В Аксиомах Huzita-Justin или Правила Фудзитов представляют собой набор правил , связанные с математическими принципами оригов , описывая операции , которые могут быть сделаны при складывании бумажки. В Аксиомы предположить , что операции будут завершены на плоскости (т.е. идеального кусок бумаги), и что все сгибы являются линейными. Это не минимальный набор аксиом, а скорее полный набор возможных одиночных складок.
Первые семь Аксиомы впервые были обнаружены французским папкой и математик Жак Джастина в 1986. [1] Аксиомы 1 по 6 были открыты вновь японски - итальянский математик Humiaki Huzita и докладывались на Первой Международной конференции по Origami в области образования и терапии в 1991 году Аксиомы 1, хотя 5 были переоткрыты Окли и Кливлендом в 1995 году. Аксиома 7 была переоткрыта Коширо Тори в 2001 году; Роберт Дж. Лэнг также нашел аксиому 7.
Семь аксиом
Первые 6 аксиом известны как аксиомы Хузиты. Аксиому 7 открыл Коширо Хатори. Жак Жюстен и Роберт Дж. Ланг также нашли аксиому 7. Аксиомы следующие:
- Для двух различных точек p 1 и p 2 существует единственная складка, которая проходит через обе из них.
- Для двух различных точек p 1 и p 2 существует единственная складка, которая помещает p 1 на p 2 .
- Даны две прямые l 1 и l 2 , есть складка, помещающая l 1 на l 2 .
- Для точки p 1 и прямой l 1 существует единственная складка, перпендикулярная l 1, которая проходит через точку p 1 .
- Даны две точки p 1 и p 2 и прямая l 1 , есть складка, которая помещает p 1 на l 1 и проходит через p 2 .
- Для двух точек p 1 и p 2 и двух прямых l 1 и l 2 существует складка, которая помещает p 1 на l 1 и p 2 на l 2 .
- Для одной точки p и двух прямых l 1 и l 2 существует складка, которая помещает p на l 1 и перпендикулярна l 2 .
Аксиома 5 может иметь 0, 1 или 2 решения, а аксиома 6 может иметь 0, 1, 2 или 3 решения. Таким образом, результирующая геометрия оригами сильнее, чем геометрия циркуля и линейки , где максимальное количество решений, которые имеет аксиома, равно 2. Таким образом, геометрия компаса и линейки решает уравнения второй степени, в то время как геометрия оригами или оригами может решать уравнения третьей степени и решать такие задачи, как трисекция угла и удвоение куба . Построение складки, гарантированное Аксиомой 6, требует «скольжения» бумаги или neusis , что недопустимо в классических конструкциях циркуля и линейки. Использование невзиса вместе с циркулем и линейкой позволяет сделать трисекцию произвольного угла.
Подробности
Аксиома 1
Для двух точек p 1 и p 2 существует единственная складка, которая проходит через обе из них.
В параметрической форме уравнение для линии, проходящей через две точки, имеет следующий вид:
Аксиома 2
Для двух точек p 1 и p 2 существует единственная складка, которая помещает p 1 на p 2 .
Это эквивалентно нахождению серединного перпендикуляра отрезка p 1 p 2 . Это можно сделать в четыре этапа:
- Используйте Аксиому 1, чтобы найти прямую, проходящую через p 1 и p 2 , заданную формулой
- Найдите среднюю точку в р середине из P ( S )
- Найти вектор V преступник перепендикулярные P ( s )
- Тогда параметрическое уравнение складки:
Аксиома 3
Даны две прямые l 1 и l 2 , есть складка, помещающая l 1 на l 2 .
Это эквивалентно нахождению биссектрисы угла между l 1 и l 2 . Пусть p 1 и p 2 - любые две точки на l 1 , а q 1 и q 2 - любые две точки на l 2 . Кроме того, пусть u и v - единичные векторы направления l 1 и l 2 соответственно; это:
Если две прямые не параллельны, их точка пересечения:
где
Тогда направление одной из биссектрис будет:
А параметрическое уравнение складки:
Также существует вторая биссектриса, перпендикулярная первой и проходящая через p int . Складывание по этой второй биссектрисе также приведет к желаемому результату размещения l 1 на l 2 . Выполнение той или иной из этих складок может оказаться невозможным, в зависимости от расположения точки пересечения.
Если две прямые параллельны, у них нет точки пересечения. Сгиб должен быть линией посередине между l 1 и l 2 и параллельной им.
Аксиома 4
Для точки p 1 и прямой l 1 существует единственная складка, перпендикулярная l 1, которая проходит через точку p 1 .
Это эквивалентно нахождению перпендикуляра к l 1 , проходящего через p 1 . Если мы найдем вектор v , перпендикулярный прямой l 1 , то параметрическое уравнение складки будет следующим:
Аксиома 5
Даны две точки p 1 и p 2 и прямая l 1 , есть складка, которая помещает p 1 на l 1 и проходит через p 2 .
Эта аксиома эквивалентна нахождению точки пересечения прямой с окружностью, поэтому у нее может быть 0, 1 или 2 решения. Линия определяется l 1 , а центр круга находится в точке p 2 , а радиус равен расстоянию от p 2 до p 1 . Если линия не пересекает круг, решений нет. Если прямая касается круга, есть одно решение, а если прямая пересекает круг в двух местах, есть два решения.
Если мы знаем две точки на линии, ( x 1 , y 1 ) и ( x 2 , y 2 ), тогда линия может быть выражена параметрически как:
Пусть окружность определяется ее центром в точке p 2 = ( x c , y c ) с радиусом. Тогда круг можно выразить как:
Чтобы определить точки пересечения прямой с кругом, мы подставляем компоненты x и y уравнений для прямой в уравнение для круга, получая:
Или упрощенно:
где:
Затем мы просто решаем квадратное уравнение:
Если дискриминант b 2 - 4 ac <0, решений нет. Круг не пересекает линию и не касается ее. Если дискриминант равен 0, то существует единственное решение, в котором прямая касается окружности. И если дискриминант больше 0, есть два решения, представляющие две точки пересечения. Назовем решения d 1 и d 2 , если они существуют. У нас есть 0, 1 или 2 отрезка:
Сгиб F 1 ( s ), перпендикулярный m 1 через его середину, поместит p 1 на линию в точке d 1 . Точно так же изгиб F 2 ( s ), перпендикулярный m 2 через его середину, поместит p 1 на линию в местоположении d 2 . Применение Axiom 2 легко справляется с этим. Таким образом, параметрические уравнения складок таковы:
Аксиома 6
Для двух точек p 1 и p 2 и двух прямых l 1 и l 2 существует складка, которая помещает p 1 на l 1 и p 2 на l 2 .
Эта аксиома эквивалентна нахождению прямой, одновременно касательной к двум параболам, и может считаться эквивалентным решению уравнения третьей степени, так как обычно существует три решения. Две параболы имеют фокусы в точках p 1 и p 2 , соответственно, с направляющими, определяемыми l 1 и l 2 , соответственно.
Эта складка называется складкой Белоха в честь Маргариты П. Белох , которая в 1936 году показала с ее помощью, что оригами можно использовать для решения общих кубических уравнений. [2]
Аксиома 7
Для одной точки p и двух прямых l 1 и l 2 существует складка, которая помещает p на l 1 и перпендикулярна l 2 .
Эта аксиома была первоначально открыта Жаком Джастином в 1989 году, но была упущена из виду и была повторно открыта Коширо Тори в 2002 году. [3] Роберт Дж. Ланг доказал, что этот список аксиом дополняет аксиомы оригами. [4]
Конструктивность
Подмножества аксиом можно использовать для построения различных наборов чисел. Первые три могут использоваться с тремя заданными точками не на одной линии, чтобы делать то, что Альперин называет талианскими конструкциями. [5]
Первые четыре аксиомы с двумя заданными точками определяют систему, более слабую, чем конструкции компаса и линейки : каждая форма, которую можно сложить с помощью этих аксиом, может быть построена с помощью циркуля и линейки, но некоторые вещи могут быть построены с помощью циркуля и линейки, которые нельзя сложить с эти аксиомы. [6] Числа, которые можно построить, называются числами оригами или пифагорейскими числами. Если расстояние между двумя заданными точками равно 1, то все конструируемые точки имеют вид где а также - числа Пифагора. Числа Пифагора задаются наименьшим полем, содержащим рациональные числа и в любое время такое число.
Добавление пятой аксиомы дает евклидовы числа , то есть точки, которые можно построить с помощью компаса и линейки .
Добавляя аксиому neusis 6, можно создавать все конструкции циркуля-линейки и многое другое. В частности, конструктивными правильными многоугольниками с этими аксиомами являются те, что стороны, где является произведением различных простых чисел Пьерпона . Конструкции циркуля-линейки допускают только те, у которых есть стороны, где является произведением различных простых чисел Ферма . (Простые числа Ферма - это подмножество простых чисел Пьерпонта.)
Седьмая аксиома не позволяет строить дальнейшие аксиомы. Семь аксиом не представляют собой минимальный набор аксиом, а дают все конструкции, которые могут быть выполнены.
Восьмая аксиома
В 2017 году Лусеро утверждал, что существует восьмая аксиома, которую можно сформулировать так: вдоль заданной линии l 1 имеется складка . [7] Новая аксиома была найдена после перечисления всех возможных инцидентов между конструируемыми точками и прямыми на плоскости. [8] Хотя он не создает новую линию, он, тем не менее, необходим при фактическом сгибании бумаги, когда требуется сложить слой бумаги по линии, отмеченной на слое непосредственно под ним.
Рекомендации
- ^ Джастин, Жак (1986). "Разрешение на использование воды в воде и геометрических решениях" (PDF) . L'Ouvert - Journal de l'APMEP d'Alsace et de l'IREM de Strasbourg (на французском языке). 42 : 9–19 . Проверено 3 марта 2021 года .
- ^ Томас К. Халл (апрель 2011 г.). «Решение кубиков со складками: работа Белоха и Лилля» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 118 (4): 307–315. DOI : 10,4169 / amer.math.monthly.118.04.307 .
- ^ Роджер С. Альперин ; Роберт Дж. Лэнг (2009). «Аксиомы одно-, двух- и многоуровневого оригами» (PDF) . 4OSME . А.К. Петерс.
- ^ Ланг, Роберт Дж. (2010). «Оригами и геометрические конструкции» (PDF) . Роберт Дж. Лэнг: 40–45 . Проверено 22 сентября 2020 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Альперин, Роджер C (2000). "Математическая теория конструкций оригами и чисел" (PDF) . Нью-Йоркский математический журнал . 6 : 119–133.
- ^ Д. Окли и Дж. Кливленд (1995). «Совершенно настоящее оригами и невозможное складывание бумаги». Американский математический ежемесячник . 102 (3): 215–226. arXiv : math / 0407174 . DOI : 10.2307 / 2975008 . JSTOR 2975008 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Лусеро, Хорхе К. (2017). «Об элементарных одинарных операциях оригами: отражения и ограничения падения на плоскости» (PDF) . Форум Геометрикорум . 17 : 207–221. arXiv : 1610.09923 . Bibcode : 2016arXiv161009923L .
- ^ Ли, Хва Ю. (2017). Оригами-конструируемые числа (PDF) (магистерская работа). Университет Джорджии. п. 64.
Внешние ссылки
- Геометрические конструкции оригами Томаса Халла
- Математическая теория конструкций оригами и чисел Роджера К. Альперина
- Ланг, Роберт Дж. (2003). «Оригами и геометрические конструкции» (PDF) . Роберт Дж. Ланг . Проверено 12 апреля 2007 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь )