Конструируемое число

В геометрии и алгебре , А вещественное число ${\ displaystyle r}$является конструктивным тогда и только тогда, когда, учитывая линейный сегмент единичной длины, линейный сегмент длины${\ displaystyle | r |}$может быть построен с помощью циркуля и линейки за конечное число шагов. Эквивалентно,${\ displaystyle r}$конструктивно тогда и только тогда, когда существует выражение в закрытой форме для${\ displaystyle r}$ используя только целые числа 0 и 1, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Геометрическое определение конструируемых чисел мотивирует соответствующее определение конструируемых точек , которые снова можно описать либо геометрически, либо алгебраически. Точка является конструируемой, если она может быть построена как одна из точек компаса и построения прямой кромки (конечная точка линейного сегмента или точка пересечения двух линий или окружностей), начиная с заданного сегмента единичной длины. Альтернативно и эквивалентно, принимая две конечные точки данного сегмента за точки (0, 0) и (1, 0) декартовой системы координат , точка является конструктивной тогда и только тогда, когда ее декартовы координаты являются конструктивными числами. ^[1] построимое числа и точку также называют циркуль и линейкой номером иточки линейки и компаса , чтобы отличать их от чисел и точек, которые могут быть построены с помощью других процессов. ^[2]

Набор конструктивных чисел образует поле : применение любой из четырех основных арифметических операций к членам этого набора дает другое конструктивное число. Это поле является расширением поля рациональных чисел и, в свою очередь, содержится в поле алгебраических чисел . ^[3] Это евклидовой замыкание из рациональных чисел , наименьшее расширение поля рациональных чисел , который включает в квадратные корни всех его положительных чисел. ^[4]

Доказательство эквивалентности между алгебраическим и геометрическим определениями конструктивных чисел приводит к преобразованию геометрических вопросов о конструкциях компаса и линейки в алгебру , включая несколько известных задач древнегреческой математики. Алгебраическая формулировка этих вопросов привела к доказательствам невозможности их решения после того, как геометрическая формулировка тех же проблем ранее не выдерживала вековых атак.

Геометрические определения

Геометрически построенные точки

Позволять ${\ displaystyle O}$ и ${\ displaystyle A}$быть двумя заданными различными точками на евклидовой плоскости и определить${\ displaystyle S}$ быть набором точек, которые можно построить с помощью циркуля и линейки, начиная с ${\ displaystyle O}$ и ${\ displaystyle A}$. Тогда точки${\ displaystyle S}$называются конструктивными точками .${\ displaystyle O}$ и ${\ displaystyle A}$ по определению являются элементами ${\ displaystyle S}$. Для более точного описания остальных элементов${\ displaystyle S}$, сделайте следующие два определения: ^[5]

• отрезок линии, конечные точки которого находятся в ${\ displaystyle S}$называется построенным отрезком , а
• круг, центр которого находится в ${\ displaystyle S}$ и который проходит через точку ${\ displaystyle S}$ (или, чей радиус - это расстояние между некоторой парой различных точек ${\ displaystyle S}$) называется построенной окружностью .

Тогда точки ${\ displaystyle S}$, Кроме того ${\ displaystyle O}$ и ${\ displaystyle A}$являются: ^{[5] [6]}

• пересечение двух непараллельных построены сегментов, или линий через построенные сегменты,
• точки пересечения построенного круга и построенного сегмента, или линии, проходящей через построенный сегмент, или
• точки пересечения двух различных построенных окружностей.

Например, середина построенного отрезка ${\ displaystyle OA}$является конструктивной точкой. Одна конструкция для этого состоит в том, чтобы построить два круга с${\ displaystyle OA}$как радиус, и линия, проходящая через две точки пересечения этих двух окружностей. Тогда середина отрезка${\ displaystyle OA}$- точка, в которой этот отрезок пересекает построенная линия. ^[7]

Геометрически конструктивные числа

Исходная информация для геометрической формулировки может использоваться для определения декартовой системы координат, в которой точка${\ displaystyle O}$ связан с началом координат, имеющим координаты ${\ displaystyle (0,0)}$ и в котором точка ${\ displaystyle A}$ связана с координатами ${\ displaystyle (1,0)}$. Пункты${\ displaystyle S}$теперь можно использовать для связи геометрии и алгебры, определяя конструируемое число как координату конструируемой точки. ^[8]

Эквивалентные определения заключаются в том, что конструктивное число - это ${\ displaystyle x}$-координата конструктивной точки ${\ Displaystyle (х, 0)}$^[6] или длина строящегося линейного сегмента. ^[9] В одном направлении этой эквивалентности, если конструктивная точка имеет координаты${\ Displaystyle (х, у)}$, то точка ${\ Displaystyle (х, 0)}$ можно построить как его перпендикулярную проекцию на ${\ displaystyle x}$-axis, а отрезок от начала координат до этой точки имеет длину ${\ displaystyle x}$. В обратном направлении, если${\ displaystyle x}$ - длина строящегося отрезка прямой, пересекающего ${\ displaystyle x}$-ось с кругом с центром в ${\ displaystyle O}$ с радиусом ${\ displaystyle x}$ дает точку ${\ Displaystyle (х, 0)}$. Из этой эквивалентности следует, что каждая точка, декартовы координаты которой являются геометрически конструктивными числами, сама является геометрически конструктивной точкой. Когда${\ displaystyle x}$ и ${\ displaystyle y}$ геометрически конструктивные числа, точка ${\ Displaystyle (х, у)}$ можно построить как пересечение прямых через ${\ Displaystyle (х, 0)}$ и ${\ displaystyle (0, y)}$, перпендикулярно осям координат. ^[10]

Алгебраические определения

Алгебраически конструктивные числа

Алгебраически конструируемые действительные числа - это подмножество действительных чисел, которые можно описать формулами, объединяющими целые числа с использованием операций сложения, вычитания, умножения, обратного умножения и квадратных корней из положительных чисел. Еще проще, за счет увеличения длины этих формул, целые числа в этих формулах могут быть ограничены только 0 и 1. ^[11] Например, квадратный корень из 2 можно построить, потому что он может быть описан формулами${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ или ${\ displaystyle {\ sqrt {1 + 1}}}$.

Аналогично, алгебраически конструируемые комплексные числа представляют собой подмножество комплексных чисел, которые имеют формулы одного и того же типа, с использованием более общей версии квадратного корня, который не ограничивается положительными числами, но вместо этого может принимать произвольные комплексные числа в качестве аргумента и дает главный квадратный корень из аргумента. В качестве альтернативы одна и та же система комплексных чисел может быть определена как комплексные числа, действительная и мнимая части которых являются конструктивными действительными числами. ^[12] Например, комплексное число${\ displaystyle i}$ имеет формулы ${\ displaystyle {\ sqrt {-1}}}$ или ${\ displaystyle {\ sqrt {0-1}}}$, а его действительная и мнимая части являются конструктивными числами 0 и 1 соответственно.

Эти два определения конструктивных комплексных чисел эквивалентны. ^[13] В одном направлении, если${\ displaystyle q = x + iy}$ комплексное число, действительная часть которого ${\ displaystyle x}$ и мнимая часть ${\ displaystyle y}$ являются конструктивными действительными числами, тогда замена ${\ displaystyle x}$ и ${\ displaystyle y}$ по их формулам в большей формуле ${\ displaystyle x + y {\ sqrt {-1}}}$ дает формулу для ${\ displaystyle q}$как комплексное число. С другой стороны, любую формулу для алгебраически построенного комплексного числа можно преобразовать в формулы для его действительной и мнимой частей, рекурсивно расширяя каждую операцию в формуле на операции над действительной и мнимой частями ее аргументов, используя разложения ^{[14 ]}

• ${\ Displaystyle (a + ib) \ pm (c + id) = (a + c) \ pm я (b + d)}$
• ${\ Displaystyle (a + ib) (c + id) = (ac-bd) + я (ad + bc)}$
• ${\ displaystyle {\ frac {1} {a + ib}} = {\ frac {a} {a ^ {2} + b ^ {2}}} + i {\ frac {-b} {a ^ {2 } + b ^ {2}}}}$
• ${\ displaystyle {\ sqrt {a + ib}} = {\ frac {(a + r) {\ sqrt {r}}} {s}} + i {\ frac {b {\ sqrt {r}}} { s}}}$, куда ${\ displaystyle r = {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2} {} _ {\!}}}}$ и ${\ displaystyle s = {\ sqrt {(a + r) ^ {2} + b ^ {2}}}}$.

Алгебраически конструктивные точки

Алгебраически конструируемые точки могут быть определены как точки, две вещественные декартовы координаты которых являются алгебраически конструируемыми действительными числами. В качестве альтернативы они могут быть определены как точки на комплексной плоскости, заданные алгебраически конструктивными комплексными числами. По эквивалентности между двумя определениями алгебраически конструируемых комплексных чисел эти два определения алгебраически конструируемых точек также эквивалентны. ^[13]

Эквивалентность алгебраических и геометрических определений

Если ${\ displaystyle a}$ и ${\ displaystyle b}$ являются ненулевыми длинами геометрически построенных сегментов, то элементарные конструкции циркуля и линейки могут быть использованы для получения построенных сегментов длин ${\ displaystyle a + b}$, ${\ displaystyle | ab |}$, ${\ displaystyle ab}$, и ${\ displaystyle a / b}$. Последние два могут быть выполнены с помощью конструкции, основанной на теореме о перехвате . Чуть менее элементарное построение с использованием этих инструментов основано на теореме о среднем геометрическом и позволяет построить отрезок длины${\ displaystyle {\ sqrt {a}}}$ из построенного отрезка длины ${\ displaystyle a}$. Отсюда следует, что каждое алгебраически построенное число можно построить геометрически, используя эти методы для преобразования формулы для числа в конструкцию для числа. ^[15]

В другом направлении набор геометрических объектов может быть задан алгебраически построенными действительными числами: координаты точек, уклон и ${\ displaystyle y}$-перехват линий, а также центр и радиус для окружностей. Можно (но утомительно) разработать формулы на основе этих значений, используя только арифметические операции и квадратные корни, для каждого дополнительного объекта, который может быть добавлен на одном этапе построения циркуля и линейки. Из этих формул следует, что каждое геометрически конструктивное число алгебраически конструктивно. ^[16]

Алгебраические свойства

Определение алгебраически конструируемых чисел включает сумму, разность, произведение и мультипликативную обратную величину любого из этих чисел, те же операции, которые определяют поле в абстрактной алгебре . Таким образом, конструируемые числа (определенные любым из вышеперечисленных способов) образуют поле. Более конкретно, конструктивные действительные числа образуют евклидово поле , упорядоченное поле, содержащее квадратный корень из каждого из его положительных элементов. ^[17] Изучение свойств этого поля и его подполей приводит к необходимым условиям на число, которое может быть построено, что может быть использовано, чтобы показать, что конкретные числа, возникающие в классических геометрических задачах построения, не могут быть построены.

Вместо всего поля конструктивных чисел удобно рассматривать подполе ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ gamma)}$ генерируется любым заданным конструктивным числом ${\ displaystyle \ gamma}$, и использовать алгебраическую конструкцию ${\ displaystyle \ gamma}$разложить это поле. Если${\ displaystyle \ gamma}$ является конструктивным действительным числом, тогда значения, встречающиеся в формуле, составляющей его, можно использовать для получения конечной последовательности действительных чисел ${\ displaystyle \ alpha _ {1}, \ dots, a_ {n} = \ gamma}$ так что для каждого ${\ displaystyle i}$, ${\ displaystyle \ mathbb {Q} (\ alpha _ {1}, \ dots, a_ {i})}$является продолжением из${\ Displaystyle \ mathbb {Q} (\ альфа _ {1}, \ точки, а_ {я-1})}$степени 2. ^[18] Используя несколько иную терминологию, действительное число можно построить тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни вещественных квадратичных расширений ,

начиная с рационального поля ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ куда ${\ displaystyle \ gamma}$ в ${\ displaystyle K_ {n}}$ и для всех ${\ displaystyle 0 <j \ leq n}$, ${\ displaystyle [K_ {j}: K_ {j-1}] = 2}$. ^[19] Из этого разложения следует, что степень расширения поля ${\ Displaystyle [\ mathbb {Q} (\ gamma): \ mathbb {Q}]}$ является ${\ displaystyle 2 ^ {r}}$, куда ${\ displaystyle r}$подсчитывает количество шагов квадратичного расширения. ^[20]

Аналогично вещественному случаю комплексное число построено тогда и только тогда, когда оно лежит в поле на вершине конечной башни комплексных квадратичных расширений. ^[21] Точнее,${\ displaystyle \ gamma}$ конструктивно тогда и только тогда, когда существует башня полей

куда ${\ displaystyle \ gamma}$ в ${\ displaystyle F_ {n}}$, и для всех ${\ displaystyle 0 <j \ leq n}$, ${\ displaystyle [F_ {j}: F_ {j-1}] = 2}$. Разница между этой характеристикой и характеристикой действительных квадратичных чисел состоит только в том, что поля в этой башне не ограничиваются действительностью. Следовательно, если комплексное число${\ displaystyle \ gamma}$ конструктивно, то ${\ Displaystyle [\ mathbb {Q} (\ gamma): \ mathbb {Q}]}$это степень двойки. Однако этого необходимого условия недостаточно: существуют расширения полей, степень которых равна степени двойки, которые нельзя разложить на последовательность квадратичных расширений. ^[22]

Поля, которые могут быть порождены таким образом из башен квадратичных расширений ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$называется итерация квадратичных расширений по${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$. Поля действительных и комплексных конструктивных чисел являются объединениями всех действительных или комплексных повторных квадратичных расширений${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$. ^[23]

Тригонометрические числа

Тригонометрические числа - это косинусы или синусы углов, рациональные кратные${\ displaystyle \ pi}$. Эти числа всегда алгебраические, но их нельзя построить. Косинус или синус угла${\ displaystyle 2 \ pi / n}$ можно построить только для определенных специальных номеров ${\ displaystyle n}$: ^[24]

• В полномочиях два
• В Ферма простые числа , простые числа, которые один плюс мощность двух
• Произведение степеней двух и различных простых чисел Ферма.

Так, например, ${\ Displaystyle \ соз (\ пи / 15)}$ конструктивно, потому что 15 является произведением двух простых чисел Ферма, 3 и 5.

Список тригонометрических чисел, выраженных квадратными корнями, см. В тригонометрических константах, выраженных в действительных радикалах .

Невозможные конструкции

В древние греки думали , что определенные проблемы угольника и циркуль строительство они не могли решить , были просто упрямый, не неразрешимой. ^[25] Однако невозможность построения некоторых чисел доказывает, что эти конструкции логически невозможно выполнить. ^[26] (Сами проблемы, однако, решаются с помощью методов, которые выходят за рамки ограничений работы только с линейкой и циркулем, и греки знали, как решить их таким образом.) ^[27]

В частности, алгебраическая формулировка конструктивных чисел приводит к доказательству невозможности решения следующих задач построения:

Удвоение куба

Задача удвоения квадрата решается построением еще одного квадрата на диагонали первого с длиной стороны ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ и площадь ${\ displaystyle 2}$. Аналогично, задача удвоения куба требует построения длины${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {2}}}$ стороны куба с объемом ${\ displaystyle 2}$. Это не конструктивно, потому что минимальный многочлен такой длины,${\ displaystyle x ^ {3} -2}$, имеет степень 3 выше ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$. ^[28] Как кубический многочлен, единственный действительный корень которого иррационален, этот многочлен должен быть неприводимым, потому что, если бы он имел квадратичный действительный корень, то квадратично сопряженный корень дал бы второй действительный корень. ^[29]

Трисекция угла

В этой задаче под заданным углом ${\ displaystyle \ theta}$, следует построить угол ${\ displaystyle \ theta / 3}$. Алгебраически углы могут быть представлены их тригонометрическими функциями , такими как их синусы или косинусы , которые дают декартовы координаты конечной точки отрезка прямой, образующего данный угол с начальным отрезком. Таким образом, угол${\ displaystyle \ theta}$ можно построить, когда ${\ Displaystyle х = \ соз \ тета}$ является конструктивным числом, и задача разделения угла на три части может быть сформулирована как задача построения ${\ Displaystyle \ соз ({\ tfrac {1} {3}} \ arccos x)}$. Например, угол${\ displaystyle \ theta = \ pi / 3 = 60 ^ {\ circ}}$ равностороннего треугольника можно построить циркулем и линейкой, с ${\ Displaystyle х = \ соз \ theta = {\ tfrac {1} {2}}}$. Однако его трисекция${\ Displaystyle \ theta / 3 = \ pi / 9 = 20 ^ {\ circ}}$ не могут быть построены, потому что ${\ Displaystyle \ соз \ пи / 9}$ имеет минимальный многочлен ${\ displaystyle 8x ^ {3} -6x-1}$ степени 3 выше ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$. Поскольку этот конкретный пример задачи о трисекции не может быть решен с помощью циркуля и линейки, общая проблема также не может быть решена. ^[30]

Квадрат круга

Квадрат с площадью ${\ displaystyle \ pi}$, такая же площадь, как у единичного круга , будет иметь длину стороны${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$, трансцендентное число . Следовательно, этот квадрат и его длина стороны не могут быть построены, потому что он не алгебраичен над${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$. ^[31]

Правильные многоугольники

Если регулярный ${\ displaystyle n}$-угольник построен с центром в начале координат, углы между сегментами от центра до следующих друг за другом вершин равны ${\ displaystyle 2 \ pi / n}$. Многоугольник можно построить только тогда, когда косинус этого угла является тригонометрическим числом. Так, например, 15-угольник можно построить, но правильный семиугольник нельзя построить, потому что 7 простое число, но не простое число Ферма. ^[32] Для более прямого доказательства невозможности построения представьте вершины правильного семиугольника как комплексные корни многочлена${\ displaystyle x ^ {7} -1}$. Удаление фактора${\ displaystyle x-1}$, разделив на ${\ displaystyle x ^ {3}}$, и подставив ${\ Displaystyle у = х + 1 / х}$ дает более простой полином ${\ displaystyle y ^ {3} + y ^ {2} -2y-1}$, неприводимая кубика с тремя действительными корнями, каждый из которых в два раза больше действительной части вершины комплексного числа. Его корни нельзя построить, поэтому семиугольник тоже нельзя построить. ^[33]

Проблема Альхазена

Если даны две точки и круговое зеркало, где на круге одна из данных точек видит отраженное изображение другой? Геометрически линии от каждой данной точки до точки отражения пересекаются с окружностью под равными углами и хордами одинаковой длины. Однако построить точку отражения с помощью циркуля и линейки невозможно. В частности, для единичной окружности с двумя точками${\ displaystyle ({\ tfrac {1} {6}}, {\ tfrac {1} {6}})}$ и ${\ displaystyle (- {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}})}$ внутри решение имеет координаты, образующие корни неприводимого полинома четвертой степени ${\ displaystyle x ^ {4} -2x ^ {3} + 4x ^ {2} + 2x-1}$. Хотя его степень является степенью двойки, поле расщепления этого многочлена имеет степень, делящуюся на три, поэтому оно не происходит от повторного квадратичного расширения, а проблема Альхазена не имеет решения с помощью циркуля и линейки. ^[34]

История

Рождение концепции конструктивных чисел неразрывно связано с историей трех невозможных конструкций циркуля и линейки: дублирования куба, деления угла на три части и квадрата круга. Ограничение использования только циркуля и линейки в геометрических конструкциях часто приписывают Платону из-за отрывка из Плутарха . Согласно Плутарху, Платон дал дублирование проблемы кубы (Делосский) к Евдоксу и Архиту и Менехмам , который решил проблему с помощью механических средств, получив выговор от Платона для не решает проблему с помощью чистой геометрии . ^[35] Однако эта атрибуция оспаривается, ^[36]объясняется, в частности, о существовании другой версии истории (приписывается Эратосфена по Евтокий ) , который говорит , что все три были найдены решения , но они были слишком абстрактны , чтобы иметь практическое значение. ^[37] Прокл , цитируя Евдема с Родоса , приписал Энопиду (около 450 г. до н. Э.) Две линейки и конструкции с компасом, что привело некоторых авторов к гипотезе о том, что именно Энопид был инициатором ограничения. ^[38] Ограничение циркуля и линейки существенно для невозможности классических конструкторских задач. Например, трисекцию угла можно выполнить разными способами, некоторые из которых были известны древним грекам. Quadratrix изГиппий Элиды , коники Менехма или отмеченная линейка ( neusis ) конструкция Архимеда - все это использовалось, как и более современный подход с помощью складывания бумаги . ^[39]

Хотя это и не одна из трех классических задач построения, проблема построения правильных многоугольников с помощью линейки и циркуля часто рассматривается вместе с ними. Греки знали, как построить правильные n -угольники с n = 2 ^h , 3, 5 (для любого целого h ≥ 2 ) или произведение любых двух или трех из этих чисел, но другие правильные n -угольники ускользнули от них. В 1796 году Карл Фридрих Гаусс , тогда восемнадцатилетний студент, объявил в газете, что он построил правильный 17-угольник с линейкой и циркулем. ^[40]Трактовка Гаусса была скорее алгебраической, чем геометрической; на самом деле он не построил многоугольник, а скорее показал, что косинус центрального угла является конструктивным числом. Аргумент был обобщен в его книге 1801 Disquisitiones Arithmeticae давая достаточное условие для построения регулярной п - угольника. Гаусс утверждал, но не доказал, что это условие также было необходимым, и несколько авторов, в частности Феликс Кляйн , ^[41] приписали ему и эту часть доказательства. ^[42] Проблема Альхазена также не является одной из трех классических проблем, но, несмотря на то, что она названа в честь Ибн аль-Хайсама (Альхазена),средневековый исламский математик , он уже появляются годов в Птолемея «s работы по оптике со второго века. ^[20]

Пьер Ванцель  ( 1837 ) алгебраически доказал, что проблемы удвоения куба и деления угла на три части невозможно решить, если использовать только циркуль и линейку. В той же статье он также решил проблему определения того, какие правильные многоугольники можно построить: правильный многоугольник можно построить тогда и только тогда, когда количество его сторон является произведением степени двойки и любого числа различных простых чисел Ферма (т. Е. также необходимы достаточные условия, данные Гауссом). ^{[24] [43]} Попытка доказательства невозможности квадрата круга была дана Джеймсом Грегори в Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura(Истинный квадрат круга и гиперболы) в 1667 году. Хотя его доказательство было ошибочным, это была первая статья, в которой была предпринята попытка решить проблему, используя алгебраические свойства π . Лишь в 1882 году Фердинанд фон Линдеманн строго доказал его невозможность, расширив работу Чарльза Эрмита и доказав, что π является трансцендентным числом . ^{[44] [45]} Проблема Альхазена не была доказана невозможной для решения с помощью циркуля и линейки до работы Элькина (1965) . ^[46]

Изучение конструктивных чисел как таковых было начато Рене Декартом в La Géométrie , приложении к его книге « Рассуждения о методе», опубликованной в 1637 году. Декарт связал числа с геометрическими отрезками прямых, чтобы продемонстрировать силу своего философского метода путем решения древняя задача построения линейки и компаса, поставленная Паппом . ^[47]

См. Также

• Вычислимое число
• Определимое действительное число

Примечания

Ссылки

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Конструируемое число» , MathWorld
• Конструируемые числа в разорванном узле