Реализация математики в теории множеств
В данной статье рассматривается реализация математических понятий в теории множеств . Реализация ряда основных математических понятий выполняется параллельно в ZFC (теория доминирующих множеств) и в NFU , версии « Новых основ» Куайна, непротиворечивость которой показал Р. Б. Дженсен в 1969 г. Бесконечность и выбор ).
Сказанное здесь применимо также к двум семействам теорий множеств: с одной стороны, ряд теорий, в том числе теория множеств Цермело, расположенная ближе к нижнему краю шкалы и восходящая к ZFC, расширена большими кардинальными гипотезами, такими как «существует измеримое кардинал »; а с другой стороны иерархия расширений NFU, которая рассматривается в статье New Foundations . Они соответствуют различным общим представлениям о том, на что похожа теоретико-множественная вселенная, и именно подходы к реализации математических понятий в рамках этих двух общих представлений сравниваются и противопоставляются.
Основной целью этой статьи не является говорить что-либо об относительных достоинствах этих теорий как основы математики. Причина использования двух разных теорий множеств состоит в том, чтобы проиллюстрировать, что возможны несколько подходов к реализации математики. Именно из-за такого подхода эта статья не является источником «официальных» определений ни для одного математического понятия.
В следующих разделах выполняются определенные построения в двух теориях ZFC и NFU и сравниваются полученные реализации определенных математических структур (таких как натуральные числа ).
Математические теории доказывают теоремы (и ничего больше). Таким образом, высказывание о том, что теория позволяет построить определенный объект, означает, что это теорема этой теории о том, что этот объект существует. Это утверждение об определении формы «тот х, который существует», где есть формула нашего языка : теория доказывает существование «того х, что существует » на всякий случай, это теорема, что «существует одно и только один x такой, что ". (См . теорию описаний Бертрана Рассела. .) Грубо говоря, в данном случае теория «определяет» или «конструирует» этот объект. Если утверждение не является теоремой, теория не может показать, что объект существует; если утверждение в теории доказуемо ложно, оно доказывает, что объект не может существовать; свободно, объект не может быть построен.
