Микромасштабные и макромасштабные модели

Микромасштабные и связанные с ними макромасштабные модели сосуществования Phalaris arundinacea, глобально распространенной травы. Каждый цвет представляет собой пространственную протяженность отдельного генотипа в микромасштабной модели с использованием стохастических клеточных автоматов. Каждая кривая на графике представляет уровень популяции соответствующего генотипа в макромасштабной модели дифференциального уравнения. ^[1]

Микромасштабные модели образуют широкий класс вычислительных моделей, которые имитируют мелкомасштабные детали, в отличие от макромасштабных моделей , которые объединяют детали в отдельные категории. ^{[2] [3]} Микромасштабные и макромасштабные модели можно использовать вместе, чтобы понять различные аспекты одной и той же проблемы.

Приложения [ править ]

Макромасштабные модели могут включать обыкновенные , частные и интегро-дифференциальные уравнения, где категории и потоки между категориями определяют динамику, или могут включать только алгебраические уравнения . Абстрактная макромасштабная модель может быть объединена с более детальными микромасштабными моделями. Связи между двумя масштабами связаны с многомасштабным моделированием . Один математический метод многомасштабного моделирования наноматериалов основан на использовании многомасштабной функции Грина .

Напротив, микромасштабные модели могут имитировать множество деталей, таких как отдельные бактерии в биопленках , ^[4] отдельных пешеходов в имитируемых кварталах, ^[5] отдельные световые лучи в изображениях с трассировкой лучей , ^[6] отдельные дома в городах, ^{[7] ]} мелкомасштабные поры и поток жидкости в батареях ^[8] мелкомасштабные отсеки в метеорологии ^[9] мелкомасштабные структуры в системах твердых частиц ^[10] и другие модели, в которых взаимодействие между людьми и фоновые условия определяют динамику.

Дискретно-событийные модели, индивидуальные модели и агентные модели являются частными случаями микромасштабных моделей. Однако микромасштабные модели не требуют дискретных индивидов или дискретных событий. Мелкие детали топографии, зданий и деревьев могут добавить микромасштабные детали к метеорологическому моделированию и могут быть связаны с так называемыми мезомасштабными моделями в этой дисциплине. ^[9] Пейзажное разрешение размером в квадратный метр, доступное из изображений лидара, позволяет моделировать потоки воды через поверхности суши, например ручьи и водные карманы, с использованием массивов деталей размером в гигабайт. ^[11] Модели нейронных сетей.может включать отдельные нейроны, но может работать непрерывно и, следовательно, не иметь точных дискретных событий. ^[12]

История [ править ]

Идеи вычислительных микромасштабных моделей возникли на заре компьютинга и были применены к сложным системам, которые нельзя было точно описать стандартными математическими формами.

Две темы возникли в работах двух основоположников современных вычислений примерно в середине 20 века. Сначала пионер Алан Тьюринг использовал упрощенные макромасштабные модели, чтобы понять химические основы морфогенеза , но затем предложил и использовал вычислительные микромасштабные модели, чтобы понять нелинейности и другие условия, которые могут возникнуть в реальных биологических системах. ^[13] Во-вторых, пионер Джон фон Нейман создал клеточный автомат, чтобы понять возможности самовоспроизведения произвольно сложных объектов, ^[14] который имел микромасштабное представление в клеточном автомате, но не имел упрощенной макромасштабной формы. Эта вторая тема считается частьюагентно-ориентированные модели , в которых объекты в конечном итоге могут быть агентами с искусственным интеллектом, работающими автономно.

К последней четверти 20-го века вычислительные мощности настолько выросли ^{[15] [16],} что в микромасштабные модели могут быть включены до десятков тысяч человек или более, и что разреженные массивы могут применяться для достижения высокой производительности. . ^[17] Продолжающееся увеличение вычислительной мощности позволило к началу 21 века моделировать сотни миллионов людей на обычных компьютерах с помощью микромасштабных моделей.

Термин «микромасштабная модель» возник позже в 20 веке и теперь появляется в литературе многих разделов физической и биологической науки. ^{[5] [7] [8] [9] [18]}

Пример [ править ]

На рисунке 1 представлена ​​фундаментальная модель макромасштаба: рост населения в неограниченной среде. Его уравнение актуально в другом месте, например, в случае комплексного роста капитала в экономике или экспоненциального распада в физике. У него есть одна объединенная переменная - количество особей в популяции в определенный момент времени . У него есть объединенный параметр - годовой темп роста населения, рассчитываемый как разница между годовым коэффициентом рождаемости и годовым коэффициентом смертности . Время может измеряться в годах, как показано здесь для иллюстрации, или в любой другой подходящей единице.${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle r=\beta -\delta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle t}$

Макромасштабная модель на рисунке 1 объединяет параметры и включает ряд упрощающих приближений:

1. рождаемость и смертность постоянны;
2. все особи идентичны, без генетики или возрастной структуры;
3. значимы доли людей;
4. параметры постоянны и не меняются;
5. среда обитания идеально однородна;
6. не происходит иммиграции или эмиграции; а также
7. случайность не входит.

Все эти приближения макромасштабной модели могут быть уточнены в аналогичных микромасштабных моделях.

В первом приближении, указанном выше - что коэффициенты рождаемости и смертности постоянны - макромасштабная модель на Рисунке 1 в точности представляет собой среднее значение большого числа стохастических испытаний с темпами роста, случайным образом колеблющимися в каждый момент времени. ^[19] Стохастические детали на микромасштабах включаются в уравнение диффузии в частных производных, и это уравнение используется для установления эквивалентности.

Чтобы ослабить другие предположения, исследователи применили вычислительные методы. На рисунке 2 показан пример вычислительного алгоритма микромасштаба, который соответствует макромасштабной модели на рисунке 1. Когда все люди идентичны, а мутации в показателях рождаемости и смертности отключены, динамика микромасштаба почти параллельна динамике макромасштаба (рисунки 3A и 3B). Небольшие различия между двумя моделями возникают из-за стохастических вариаций микромасштабной версии, отсутствующей в детерминированной макромасштабной модели. Эти изменения будут отличаться каждый раз при выполнении алгоритма из-за преднамеренных изменений в последовательностях случайных чисел.

Когда не все люди идентичны, динамика микромасштаба может значительно отличаться от динамики макромасштаба, моделируя более реалистичные ситуации, чем можно смоделировать на макромасштабе (рисунки 3C и 3D). Микромасштабная модель не включает явным образом дифференциальное уравнение, хотя для больших групп населения оно точно моделирует его. Когда люди отличаются друг от друга, система имеет четко определенное поведение, но дифференциальные уравнения, управляющие этим поведением, трудно систематизировать. Алгоритм на рисунке 2 является основным примером того, что называется моделью без уравнений . ^[20]

Когда мутации включены в микромасштабной модели ( ), популяция растет быстрее, чем в макромасштабной модели (рисунки 3C и 3D). Мутации в параметрах позволяют одним людям иметь более высокий уровень рождаемости, а другим - более низкий уровень смертности, и эти люди вносят пропорционально больший вклад в популяцию. При прочих равных, средняя рождаемость смещается к более высоким значениям, а средняя смертность смещается к более низким значениям по мере продвижения моделирования. Этот дрейф отслеживается в структурах данных, называемых бета и дельта микромасштабного алгоритма на рисунке 2.${\displaystyle \sigma >0}$

Алгоритм на Рисунке 2 представляет собой упрощенную микромасштабную модель с использованием метода Эйлера . На практике также используются другие алгоритмы, такие как метод Гиллеспи ^[21] и метод дискретных событий ^[17] . Варианты алгоритма в практическом использовании включают такие меры повышения эффективности, как удаление людей из рассмотрения после их смерти (для уменьшения требований к памяти и увеличения скорости) и планирование случайных событий в будущем (для обеспечения непрерывной временной шкалы и дальнейшего повышения скорости). ^[17] Такие подходы могут быть на порядки быстрее.

Сложность [ править ]

Сложность систем, рассматриваемых с помощью микромасштабных моделей, приводит к сложности самих моделей, и спецификация микромасштабной модели может быть в десятки или сотни раз больше, чем соответствующая макромасштабная модель. (В упрощенном примере на рисунке 2 в спецификации в 25 раз больше строк, чем на рисунке 1.) Поскольку ошибки возникают в компьютерном программном обеспечении и не могут быть полностью устранены стандартными методами, такими как тестирование, ^[22] и поскольку сложные модели часто не являются ни опубликованы подробно и не рецензированы, их достоверность была поставлена ​​под сомнение. ^[23] Существуют руководящие принципы передовой практики для микромасштабных моделей ^[24], но ни в одной из работ по этой теме не говорится о полном решении проблемы валидации сложных моделей.

Будущее [ править ]

Вычислительные возможности достигают уровней, при которых население целых стран или даже всего мира находится в пределах досягаемости микромасштабных моделей, а улучшение данных переписи и поездок позволяет дальнейшее совершенствование параметризации таких моделей. Дистанционные датчики со спутников наблюдения Земли и наземных обсерваторий, таких как Национальная сеть экологических обсерваторий (NEON), предоставляют большие объемы данных для калибровки. Возможные применения варьируются от прогнозирования и снижения распространения болезней до помощи в понимании динамики Земли.

Фигуры [ править ]

Рисунок 1. Одна из простейших моделей макромасштаба: обыкновенное дифференциальное уравнение, описывающее непрерывный экспоненциальный рост . - размер популяции во времени , - это скорость изменения во времени в одном измерении . - начальная численность населения в , - коэффициент рождаемости в единицу времени, и${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle dN(t)/dt}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N(0)}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \delta }$- коэффициент смертности в единицу времени. Слева - дифференциальная форма; справа - явное решение в терминах стандартных математических функций, которое в данном случае следует из дифференциальной формы. Почти все макромасштабные модели более сложны, чем этот пример, в том, что они имеют несколько измерений, не имеют явных решений в терминах стандартных математических функций и должны быть поняты из их дифференциальных форм.

Рисунок 2. Базовый алгоритм, применяющий метод Эйлера к индивидуальной модели. См. Текст для обсуждения. Алгоритм, представленный в псевдокоде , начинается с вызова процедуры , которая использует структуры данных для выполнения моделирования в соответствии с пронумерованными шагами, описанными справа. Он неоднократно вызывает функцию , которая возвращает свой параметр, измененный случайным числом, взятым из равномерного распределения со стандартным отклонением, определяемым переменной . (Квадратный корень из 12 появляется потому , что стандартное отклонение из равномерного распределения включает в себя этот фактор.) Функция в алгоритме предполагается возвращать равномерно распределенное случайное число${\displaystyle \operatorname {Microscale} ()}$${\displaystyle \operatorname {Mutation} (v)}$${\displaystyle sigma}$${\displaystyle \operatorname {Rand} ()}$${\displaystyle 0\leq Rand()<1}$. Предполагается, что данные сбрасываются до исходных значений при каждом вызове .${\displaystyle \operatorname {Microscale} ()}$

Рисунок 3. Графическое сравнение динамики макромасштабного и микромасштабного моделирования рисунков 1 и 2, соответственно.

(A)  Черная кривая отображает точное решение макромасштабной модели на Рисунке 1 с годом, годом и людьми.${\displaystyle \beta =1/5}$${\displaystyle \delta =1/10}$${\displaystyle N_{0}=1000}$

(В)  Красные точки показывают динамику микромасштабной модели на фиг.2, показаны с интервалом в один год, используя те же самые значения , и , и без каких - либо мутаций .${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle (\sigma =0)}$

(C)  Синие точки показывают динамику микромасштабной модели с мутациями, имеющими стандартное отклонение .${\displaystyle \sigma =0.006}$

(D)  Зеленые точки показывают результаты с более крупными мутациями .${\displaystyle \sigma =0.010}$

Ссылки [ править ]