Удвоение куба , также известный как Delian проблемы , является древним [а] геометрическая задача. Учитывая край из куба , проблема требует строительства края второго куба , чей объем вдвое больше , чем первый. Как и в случае связанных с этим проблем квадрата круга и деления угла на три части, теперь известно, что удвоение куба невозможно, используя только циркуль и линейку , но даже в древние времена были известны решения, в которых использовались другие инструменты.
В египтянах , индусы , и особенно греки [1] были осведомлены о проблеме и сделали много попыток бесполезных в решении , что они видели , как упрямый , но решаемая задачу. [2] [b] Тем не менее, отсутствие решения на основе циркуля и линейки было окончательно доказано Пьером Ванцелем в 1837 году.
Выражаясь алгебраическими терминами, удвоение единичного куба требует построения отрезка длины x , где x 3 = 2 ; другими словами, x = 3 √ 2 , кубический корень из двух . Это связано с тем, что куб со стороной 1 имеет объем 1 3 = 1 , а куб с удвоенным объемом (объем 2) имеет длину стороны кубического корня, равного 2. Следовательно, невозможно удвоить куб. эквивалентно утверждению, что 3 √ 2 не является конструктивным числом. Это является следствием того факта, что координаты новой точки, построенной циркулем и линейкой, являются корнями многочленов над полем, порожденным координатами предыдущих точек, не большей степени, чем квадратичная . Это означает , что степень от расширения поля , генерируемого конструктивной точкой должна быть степенью 2. удлинительного поля , генерируемые 3 √ 2 , тем не менее, имеет степени 3.
Начнем с отрезка единичной прямой, определяемого точками (0,0) и (1,0) на плоскости . Нам требуется построить отрезок прямой, определяемый двумя точками, разделенными расстоянием 3 √ 2 . Легко показать, что конструкции компаса и линейки позволили бы такому отрезку линии свободно перемещаться, чтобы коснуться начала координат , параллельно единичному отрезку прямой - так что эквивалентно мы можем рассмотреть задачу построения отрезка от (0,0) до ( 3 √ 2 , 0), что влечет за собой построение точки ( 3 √ 2 , 0).
Соответственно, инструменты циркуля и линейки позволяют нам создавать круги с центром в одной ранее определенной точке и проходящие через другую, а также создавать линии, проходящие через две ранее определенные точки. Любая вновь определенная точка возникает либо в результате пересечения двух таких кругов, как пересечение круга и линии, либо как пересечение двух прямых. Упражнение элементарной аналитической геометрии показывает, что во всех трех случаях координаты x и y вновь определенной точки удовлетворяют многочлену степени не выше квадратичной с коэффициентамиэто сложение, вычитание, умножение и деление, включающее координаты ранее определенных точек (и рациональные числа). Пересчитаны в более абстрактной терминологии, новые х - и у -координаты имеют минимальные многочлены степени не 2 над подполом из ℝ порожденного предыдущих координат. Таким образом, степень от расширения поля , соответствующего каждому новой системы координат равно 2 или 1.
Итак, учитывая координату любой построенной точки, мы можем индуктивно двигаться в обратном направлении через x- и y- координаты точек в том порядке, в котором они были определены, до тех пор, пока мы не достигнем исходной пары точек (0,0) и (1, 0). Поскольку каждое расширение поля имеет степень 2 или 1, а также в качестве расширения поля над ℚ координат исходной пара точек, очевидно , степени 1, это следует из правила башни , что степень расширения поля над ℚ любой координатной построенной точки - степень двойки .
Теперь р ( х ) = х 3 - 2 = 0 Легко видеть, что неприводимые над ℤ - любая факторизация будет включать линейный множитель ( х - К ) для некоторого K ∈ ℤ , и поэтому к должно быть корень из р ( х ) ; но также k должно делить 2, то есть k = 1, 2, −1 или −2 , и ни один из них не является корнем p ( x ). По лемме Гаусса , р ( х ) также неприводимым над ℚ , и, таким образом , минимальный многочлен над ℚ для 3 √ 2 . Расширение поля ℚ ( 3 √ 2 ): ℚ , следовательно, имеет степень 3. Но это не степень двойки , поэтому согласно вышеизложенному, 3 √ 2 не является координатой конструктивной точки и, следовательно, отрезком линии 3. √ 2 нельзя построить, и куб нельзя удвоить.
Проблема получила свое название от истории о гражданах Делоса , которые посоветовались с оракулом в Дельфах , чтобы узнать, как победить чуму, посланную Аполлоном . [3] Согласно Плутарху [4], именно граждане Делоса консультировались с оракулом в Дельфах , ища решение своих внутренних политических проблем в то время, которые усилили отношения между гражданами. Оракул ответил, что они должны удвоить размер жертвенника Аполлону, который был обычным кубом. Ответ показался делийцам странным, и они посоветовались с Платоном., который смог интерпретировать оракул как математическую проблему удвоения объема данного куба, объяснив, таким образом, оракул как совет Аполлона для жителей Делоса, чтобы они занялись изучением геометрии и математики, чтобы успокоиться их увлечения. [5]
По словам Плутарха , Платон дал задачу Евдокс и Архят и Менехмы , который решил проблему с помощью механических средств, получив выговор от Платона для не решения проблемы с использованием чистой геометрии . [6] Это может быть причиной того, что в 350-х гг. До н. Э. Автор псевдоплатонического произведения « Сизиф» (388e) называет проблему нерешенной. [7] Однако другая версия этой истории (приписываемой Эратосфена по Евтокий ) говорит , что все три были найдены решения , но они были слишком абстрактны , чтобы иметь практическое значение. [8]
Значительным достижением в поиске решения проблемы стало открытие Гиппократом Хиосского, что это эквивалентно нахождению двух средних пропорциональных между отрезком линии и другим отрезком с удвоенной длиной. [9] В современных обозначениях это означает, что для заданных сегментов длиной a и 2 a дублирование куба эквивалентно нахождению сегментов длиной r и s так, что
В свою очередь, это означает, что
Но Пьер Ванцель доказал в 1837 году, что кубический корень из 2 не является конструктивным ; то есть его нельзя построить с помощью линейки и циркуля .
Оригинальное решение Менехма включает пересечение двух конических кривых. Другие более сложные методы удвоения куба включают neusis , циссоиду Диокла , раковину Никомеда или линию Филона . Пандрозия , вероятно женщина-математик из Древней Греции, нашла численно точное приближенное решение, используя плоскости в трех измерениях, но была подвергнута резкой критике со стороны Паппа Александрийского за отсутствие надлежащего математического доказательства . [10] Архитас решил проблему в 4 веке до нашей эры, используя геометрическое построение в трех измерениях, определив определенную точку как пересечение трех поверхностей вращения.
В литературе по математическим чудакам ( псевдоматематике ) изобилуют ложные утверждения об удвоении куба с помощью циркуля и линейки .
Оригами также можно использовать для создания кубического корня из двух, складывая бумагу .
Существует простая конструкция neusis, использующая отмеченную линейку для длины, которая равна кубическому корню из 2-кратной другой длины. [11]
Тогда AG - заданная длина, умноженная на 3 √ 2 .
В теории музыки естественным аналогом удвоения является октава (музыкальный интервал, вызванный удвоением частоты тона), а естественный аналог куба делит октаву на три части, каждая с одинаковым интервалом . В этом смысле проблема удвоения куба решается основной третью в равном темпераменте . Это музыкальный интервал, составляющий ровно одну треть октавы. Он умножает частоту тона на 2 4 ⁄ 12 = 2 1 ⁄ 3 = 3 √ 2 , длину стороны куба Делиана. [12]