Теория игр среднего поля - это исследование принятия стратегических решений небольшими взаимодействующими агентами в очень больших популяциях. Использование термина «среднее поле» вдохновлено теорией среднего поля в физике, которая рассматривает поведение систем из большого числа частиц, в которых отдельные частицы оказывают незначительное влияние на систему.
Этот класс задач рассматривался в экономической литературе Боян Йованович и Robert W. Rosenthal , [1] в технической литературе по Петр Е. Caines и его сотрудниками [2] [3] [4] и независимо друг от друга и вокруг в то же время математики Жан-Мишель Ласри и Пьер-Луи Лионс . [5] [6]
В непрерывном времени игра среднего поля обычно состоит из уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, которое описывает задачу оптимального управления индивидуумом, и уравнения Фоккера – Планка, которое описывает динамику совокупного распределения агентов. При достаточно общих предположениях можно доказать, что класс игр среднего поля является пределом для N- игроков равновесия по Нэшу . [7]
Понятие, связанное с игрой среднего поля, - это «управление по типу среднего поля». В этом случае социальный планировщик контролирует распределение состояний и выбирает стратегию контроля. Решение задачи управления типа среднего поля обычно может быть выражено в виде сопряженного сопряженного уравнения Гамильтона – Якоби – Беллмана, соединенного с уравнением Колмогорова . Теория игр типа среднего поля - это многоагентное обобщение одноагентного управления типа среднего поля. [8]
Линейно-квадратичная игровая задача Гаусса [ править ]
От Caines (2009) относительно простой моделью крупномасштабных игр является линейно-квадратичная гауссовская модель. Динамика отдельного агента моделируется как стохастическое дифференциальное уравнение
где - состояние -го агента, а - контроль. Стоимость индивидуального агента составляет
![{\ displaystyle J_ {i} (u_ {i}, \ nu) = \ mathbb {E} \ left \ {\ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ rho t} \ left [(x_ {i} - \ nu) ^ {2} + ru_ {i} ^ {2} \ right] \, dt \ right \}, \ quad \ nu = \ Phi \ left ({\ frac {1} {N} } \ sum _ {k \ neq i} ^ {N} x_ {k} + \ eta \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa033323297281824f58460ca8327f740a88766d)
Связь между агентами происходит в функции стоимости.
См. Также [ править ]
- Агрегатная игра
- Дифференциальная игра
- Эволюционная теория игр
- Равновесие с квантовым откликом
- Возможная игра
Ссылки [ править ]
- ↑ Йованович, Боян; Розенталь, Роберт В. (1988). «Анонимные последовательные игры». Журнал математической экономики . 17 (1): 77–87. DOI : 10.1016 / 0304-4068 (88) 90029-8 .
- ^ Хуанг, MY; Malhame, RP; Каинс, ЧП (2006). "Стохастические динамические игры для больших популяций: замкнутые системы Маккина – Власова и принцип достоверности эквивалентности Нэша" . Коммуникации в информации и системах . 6 (3): 221–252. DOI : 10.4310 / CIS.2006.v6.n3.a5 . Zbl 1136.91349 .
- ^ Nourian, M .; Каинс, ЧП (2013). "Теория игр среднего поля ε – Нэша для нелинейных стохастических динамических систем с основными и второстепенными агентами". SIAM Journal по управлению и оптимизации . 51 (4): 3302–3331. arXiv : 1209,5684 . DOI : 10.1137 / 120889496 . S2CID 36197045 .
- ^ Джехиче, Буалем; Чеукам, Ален; Тембине, Хамиду (2017). «Игры среднего поля в технике». AIMS Электроника и электротехника . 1 (1): 18–73. arXiv : 1605.03281 . DOI : 10.3934 / ElectrEng.2017.1.18 . S2CID 16055840 .
- ↑ Львы, Пьер-Луи; Лазри, Жан-Мишель (март 2007 г.). «Торговля крупными инвесторами влияет на волатильность» . Annales де l'Institut Анри Пуанкаре C . 24 (2): 311–323. Bibcode : 2007AIHPC..24..311L . DOI : 10.1016 / j.anihpc.2005.12.006 .
- ^ Ласри, Жан-Мишель; Львов, Пьер-Луи (28 марта 2007 г.). «Подлые полевые игры» . Японский математический журнал . 2 (1): 229–260. DOI : 10.1007 / s11537-007-0657-8 . S2CID 1963678 .
- ^ Cardaliaguet, Пьер (27 сентября 2013). «Заметки о средних полевых играх» (PDF) .
- ^ Бенсуссан, Ален; Frehse, Jens; Ям, Филипп (2013). Среднее поле и теория управления типом среднего поля . Springer Briefs по математике. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 9781461485070.[ требуется страница ]
Внешние ссылки [ править ]
- Стохастическое управление в среднем поле ( слайды ), Лекция Питера Э. Кейнса по присуждению премии Общества систем управления IEEE 2009 г.
- Кейнс, Питер Э. (2013). «Злые полевые игры». Энциклопедия систем и управления . С. 1–6. DOI : 10.1007 / 978-1-4471-5102-9_30-1 . ISBN 978-1-4471-5102-9.
- Заметки о средних полевых играх , из лекций Пьера-Луи Лайонса в Коллеж де Франс
- (на французском языке) Видеолекции Пьера-Луи Лайонса
- Игры среднего поля и приложения Жан-Мишеля Ласри
