..., p и c _j + d _j = 0 для j = 1, 2, ..., m , то пара ядер становится симметричной. Известное преобразование Ханкеля является симметричным частным случаем преобразования Нарайна ( γ = 1, p = q = 0, m = n = 1, c₁ = - d ₁ = ^ν ⁄ ₂ ).

Преобразование слабака [ править ]

Джет Вимп ( 1964 ) показал, что эти функции представляют собой асимметричную пару ядер преобразования:

${\displaystyle k(z,y)=G_{p+2,\,q}^{\,m,\,n+2}\!\left(\left.{\begin{matrix}1-\nu +iz,1-\nu -iz,\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\;y\right),}$

${\displaystyle h(z,y)={\frac {i}{\pi }}ye^{-\nu \pi i}\left[e^{\pi y}A(\nu +iy,\nu -iy\,|\,ze^{i\pi })-e^{-\pi y}A(\nu -iy,\nu +iy\,|\,ze^{i\pi })\right],}$

где функция A (·) определяется как:

${\displaystyle A(\alpha ,\beta \,|\,z)=G_{p+2,\,q}^{\,q-m,\,p-n+1}\!\left(\left.{\begin{matrix}-a_{n+1},-a_{n+2},\dots ,-a_{p},\alpha ,-a_{1},-a_{2},\dots ,-a_{n},\beta \\-b_{m+1},-b_{m+2},\dots ,-b_{q},-b_{1},-b_{2},\dots ,-b_{m}\end{matrix}}\;\right|\,z\right).}$

Обобщенное преобразование Лапласа [ править ]

Преобразование Лапласа можно обобщить по аналогии с обобщением Нарайна преобразования Ханкеля:

${\displaystyle g(s)=2\gamma \int _{0}^{\infty }(st)^{\gamma +\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,q+1,\,0}\!\left(\left.{\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\0,\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,(st)^{2\gamma }\right)f(t)\;dt,}$

${\displaystyle f(t)={\frac {\gamma }{\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }(ts)^{\gamma -\rho -1/2}\;G_{p,\,q+1}^{\,1,\,p}\!\left(\left.{\begin{matrix}-\mathbf {a_{p}} \\0,-\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right|\,-(ts)^{2\gamma }\right)g(s)\;ds,}$