Металлическое средство

Золотое сечение в пентаграмме и серебряное сечение в восьмиугольнике.

Эти металлические средства (также коэффициенты или постоянные ) последовательных натуральных чисел являются цепными дробями :

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}.}$

Золотое сечение (1,618 ...) представляет собой металлическое среднее между 1 и 2, в то время как соотношение серебра (2,414 ...) представляет собой металлическое среднее между 2 и 3. «отношением бронзы» термина (3,303 ...), или термины, использующие другие названия металлов (например, медь или никель), иногда используются для обозначения последующих металлических средств. ^{[1] [2]} Значения первых десяти металлических средних показаны справа. ^{[3] [4]} Обратите внимание, что каждое металлическое среднее является корнем простого квадратного уравнения:, где - любое натуральное положительное число.${\displaystyle x^{2}-nx=1}$${\displaystyle n}$

Поскольку золотое сечение связано с пятиугольником (первая диагональ / сторона), серебряное сечение связано с восьмиугольником (вторая диагональ / сторона). Поскольку золотое сечение связано с числами Фибоначчи , серебряное сечение связано с числами Пелла , а бронзовое сечение связано с OEIS :  A006190. Каждое число Фибоначчи - это сумма предыдущего числа, умноженного на единицу, плюс число перед этим, каждое число Пелла - это сумма предыдущего числа, умноженного на два, и одного перед этим, а каждое «бронзовое число Фибоначчи» - это сумма предыдущего числа. умножить на три плюс число перед этим. Принимая последовательные числа Фибоначчи как отношения, эти отношения приближаются к золотому среднему, отношения чисел Пелла приближаются к серебряному среднему, а отношения «бронзовых чисел Фибоначчи» приближаются к бронзовому среднему.

Свойства [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Ссылками материал может быть оспаривается и удалена . Поиск источников:  "Metallic mean"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( август 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Эти свойства действительны только для целых чисел m , для нецелых чисел свойства аналогичны, но немного отличаются.

Вышеупомянутое свойство степеней серебряного соотношения является следствием свойства степеней серебряных средств. Для серебра средней S в м , свойство может быть обобщено

${\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{(n-1)}}$

куда

${\displaystyle K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}.}$

Используя начальные условия K ₀ = 1 и K ₁ = m , это рекуррентное соотношение принимает вид

${\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-{\left(m-S_{m}\right)}^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}$

Силы серебряных средств обладают и другими интересными свойствами:

Если n - положительное четное целое число:

${\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

Кроме того,

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}$

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}$

Также,

${\displaystyle S_{m}^{3}=S_{\left(m^{3}+3m\right)}}$

${\displaystyle S_{m}^{5}=S_{\left(m^{5}+5m^{3}+5m\right)}}$

${\displaystyle S_{m}^{7}=S_{\left(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m\right)}}$

${\displaystyle S_{m}^{9}=S_{\left(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m\right)}}$

${\displaystyle S_{m}^{11}=S_{\left(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m\right)}.}$

В целом:

${\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}}.}$

Серебро среднее S в м также обладает свойством

${\displaystyle {\frac {1}{S_{m}}}=S_{m}-m}$

Это означает, что инверсия серебряного среднего имеет ту же десятичную часть, что и соответствующее серебряное среднее.

${\displaystyle S_{m}=a+b}$

где a - целая часть S, а b - десятичная часть S , то верно следующее свойство:

${\displaystyle S_{m}^{2}=a^{2}+mb+1.}$

Потому что (для всех m больше 0) целая часть S _m = m , a = m . Для т> 1 , тогда имеем

${\displaystyle S_{m}^{2}=ma+mb+1}$

${\displaystyle S_{m}^{2}=m(a+b)+1}$

${\displaystyle S_{m}^{2}=m\left(S_{m}\right)+1.}$

Следовательно, серебряное среднее m является решением уравнения

${\displaystyle x^{2}-mx-1=0.}$

Он также может быть полезно отметить , что серебро среднего S из - м является инверсией серебра средней S в м

${\displaystyle {\frac {1}{S_{m}}}=S_{(-m)}=S_{m}-m.}$

Еще один интересный результат можно получить, немного изменив формулу среднего серебряного. Если мы рассмотрим число

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}}=R}$

тогда верны следующие свойства:

${\displaystyle R-\lfloor R\rfloor ={\frac {c}{R}}}$если c реально,

${\displaystyle \left({1 \over R}\right)c=R-\lfloor \operatorname {Re} (R)\rfloor }$если c кратно i .

Среднее значение m в серебре также определяется интегралом

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

Еще одна интересная форма металлического среднего дается формулой

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }}$

Тригонометрические выражения [ править ]

N	Тригонометрическое выражение	Связанный правильный многоугольник
1	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}}$	Пентагон
2	${\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}}$	Восьмиугольник
3	${\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{13}}\left(\sin {\frac {2\pi }{13}}\csc {\frac {3\pi }{13}}+1\right)}$	Трехугольник
4	${\displaystyle 8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}}$	Пентагон
5	${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {19\pi }{29}}-{\frac {1}{2}}\csc {\frac {19\pi }{29}}(\cos {\frac {25\pi }{29}}+1)-\sin {\frac {25\pi }{29}}\sin {\frac {3\pi }{29}}\csc {\frac {20\pi }{29}}}{\sin {\frac {25\pi }{29}}\sin {\frac {5\pi }{29}}\csc {\frac {21\pi }{29}}-\sin {\frac {16\pi }{29}}\sin {\frac {\pi }{29}}\csc {\frac {7\pi }{29}}}}}$	29-угольник
6	${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {21\pi }{40}}}{\sin {\frac {7\pi }{8}}-\sin {\frac {5\pi }{8}}\sin {\frac {\pi }{40}}\csc {\frac {11\pi }{40}}-\sin {\frac {19\pi }{20}}\sin {\frac {9\pi }{40}}\csc {\frac {7\pi }{10}}}}}$	40-угольник
7
8	${\displaystyle {\frac {\sin {\frac {6\pi }{17}}\sin {\frac {7\pi }{17}}\sin {\frac {3\pi }{17}}\sin {\frac {12\pi }{17}}}{\sin {\frac {\pi }{17}}\sin {\frac {9\pi }{17}}\sin {\frac {4\pi }{17}}\sin {\frac {2\pi }{17}}}}}$	Гептадекагон
9

^[5]

См. Также [ править ]

• Постоянный
• Иметь в виду
• Соотношение
• Пластиковый номер

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Стахов, Алексей Петрович (2009). Математика гармонии: от Евклида до современной математики и информатики , с. 228, 231. World Scientific. ISBN 9789812775832 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Кристина-Елена Хрецкану и Мирча Красмаряну (2013). « Металлические структуры на римановых многообразиях », Revista de la Unión Matemática, Аргентина .
• Ракочевич, Милое М. « Дальнейшее обобщение золотого сечения в связи с« божественным »уравнением Эйлера », Arxiv.org .