Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлено с математического оригами )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Оригами модель Феникса, спроектированная и сложенная из цельного неразрезанного квадрата унрю васи Робертом Салазаром

Дисциплина оригами или складывания бумаги получила значительное количество математических исследований. Сферы интереса включают плоскую складываемость данной бумажной модели (можно ли развернуть модель, не повредив ее) и использование бумажных складок для решения кубических математических уравнений . [1] Дисциплина часто достигается за счет использования бумаги васи .

История [ править ]

Смотрите также: История оригами

В 1893 году индийский государственный служащий Т. Сундара Рао опубликовал « Геометрические упражнения в складывании бумаги», в котором использовалось складывание бумаги для демонстрации геометрических построений. Эта работа была вдохновлена ​​использованием оригами в системе детского сада . Рао продемонстрировал примерное трисечение углов, и подразумеваемое построение кубического корня было невозможно. [2]

Фолда Белоха

В 1936 г. Маргарита П. Белох показала, что использование « складки Белоха », позже использованной в шестой из аксиом Хузиты – Хатори , позволяет решить общее кубическое уравнение с помощью оригами. [1]

В 1949 г. в книге Р. К. Йейтса «Геометрические методы» были описаны три разрешенные конструкции, соответствующие первой, второй и пятой аксиомам Хузиты – Хатори. [3] [4]

Техника оригами инструкции по схеме была введена в 1961 году [5]

Схема складок для складки Miura. Параллелограммы в этом примере имеют углы 84 ° и 96 °.

В 1980 г. сообщалось о конструкции, которая позволила разделить угол на три части. Трисекции невозможны по правилам Евклида. [6]

Также в 1980 году Корио Миура и Масамори Сакамаки продемонстрировали новую технику складывания карты, при которой складки выполняются по заданному образцу параллелограмма, что позволяет расширять карту без каких-либо прямоугольных складок обычным способом. Их узор позволяет линиям сгиба быть взаимозависимыми, и, следовательно, карту можно распаковать одним движением, потянув за ее противоположные концы, и аналогичным образом сложить, сдвинув два конца вместе. Не требуется чрезмерно сложной серии движений, а сложенная Miura-ori может быть упакована в очень компактную форму. [7] В 1985 году Миура сообщил о методе упаковки и развертывания больших мембран в космическом пространстве [8], и уже в 2012 году этот метод стал стандартной рабочей процедурой для орбитальных аппаратов.[9] [10]

Схема, показывающая первый и последний этапы того, как оригами может удвоить куб

В 1986 году Мессер сообщил о конструкции, с помощью которой можно было удвоить куб , что невозможно с евклидовыми конструкциями. [11]

Первое полное изложение семи аксиом оригами французского математика и математика Жака Жюстена было написано в 1986 году, но не было учтено до тех пор, пока первые шесть не были заново открыты Хумьяки Хузитой в 1989 году. [12] Первое международное совещание по науке и технике оригами ( теперь известная как Международная конференция по оригами в науке, математике и образовании) прошла в 1989 году в Ферраре, Италия. На этой встрече Scimemi представил конструкцию для обычного семиугольника . [13]

Примерно в 1990 году Роберт Дж. Лэнг и другие впервые попытались написать компьютерный код, который решал бы задачи оригами. [14]

Подсчет горно-долинных

В 1996 году Маршалл Берн и Барри Хейс продемонстрировали NP-полную задачу присвоение шаблона складок горных и долинных складок для создания плоской структуры оригами, начиная с плоского листа бумаги. [15]

В 1999 году теорема Хаги предоставила конструкции, используемые для деления стороны квадрата на рациональные дроби. [16] [17]

В 2001 году, помимо других математических результатов, Бритни Галливан сложила сначала простыню, а затем лист золотой фольги пополам 12 раз, вопреки мнению, что бумагу любого размера можно сложить максимум восемь раз. [18] [19]

В 2002 году Белкастро и Халл принесли в теоретическое оригами язык аффинных преобразований , с расширением от 2 до 3 только в случае построения с одной вершиной. [20]

В 2002 году Альперин решил проблему сферической оптики Альхазена . [21] В той же статье Альперин показал конструкцию правильного семиугольника. [21] В 2004 году алгоритмически была доказана структура складки для правильного семиугольника. [22] Биссекции и трисекции были использованы Альперином в 2005 году для той же конструкции. [23]

В 2009 году Альперин и Лэнг распространили теоретическое оригами на рациональные уравнения произвольной степени с концепцией складок многообразия. [24] [25] Эта работа была формальным продолжением неопубликованной демонстрации Лэнга в 2004 году квинтисекции углов. [25] [26]

Чистое оригами [ править ]

Плоское складывание [ править ]

Двухцветность
Углы вокруг вершины

Построение моделей оригами иногда изображают в виде складок. Главный вопрос относительно таких шаблонов складок состоит в том, можно ли сложить данный шаблон складок в плоскую модель, и если да, то как их сложить; это NP-полная проблема . [27] Связанные проблемы, когда складки ортогональны, называются проблемами складывания карты . Есть три математических правила для создания плоских складок оригами складок : [28]

  1. Теорема Маэкавы : в любой вершине количество складок долины и горы всегда отличается на два.
    Из этого следует, что каждая вершина имеет четное количество складок, и поэтому также области между складками могут быть окрашены в два цвета.
  2. Теорема Кавасаки : в любой вершине сумма всех нечетных углов составляет 180 градусов, как и четные.
  3. Лист никогда не может проникнуть в складку.

Бумага имеет нулевую гауссову кривизну во всех точках на ее поверхности и естественным образом складывается только по линиям нулевой кривизны. Изогнутые поверхности, которые нельзя сплющить, можно получить, используя не сложенную складку бумаги, как это легко сделать с влажной бумагой или ногтем.

Маршал Берн и Барри Хейс доказали, что назначение складок гор и долин для создания плоской модели является NP-полной . [15] Дальнейшие ссылки и технические результаты обсуждаются в части II алгоритмов геометрического сворачивания . [29]

Аксиомы Хузиты-Джастина [ править ]

Основная статья: аксиомы Хузиты – Тори

Доказано, что некоторые классические геометрические задачи построения, а именно разрезание произвольного угла на три части или удвоение куба , неразрешимы с помощью циркуля и линейки , но могут быть решены с помощью всего нескольких бумажных складок. [30] Бумажные складки можно построить для решения уравнений до степени 4. Аксиомы Хузиты – Джастина или аксиомы Хузиты – Хатори являются важным вкладом в эту область исследований. Они описывают, что можно построить, используя последовательность складок с одновременным выравниванием не более двух точек или линий. Полные методы решения всех уравнений до степени 4 путем применения методов, удовлетворяющих этим аксиомам, подробно обсуждаются в Геометрическом оригами . [31]

Конструкции [ править ]

В результате изучения оригами с применением геометрических принципов такие методы, как теорема Хаги, позволили бумажным папкам точно складывать сторону квадрата на трети, пятые, седьмые и девятые. Другие теоремы и методы позволили бумажным папкам получать из квадрата другие формы, такие как равносторонние треугольники , пятиугольники , шестиугольники и специальные прямоугольники, такие как золотой прямоугольник и серебряный прямоугольник . Были разработаны методы сворачивания большинства правильных многоугольников до правильного 19-угольника включительно. [31] Правильный n -угольник можно построить складыванием бумаги тогда и только тогда, когда nявляется произведением различных простых чисел Пьерпона , степеней двойки и тройки .

Теоремы Хаги [ править ]

BQ всегда рационально, если AP.

Сторону квадрата можно разделить на произвольную рациональную дробь множеством способов. В теоремах Хаги говорится, что для таких делений можно использовать определенный набор конструкций. [16] [17] На удивление мало складок необходимо для генерации больших нечетных дробей. Например , 1 / 5 могут быть получены с тремя складками; первый вдвое сторону, а затем использовать теорему Хага дважды , чтобы произвести первые 2 / 3 , а затем 1 / 5 .

На прилагаемой диаграмме показана первая теорема Хаги:

Функция, изменяющая длину AP на QC, является самообратной . Пусть x - AP, тогда ряд других длин также являются рациональными функциями x . Например:

Первая теорема Хаги
APBQККARPQ
1 / 22 / 31 / 33 / 85 / 6
1 / 31 / 21 / 24 / 95 / 6
2 / 34 / 51 / 55 / 1813 / 15
1 / 51 / 32 / 312 / 2513 / 15

Обобщение теорем Хаги [ править ]

Теоремы Хаги обобщаются следующим образом:

Следовательно, BQ: CQ = k: 1 влечет AP: BP = k: 2 для положительного действительного числа k. [32]

Удвоение куба [ править ]

Удвоение куба: PB / PA = кубический корень из 2

Классическую задачу удвоения куба можно решить с помощью оригами. Эта конструкция принадлежит Питеру Мессеру: [33] Квадрат бумаги сначала складывается на три равные полосы, как показано на схеме. Затем нижний край располагается так, чтобы угловая точка P находилась на верхнем крае, а отметка сгиба на крае совпадала с другой отметкой сгиба Q. Длина PB тогда будет кубическим корнем из 2-кратной длины AP. [11]

Край с отметкой сгиба считается маркированной линейкой, что недопустимо в конструкциях циркуля и линейки . Использование маркированной линейки таким образом называется конструкцией neusis в геометрии.

Трисекция угла [ править ]

Трисекция угла CAB

Трисекция угла - еще одна классическая задача, которую нельзя решить с помощью циркуля и линейки без опознавательных знаков, но можно решить с помощью оригами. Это строительство, о котором сообщалось в 1980 году, принадлежит Хисаши Абэ. [33] [6] Угол CAB делится на три части, делая сгибы PP 'и QQ' параллельными основанию с QQ 'посередине между ними. Затем точка P переворачивается, чтобы она лежала на линии AC, и в то же время точка A ложится на линию QQ 'в A'. Угол A'AB составляет одну треть первоначального угла CAB. Это потому, что PAQ, A'AQ и A'AR - три конгруэнтных треугольника. Выравнивание двух точек на двух линиях - это еще одна конструкция neusis, аналогичная решению удвоения куба. [34] [6]

Связанные проблемы [ править ]

Проблема жесткого оригами , когда складки рассматриваются как петли, соединяющие две плоские жесткие поверхности, такие как листовой металл , имеет большое практическое значение. Например, складка карты Miura - это жесткая складка, которая использовалась для развертывания больших массивов солнечных панелей для космических спутников.

Проблема складывания салфетки - это проблема того, можно ли сложить квадрат или прямоугольник из бумаги так, чтобы периметр плоской фигуры был больше периметра исходного квадрата.

Размещение точки на изогнутой складке в шаблоне может потребовать решения эллиптических интегралов. Изогнутые оригами позволяют бумаге образовывать не плоские разворачивающиеся поверхности . [35] Мокрое складывание оригами - это техника, разработанная Йошизавой, которая позволяет изогнутым складкам создавать еще больший диапазон форм более высокого уровня сложности.

Было получено максимальное количество раз, когда несжимаемый материал может быть согнут. При каждом сгибе определенное количество бумаги теряется для возможного складывания. Функция потерь для складывания бумаги пополам в одном направлении была задана как , где L - минимальная длина бумаги (или другого материала), t - толщина материала, а n - количество возможных сгибов. [19] Расстояния L и t должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения, например, в дюймах. Этот результат был получен Галливаном.в 2001 году, который также 12 раз сложил лист бумаги пополам, вопреки распространенному мнению, что бумагу любого размера можно сложить не более восьми раз. Она также вывела уравнение складывания в альтернативных направлениях. [18]

Задача « сложить и разрезать» задает вопрос, какие формы можно получить, сложив лист бумаги и сделав один прямой полный разрез. Решение, известное как теорема о сложении и разрезании, гласит, что можно получить любую форму с прямыми сторонами.

Практическая проблема состоит в том, как сложить карту так, чтобы ею можно было манипулировать с минимальными усилиями или движениями. Миура складки является решением проблемы, и некоторые другие были предложены. [36]

См. Также [ править ]

  • Flexagon
  • Метод Лилля
  • Проблема складывания салфеток
  • Складывание карты
  • Обычная последовательность складывания бумаги (например, кривая дракона )

Примечания и ссылки [ править ]

  1. ^ a b Халл, Томас С. (2011). «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилля» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 118 (4): 307–315. DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.118.04.307 . Руководство по ремонту  2800341 . S2CID  2540978 .
  2. ^ Т. Сундара Рао (1917). Беман, Вустер; Смит, Дэвид (ред.). Геометрические упражнения в складывании бумаги . Издательская компания «Открытый суд» .
  3. ^ Джордж Эдвард Мартин (1997). Геометрические конструкции . Springer. п. 145. ISBN 978-0-387-98276-2.
  4. ^ Роберт Карл Йейтс (1949). Геометрические инструменты . Государственный университет Луизианы.
  5. ^ Ник Робинсон (2004). Библия оригами . Книги Хризалиды. п. 18. ISBN 978-1-84340-105-6.
  6. ^ a b c Халл, Том (1997). «Сравнение линейки, компаса и оригами» . origametry.net .
  7. ^ Бэйн, Ян (1980), "Карта Миура-Ори" , New Scientist. Воспроизведено в издании British Origami , 1981 г., и на сайте Британского общества оригами.
  8. ^ Миура, К. (1985), Метод упаковки и развертывания больших мембран в космосе , Tech. Отчет 618, Институт космоса и астронавтики
  9. ^ "2D-массив" . Японское агентство аэрокосмических исследований. Архивировано из оригинального 25 ноября 2005 года.
  10. ↑ Нисияма, Ютака (2012), «Складывание Miura: применение оригами для исследования космоса» (PDF) , Международный журнал чистой и прикладной математики , 79 (2): 269–279 CS1 maint: discouraged parameter (link)
  11. ^ a b Питер Мессер (1986). «Проблема 1054» (PDF) . Crux Mathematicorum . 12 (10): 284–285 - через Канадское математическое общество.
  12. ^ Жюстин, Жак, «Резолюция по принципу равенства воды и геометрии приложений», перепечатанная в « Протоколах Первого международного совещания по науке и технологии оригами» , изд. Х. Хузита. (1989), стр. 251–261.
  13. ^ Бенедетто Шимеми, Правильный семиугольник складыванием, Труды оригами, науки и техники, изд. Х. Хузита., Феррара, Италия, 1990 г.
  14. Рианна Ньютон, Лиз (1 декабря 2009 г.). «Сила оригами» . Кембриджский университет. + плюс журнал.
  15. ^ a b Берн, Маршалл; Хейс, Барри (1996). «Сложность плоского оригами» . Материалы седьмого ежегодного симпозиума ACM-SIAM по дискретным алгоритмам (Атланта, Джорджия, 1996) . ACM, Нью-Йорк. С. 175–183. Руководство по ремонту 1381938 . 
  16. ^ a b Тори, Коширо. «Как разделить сторону квадратной бумаги» . Японское академическое общество оригами.
  17. ^ а б К. Хага, Оригамика, Часть 1, Ниппон Хьорон Ша, 1999 (на японском языке)
  18. ^ a b Вайсштейн, Эрик В. "Складывание" . MathWorld .
  19. ^ Б Korpal, Gaurish (25 ноября 2015 г.). «Складывание бумаги пополам» . Под прямым углом . Учителя Индии. 4 (3): 20–23.
  20. ^ Belcastro, Сара-Мари; Халл, Томас С. (2002). «Моделирование складывания бумаги в трех измерениях с помощью аффинных преобразований» . Линейная алгебра и ее приложения . 348 (1–3): 273–282. DOI : 10.1016 / S0024-3795 (01) 00608-5 .
  21. ^ a b Альперин, Роджер С. (2002). «Гл.12». В Халле, Томас (ред.). Математическое оригами: другой взгляд на оптическую проблему Альхазена . С. 83–93. DOI : 10.1201 / b15735 . ISBN 9780429064906.
  22. ^ Робу, Юдит; Ида, Тецуо; Шепенеу, Дорин; Такахаши, Хидекадзу; Бухбергер, Бруно (2006). «Вычислительное построение оригами правильного семиугольника с автоматическим доказательством его правильности». Автоматический вывод в геометрии . Конспект лекций по информатике. 3763 . С. 19–33. DOI : 10.1007 / 11615798_2 . ISBN 978-3-540-31332-8.
  23. ^ Alperin, Roger C. (2005). «Трисекции и полностью реальное оригами». Американский математический ежемесячник . 112 (3): 200–211. arXiv : математика / 0408159 . DOI : 10.2307 / 30037438 . JSTOR 30037438 . 
  24. ^ Ланг, Роберт Дж .; Альперин, Роджер С. (2009). «Аксиомы одно-, двух- и множественного оригами» (PDF) . Оригами 4 : Четвертая международная встреча по науке, математике и образованию оригами: 383–406. DOI : 10.1201 / b10653-38 . ISBN  9780429106613.
  25. ^ a b Bertschinger, Thomas H .; Слот, Джозеф; Спенсер, Оливия Клэр; Виницкий, Самуил. Математика оригами (PDF) . Карлтонский колледж.
  26. ^ Лэнг, Роберт Дж. (2004). "Угловая квинтисекция" (PDF) . langorigami.com . Проверено 16 января 2021 года .
  27. Перейти ↑ Thomas C. Hull (2002). «Комбинаторика плоских складок: обзор». Труды Третьего Международного совещания по оригами, математике и образованию . А.К. Петерс. arXiv : 1307.1065 . ISBN 978-1-56881-181-9.
  28. ^ "Роберт Лэнг складывает путь-новое оригами" .
  29. ^ Demaine, Эрик Д .; О'Рурк, Джозеф (2007). Алгоритмы геометрического сворачивания . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. DOI : 10.1017 / CBO9780511735172 . ISBN 978-0-521-85757-4. Руководство по ремонту  2354878 .
  30. ^ Том Халл. «Оригами и геометрические конструкции» .
  31. ^ a b Геречлегер, Роберт (2008). Геометрическое оригами . Великобритания: Арбелос. ISBN 978-0-9555477-1-3.
  32. ^ Хироши Окумура (2014). «Заметка о теоремах Хаги о складывании бумаги» (PDF) . Форум Геометрикорум . 14 : 241–242.
  33. ^ a b Лэнг, Роберт Дж (2008). «От хлопающих птиц до космических телескопов: современная наука об оригами» (PDF) . Конференция Usenix, Бостон, Массачусетс.
  34. ^ Майкл Дж Винклер; Катрин Д. Уолд; Ханс Георг Бок (2011). «Практическая геометрия с оригами». Оригами 5 . CRC Press. п. 225. ISBN 978-1-56881-714-9.
  35. ^ "Сигграф:" Изогнутые оригами " " . Архивировано из оригинала на 2017-05-08 . Проверено 8 октября 2008 .
  36. ^ Халл, Томас (2002). «В поисках практичной складки карты». Математические горизонты . 9 (3): 22–24. DOI : 10.1080 / 10724117.2002.11975147 . JSTOR 25678354 . S2CID 126397750 .  

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Демейн, Эрик Д. , «Складывание и разворачивание» , докторская диссертация, факультет компьютерных наук, Университет Ватерлоо, 2001.
  • Фридман, Майкл (2018). История складывания в математике: математизация полей . Научные сети. Исторические исследования. 59 . Birkhäuser. DOI : 10.1007 / 978-3-319-72487-4 . ISBN 978-3-319-72486-7.
  • Геретчлагер, Роберт (1995). «Евклидовы конструкции и геометрия оригами». Математический журнал . 68 (5): 357–371. DOI : 10.2307 / 2690924 . JSTOR  2690924 .
  • Хага, Кадзуо (2008). Фонасье, Жозефина С; Исода, Масами (ред.). Оригамика: математические исследования через складывание бумаги . Университет Цукуба, Япония: World Scientific Publishing. ISBN 978-981-283-490-4.
  • Ланг, Роберт Дж. (2003). Секреты дизайна оригами: математические методы для древнего искусства . А.К. Петерс. ISBN 978-1-56881-194-9.
  • Дюрейссе, Дэвид , «Складывание оптимальных многоугольников из квадратов» , Mathematics Magazine 79 (4): 272–280, 2006. doi : 10.2307 / 27642951
  • Дюрейссе, Дэвид , "Обзор механизмов и паттернов оригами" , Международный журнал космических структур 27 (1): 1–14, 2012 г. doi : 10.1260 / 0266-3511.27.1.1

Внешние ссылки [ править ]

  • Доктор Том Халл . "Математическая страница оригами" .
  • Геометрия складывания бумаги при разрезании узла
  • Разделение отрезка на равные части путем складывания бумаги в узел
  • Бритни Галливан решила проблему складывания бумаги
  • Обзор аксиом оригами