В уравнениях Маделунга , или уравнение квантовой гидродинамики , являются Маделунг «ы эквивалентна альтернативная формулировкой уравнения Шредингера , написанная в терминах гидродинамических переменных, похожего на уравнения Навьего-Стокс в гидродинамике . Вывод уравнений Маделунга аналогичен формулировке де Бройля – Бома , которая представляет уравнение Шредингера как квантовое уравнение Гамильтона – Якоби .
Уравнения
Уравнения Маделунга [1] являются квантовыми уравнениями Эйлера : [2]
где
- - скорость потока ,
- - массовая плотность,
- - квантовый потенциал Бома ,
- V - потенциал из уравнения Шредингера.
Циркуляция поля скоростей потока вдоль любого замкнутого контура подчиняется дополнительным условие, . [3]
Уравнения Маделунга выводятся путем записи волновой функции в полярной форме:
и подставляя эту форму в уравнение Шредингера
Скорость потока определяется как
из которого мы также находим, что
где - ток вероятности стандартной квантовой механики.
Квантовая сила , которая является отрицательным градиентом квантового потенциала, также может быть записана в терминах тензора квантового давления:
где
Интегральная энергия, запасенная в квантовом тензоре давления, пропорциональна информации Фишера , которая определяет качество измерений. Таким образом, согласно границе Крамера – Рао , принцип неопределенности Гейзенберга эквивалентен стандартному неравенству для эффективности измерений. Термодинамическое определение квантово-химического потенциала
следует из приведенного выше баланса гидростатических сил:
Согласно термодинамике, в состоянии равновесия химический потенциал везде постоянен, что прямо соответствует стационарному уравнению Шредингера. Следовательно, собственные значения уравнения Шредингера - это свободные энергии, которые отличаются от внутренних энергий системы. Внутренняя энергия частицы рассчитывается как
и связан с местной поправкой Карла Фридриха фон Вайцзеккера . [4] В случае квантового гармонического осциллятора, например, можно легко показать, что энергия нулевой точки является значением химического потенциала осциллятора, в то время как внутренняя энергия осциллятора равна нулю в основном состоянии,. Следовательно, энергия нулевой точки представляет собой энергию для помещения статического осциллятора в вакуум, что еще раз показывает, что флуктуации вакуума являются причиной квантовой механики.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Маделунг, Э. (1926). "Eine anschauliche Deutung der Gleichung von Schrödinger". Naturwissenschaften (на немецком языке). 14 (45): 1004–1004. Bibcode : 1926NW ..... 14.1004M . DOI : 10.1007 / BF01504657 .
- ^ Маделунг, Э. (1927). «Квантовая теория в гидродинамической форме». Z. Phys. (на немецком). 40 (3–4): 322–326. Bibcode : 1927ZPhy ... 40..322M . DOI : 10.1007 / BF01400372 .
- ^ И. Бялыницкий-Бирула; М. Цеплак; Дж. Камински (1992), Theory of Quanta , Oxford University Press, ISBN 0195071573.
- ^ Цеков Р. (2009). "Диссипативная функциональная теория плотности, зависящей от времени". Международный журнал теоретической физики . 48 : 2660–2664. arXiv : 0903.3644 . Bibcode : 2009IJTP ... 48.2660T . DOI : 10.1007 / s10773-009-0054-6 .
дальнейшее чтение
- Шенберг, М. (1954). «О гидродинамической модели квантовой механики». Il Nuovo Cimento . 12 (1): 103–133. Bibcode : 1954NCim ... 12..103S . DOI : 10.1007 / BF02820368 .