Среднее значение функции

В исчислении , и особенно многомерном исчислении , среднее значение функции в общих чертах определяется как среднее значение функции по ее области определения . В одной переменной среднее значение функции f ( x ) на интервале ( a, b ) определяется как

${\ displaystyle {\ bar {f}} = {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

Напомним, что определяющим свойством среднего значения конечного числа чисел является то, что . Другими словами, это постоянное значение, которое при добавлении к себе в разы равно результату сложения членов . По аналогии определяющим свойством среднего значения функции на интервале является то, что${\ displaystyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y_ {n}}$${\ displaystyle n {\ bar {y}} = y_ {1} + y_ {2} + \ cdots + y_ {n}}$${\ displaystyle {\ bar {y}}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ Displaystyle [а, б]}$

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} {\ bar {f}} \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

Другими словами, это постоянное значение , которое , когда интегрированный над равен результату интегрирования над . Но согласно второй фундаментальной теореме исчисления интеграл от константы равен${\ displaystyle {\ bar {f}}}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle f (x)}$${\ Displaystyle [а, б]}$${\ displaystyle {\ bar {f}}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\bar {f}}\,dx={\bar {f}}x{\bigr |}_{a}^{b}={\bar {f}}b-{\bar {f}}a=(b-a){\bar {f}}}$

См. Также первую теорему о среднем значении для интегрирования , которая гарантирует, что если она непрерывна, то существует такая точка , что${\displaystyle f}$${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f(c)(b-a)}$

Точка называется средним значением вкл . Итак, мы пишем и переставляем предыдущее уравнение, чтобы получить приведенное выше определение.${\displaystyle f(c)}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle {\bar {f}}=f(c)}$

В некоторых переменных среднее значение по относительно компактной области U в евклидовом пространстве определяется выражением

${\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}f.}$

Это обобщает среднее арифметическое . С другой стороны, также возможно обобщить среднее геометрическое на функции, определив среднее геометрическое f как

${\displaystyle \exp \left({\frac {1}{{\hbox{Vol}}(U)}}\int _{U}\log f\right).}$

В целом, в теории меры и теории вероятностей , либо рода средних играет важную роль. В этом контексте неравенство Дженсена дает точные оценки взаимосвязи между этими двумя различными понятиями среднего значения функции.

Также существует гармоническое среднее значений функций и квадратичное среднее (или среднеквадратичное значение ) функций.

См. Также [ править ]

• Иметь в виду