Рассеяние Ми

Рассеивание Ми, художественный вид

Резонансы Ми против радиуса

Моностатическое радиолокационное сечение (RCS) идеально проводящей металлической сферы как функция частоты (рассчитано по теории Ми). В пределе низкочастотного рэлеевского рассеяния , когда длина окружности меньше длины волны, нормализованная RCS составляет σ / (π R ² ) ~ 9 ( kR ) ⁴ . В высокочастотном оптическом пределе σ / (π R ² ) ~ 1.

Решение Ми для уравнений Максвелла (также известных как раствор Лоренца-Mie , в растворе Лоренц-Ми-дебаевском или Mie рассеяние ) описывает рассеяние электромагнитной плоской волны на однородную сферу . Решение принимает форму бесконечной серии из сферических многополюсных парциальных волн . Он назван в честь Густава Миэ .

Термин « решение Ми» также используется для решения уравнений Максвелла для рассеяния стратифицированными сферами или бесконечными цилиндрами или другими геометрическими формами, где можно написать отдельные уравнения для радиальной и угловой зависимости решений. Термин теория Ми иногда используется для обозначения этого набора решений и методов; это не относится к независимой физической теории или закону. В более широком смысле, «рассеяние Ми» предполагает ситуации, когда размер рассеивающих частиц сравним с длиной волны света, а не намного меньше или намного больше.

Рассеяние Ми (иногда упоминается как не-молекулярного рассеяния или аэрозольного рассеяния частиц ) происходит в нижней 4500 м (15000 футов) атмосферы, где многие по существу сферические частицы с диаметром , приблизительно равной длине волны падающего луча может быть настоящее время. Теория рассеяния Ми не имеет ограничения по верхнему размеру и сходится к пределу геометрической оптики для крупных частиц. ^[1]

Введение [ править ]

Угловая составляющая магнитных и электрических векторных сферических гармоник. Красные и зеленые стрелки показывают направление поля. Также представлены порождающие скалярные функции, показаны только первые три порядка (диполи, квадруполи, октуполи).

Современную формулировку решения Ми задачи рассеяния на сфере можно найти во многих книгах, например, в « Электромагнитной теории» Дж. А. Стрэттона . ^[2] В этой формулировке падающая плоская волна, а также рассеивающее поле, разлагаются на излучающие сферические векторные сферические гармоники . Внутреннее поле раскладывается до регулярных векторных сферических гармоник. Установив граничное условие на сферической поверхности, можно вычислить коэффициенты разложения рассеянного поля.

Для частиц, которые намного больше или намного меньше длины волны рассеянного света, существуют простые и точные приближения, которых достаточно для описания поведения системы. Но для объектов, размер которых находится в пределах нескольких порядков величины длины волны, например, капель воды в атмосфере, частиц латекса в краске, капель в эмульсиях, включая молоко, а также биологических клеток и клеточных компонентов, необходим более детальный подход. ^[3]

Решение Mie ^[4] названо в честь его разработчика, немецкого физика Густава Ми . Датский физик Людвиг Лоренц и другие независимо разработали теорию рассеяния электромагнитных плоских волн диэлектрической сферой.

Формализм позволяет рассчитывать электрические и магнитные поля внутри и снаружи сферического объекта и обычно используется для расчета либо того, сколько света рассеивается (полное оптическое сечение ), либо куда он направляется (форм-фактор). Примечательными особенностями этих результатов являются резонансы Ми, размеры которых рассеиваются особенно сильно или слабо. ^[5] Это контрастирует с рассеянием Рэлея для малых частиц и рассеянием Рэлея – Ганса – Дебая (после лорда Рэлея , Ричарда Ганса и Питера Дебая) для крупных частиц. Наличие резонансов и других особенностей рассеяния Ми делает его особенно полезным формализмом при использовании рассеянного света для измерения размера частиц.

Приближения [ править ]

Приближение Рэлея (рассеяние) [ править ]

Рэлеевское рассеяние описывает упругое рассеяние света сферами, которые намного меньше длины волны света. Интенсивность I рассеянного излучения определяется выражением

${\ displaystyle I = I_ {0} \ left ({\ frac {1+ \ cos ^ {2} \ theta} {2R ^ {2}}} \ right) \ left ({\ frac {2 \ pi} { \ lambda}} \ right) ^ {4} \ left ({\ frac {n ^ {2} -1} {n ^ {2} +2}} \ right) ^ {2} \ left ({\ frac { d} {2}} \ right) ^ {6},}$

где I ₀ - интенсивность света до взаимодействия с частицей, R - расстояние между частицей и наблюдателем, θ - угол рассеяния, λ - длина волны рассматриваемого света, n - показатель преломления частицы, и d - диаметр частицы.

Из приведенного выше уравнения видно, что рэлеевское рассеяние сильно зависит от размера частицы и длины волны. Интенсивность рэлеевского рассеянного излучения быстро увеличивается с увеличением отношения размера частиц к длине волны. Кроме того, интенсивность рэлеевского рассеянного излучения одинакова в прямом и обратном направлениях.

Модель рэлеевского рассеяния не работает, когда размер частиц становится больше, чем примерно 10% длины волны падающего излучения. В случае частиц с размерами больше этого, модель рассеяния Ми может быть использована для определения интенсивности рассеянного излучения. Интенсивность рассеянного излучения Ми определяется суммированием бесконечного ряда членов, а не простым математическим выражением. Однако можно показать, что рассеяние в этом диапазоне размеров частиц отличается от рэлеевского рассеяния в нескольких отношениях: оно примерно не зависит от длины волны и больше в прямом направлении, чем в обратном. Чем больше размер частиц, тем больше света рассеивается в прямом направлении.

Синий цвет неба является результатом рэлеевского рассеяния, поскольку размер частиц газа в атмосфере намного меньше длины волны видимого света. Рэлеевское рассеяние для синего света намного больше, чем для других цветов из-за его более короткой длины волны. Когда солнечный свет проходит через атмосферу, его синий компонент является рэлеевским, сильно рассеиваемым атмосферными газами, а компоненты с большей длиной волны (например, красный / желтый) - нет. Поэтому солнечный свет, приходящий прямо от Солнца, кажется слегка желтым, в то время как свет, рассеянный через остальную часть неба, кажется голубым. Во время восходов и закатов влияние рэлеевского рассеяния на спектр проходящего света намного больше из-за большего расстояния, которое световые лучи должны пройти через воздух с высокой плотностью у поверхности Земли.

Напротив, капли воды, из которых состоят облака, имеют размер, сравнимый с длинами волн видимого света, и рассеяние описывается моделью Ми, а не моделью Рэлея. Здесь все длины волн видимого света рассеиваются примерно одинаково, поэтому облака кажутся белыми или серыми.

Приближение Рэлея – Ганса [ править ]

Приближение Рэлея-Ганса является приближенным решением рассеяния света , когда относительный показатель преломления частицы близка к окружающей среде, а также его размер значительно меньше по сравнению с длиной волны света , деленной на | n  - 1 |, где n - показатель преломления : ^[3]

${\ Displaystyle | п-1 | \ ll 1}$

${\ displaystyle kd | n-1 | \ ll 1}$

где - волновой вектор света ( ), и относится к линейному размеру частицы. Первое условие часто называют «оптически мягким», и приближение выполняется для частиц произвольной формы. ^[3]${\ textstyle k}$${\ textstyle к = {\ гидроразрыва {2 \ pi} {\ lambda}}}$${\ displaystyle d}$

Аппроксимация аномальной дифракции Ван де Хюльста [ править ]

Аномальная дифракция приближение справедливо для больших ( по сравнению с длиной волны) и оптический мягких сферами; мягкий в контексте оптики означает, что показатель преломления частицы (m) лишь незначительно отличается от показателя преломления окружающей среды, и частица подвергает волну лишь небольшому фазовому сдвигу. Эффективность экстинкции в этом приближении определяется выражением

${\ displaystyle Q = 2 - {\ frac {4} {p}} \ sin p + {\ frac {4} {p ^ {2}}} (1- \ cos p),}$

где Q - коэффициент эффективности рассеяния, который определяется как отношение поперечного сечения рассеяния к геометрическому сечению π a ² .

Термин р = 4πa ( п - 1) / λ имеет в качестве его физического смысла задержки фазы волны , проходящей через центр сферы, где является радиусом сферы, п представляет собой отношение показателей преломления внутри и снаружи сфера, а λ - длина волны света.

Эта система уравнений была впервые описана ван де Хюльстом в (1957). ^[5]

Математика [ править ]

Рассеяние на сферической наночастице решается точно независимо от размера частицы. Мы рассматриваем рассеяние на плоской волне, распространяющейся вдоль оси z, поляризованной вдоль оси x . Диэлектрические и магнитные проницаемости частиц являются и , а также и для окружающей среды.${\ displaystyle \ varepsilon _ {1}}$${\ displaystyle \ mu _ {1}}$${\ Displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle \ mu}$

Для решения задачи рассеяния ^[3] мы сначала выпишем решения векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах, так как поля внутри и снаружи частиц должны ему удовлетворять. Уравнение Гельмгольца:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^{2}\mathbf {H} =0}$

в дополнение к уравнению Гельмгольца, поля должны удовлетворять условиям и , . Векторные сферические гармоники обладают всеми необходимыми свойствами, которые вводятся следующим образом:${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H} }$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$ - магнитные гармоники (ТЕ)

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$ - электрические гармоники (ТМ)

где

${\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}}$

${\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}}$

и  - ассоциированные полиномы Лежандра , и  - любые сферические функции Бесселя .${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Затем разложим падающую плоскую волну по векторным сферическим гармоникам:

${\displaystyle \mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

здесь верхний индекс означает, что в радиальной части функций находятся сферические функции Бесселя. Коэффициенты разложения получаются путем взятия интегралов вида${\displaystyle (1)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

${\displaystyle {\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }|\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}}$

в этом случае все коэффициенты при равны нулю, так как интеграл по углу в числителе равен нулю.${\displaystyle m\neq 1}$${\displaystyle \varphi }$

Тогда накладываются следующие условия:

1) Интерфейсные условия на границе между сферой и окружающей средой (которые позволяют связать коэффициенты разложения падающего, внутреннего и рассеянного полей)

2) Условие ограниченности решения в нуле (следовательно, в радиальной части производящих функций для внутреннего поля выбираются сферические функции Бесселя),${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

3) Для рассеянного поля асимптотика на бесконечности соответствует расходящейся сферической волне (в связи с этим для рассеянного поля в радиальной части производящих функций выбраны сферические функции Ганкеля первого рода).${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$

Рассеянные поля записываются в векторном гармоническом разложении как

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)}$

здесь верхний индекс означает, что в радиальной части функций  находятся сферические функции Ганкеля, и ,${\displaystyle (3)}$${\displaystyle \psi _{^{e}_{o}mn}}$${\displaystyle E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)}}}$

Внутренние поля:

${\displaystyle \mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)}$

${\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}n}$волновой вектор вне частицы  волнового вектора в среде из материала частиц, и показатели преломления среды и частиц,${\displaystyle k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n_{1}}$

После применения интерфейсных условий получаем выражения для коэффициентов:

${\displaystyle c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}}$

${\displaystyle d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}}$

${\displaystyle a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

где

${\displaystyle \rho =ka}$

${\displaystyle \rho _{1}=k_{1}a}$с радиусом сферы.${\displaystyle a}$

${\displaystyle j_{n}}$и  представляют собой сферические функции Бесселя и Ганкеля первого рода соответственно.${\displaystyle h_{n}}$

Сечения рассеяния и экстинкции [ править ]

Значения, обычно рассчитываемые с использованием теории Ми, включают коэффициенты эффективности для экстинкции , рассеяния и поглощения . ^{[6] [7]} Эти коэффициенты эффективности представляют собой отношения поперечного сечения соответствующего процесса к площади, защищенной частицами, где a - радиус частицы. Согласно определению вымирания,${\displaystyle Q_{e}}$ ${\displaystyle Q_{s}}$ ${\displaystyle Q_{a}}$${\displaystyle \sigma _{i}}$${\displaystyle Q_{i}={\frac {\sigma _{i}}{\pi a^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{e}=\sigma _{s}+\sigma _{a}}$и .${\displaystyle Q_{e}=Q_{s}+Q_{a}}$

Коэффициенты рассеяния и экстинкции можно представить в виде бесконечного ряда:

${\displaystyle Q_{s}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^{2}+|b_{n}|^{2})}$

${\displaystyle Q_{e}={\frac {2}{k^{2}a^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+b_{n})}$

Применение к субволновым частицам [ править ]

Если размер частицы в материале равен нескольким длинам волн, то рассеянные поля имеют некоторые особенности. Далее мы поговорим о форме электрического поля, поскольку магнитное поле получается из него, взяв ротор.

Все коэффициенты Ми зависят от частоты и имеют максимумы, когда знаменатель близок к нулю (точное равенство нулю достигается для комплексных частот). В этом случае возможно, что в рассеянии преобладает вклад одной конкретной гармоники. Тогда на больших расстояниях от частицы диаграмма направленности рассеянного поля будет аналогична соответствующей диаграмме направленности угловой части векторных сферических гармоник. Гармоники соответствуют электрическим диполям (если вклад этой гармоники доминирует в разложении электрического поля, то поле аналогично полю электрического диполя), соответствуют электрическому полю магнитного диполя, а - электрическому и магнитному квадруполям , и${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2}}$${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3}}$${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3}}$- октуполи и так далее. Максимумы коэффициентов рассеяния (а также изменение их фазы на ) называются мультипольными резонансами.${\displaystyle \pi }$

Зависимость сечения рассеяния от длины волны и вклад конкретных резонансов сильно зависят от материала частицы. Например, для частицы золота радиусом 100 нм вклад электрического диполя в рассеяние преобладает в оптическом диапазоне, а для частицы кремния имеются ярко выраженные магнитный дипольный и квадрупольный резонансы. Для металлических частиц пик, видимый в поперечном сечении рассеяния, также называется локализованным плазмонным резонансом .

В пределе малых частиц или длинных волн в сечении рассеяния преобладает электрический дипольный вклад.

Другие направления падающей плоской волны [ править ]

В случае x- поляризованной плоской волны, падающей вдоль оси z , разложения всех полей содержали только гармоники с m = 1 , но для произвольной падающей волны это не так. ^[8] Для повернутой плоской волны коэффициенты разложения можно получить, например, используя тот факт, что во время вращения векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга D-матрицами Вигнера .

В этом случае рассеянное поле будет разложено на все возможные гармоники:

${\displaystyle \mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf {M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r} ))}$

Тогда сечение рассеяния выразим через коэффициенты следующим образом: ^[9]

${\displaystyle C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{(2n+1)}}\times {\Bigl [}\sum \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2|D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr ]}.}$

Эффект Керкера [ править ]

Эффект Керкера - это явление направленности рассеяния, которое возникает, когда представлены разные мультипольные отклики, которыми нельзя пренебречь.

В 1983 г. в работе Керкера, Ванга и Джайлза ^{[10] было} исследовано направление рассеяния на частицах с . В частности, было показано, что для гипотетических частиц обратное рассеяние полностью подавлено. Это можно рассматривать как расширение сферической поверхности результатов Джайлза и Уайлда для отражения от плоской поверхности с равными показателями преломления, где отражение и пропускание постоянны и не зависят от угла падения. ^[11]${\displaystyle \mu \neq 1}$${\displaystyle \mu =\varepsilon }$

Кроме того, сечения рассеяния в прямом и обратном направлениях просто выражаются через коэффициенты Ми: ^{[12] [13]}

${\displaystyle C_{sca}^{backward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\bigg |}^{2}}$

${\displaystyle C_{sca}^{forward}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{(2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\bigg |}^{2}}$

Для определенных комбинаций коэффициентов приведенные выше выражения могут быть минимизированы.

Так, например, когда членами можно пренебречь ( дипольное приближение ), соответствует минимуму обратного рассеяния (магнитный и электрический диполи равны по величине и находятся в фазе, это также называется `` первый керкер '' или `` ноль назад ''. условие интенсивности » ^[14] ). И  соответствует минимуму в прямом рассеянии, это также называется «вторым условием Керкера» (или «условием прямой почти нулевой интенсивности»). Для точного решения задачи необходимо учитывать вклады всех мультиполей. Сумма электрических и магнитных диполей образует источник Гюйгенса ^[15]${\displaystyle n>1}$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})=0}$${\displaystyle (a_{1}+b_{1})=0}$

Для диэлектрических частиц максимальное рассеяние вперед наблюдается на длинах волн, превышающих длину волны магнитного дипольного резонанса, а максимальное рассеяние назад - на более коротких. . ^[16]

Позже были обнаружены и другие разновидности эффекта. Например, поперечный эффект Керкера с почти полным одновременным подавлением как прямого, так и обратного рассеянных полей (картины бокового рассеяния), ^[17] оптомеханический эффект Керкера ^[18] при акустическом рассеянии ^[19], а также обнаруженный у растений. ^[20]

Существует также короткое видео на YouTube с объяснением эффекта.

Функция сферы диадического Грина [ править ]

Функция Грина является решением следующего уравнения:

${\displaystyle \nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')+{\bf {\hat {1}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),}$

где  - единичная матрица для и для . Поскольку все поля векторные, функция Грина представляет собой матрицу 3 на 3 и называется диадической. Если в системе наведена поляризация , когда поля записываются как ${\displaystyle {\hat {\bf {1}}}}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )}$${\displaystyle r<a}$${\displaystyle \varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon }$${\displaystyle r>a}$${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G}}}({\bf {r,r'}},k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')}$

Так же, как и поля, функцию Грина можно разложить на векторные сферические гармоники. ^[21] Диадическая функция Грина свободного пространства а: ^[22]

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r}} \otimes \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text{if }}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text{if }}r>r'\end{array}}\right.}$

При наличии шара функция Грина также разлагается на векторные сферические гармоники. Его внешний вид зависит от среды, в которой расположены точки и . ^[23]${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle \mathbf {r} '}$

Когда обе точки находятся вне сферы ( ):${\displaystyle r>a,r'>a}$

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}}$

где коэффициенты:

${\displaystyle a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.}$

Когда обе точки находятся внутри сферы ( ):${\displaystyle r<a,r'<a}$

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\hat {\bf {G}}}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1}})+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )},}$

Коэффициенты:

${\displaystyle c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},}$

${\displaystyle d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.}$

Источник находится внутри сферы, а точка наблюдения - снаружи ( ):${\displaystyle r>a,r'<a}$

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\frac {ik_{1}}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )}}$

коэффициенты:

${\displaystyle a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},}$

${\displaystyle b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.}$

Источник находится за пределами сферы, а точка наблюдения внутри ( ):${\displaystyle r<a,r'>a}$

${\displaystyle {\hat {\bf {G}}}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1}})={\frac {ik}{4\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(n-m)!}{(n+m)!}}\cdot }$

${\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_{n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )}}$

коэффициенты:

${\displaystyle c_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},}$

${\displaystyle d_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.}$

Вычислительные коды [ править ]

Решения Mie реализованы в ряде программ, написанных на разных компьютерных языках, таких как Fortran , MATLAB и Mathematica.. Эти решения решают для бесконечного ряда и предоставляют в качестве выходных данных расчет фазовой функции рассеяния, эффективности ослабления, рассеяния и поглощения, а также других параметров, таких как параметры асимметрии или крутящий момент излучения. Текущее использование термина «решение Ми» указывает на приближение ряда к решению уравнений Максвелла. Есть несколько известных объектов, которые допускают такое решение: сферы, концентрические сферы, бесконечные цилиндры, группы сфер и группы цилиндров. Известны также серийные решения для рассеяния на эллипсоидальных частицах. Список кодов, реализующих эти специализированные решения, приведен ниже:

• Коды электромагнитного рассеяния сферами - решения для одиночной сферы, сфер с покрытием, многослойной сферы и кластера сфер;
• Коды для электромагнитного рассеяния цилиндрами - решения для одного цилиндра, многослойных цилиндров и кластера цилиндров.

Обобщением, которое позволяет рассматривать частицы более общей формы, является метод T-матрицы , который также опирается на приближение ряда к решениям уравнений Максвелла.

Смотрите также внешние ссылки для других кодов и калькуляторов.

Приложения [ править ]

Теория Ми очень важна в метеорологической оптике , где отношение диаметра к длине волны порядка единицы и более характерно для многих задач, касающихся дымки и рассеяния облаков . Еще одно приложение - определение характеристик частиц с помощью измерений оптического рассеяния. Решение Mie также важно для понимания внешнего вида обычных материалов, таких как молоко , биологические ткани и латексная краска.

Наука об атмосфере [ править ]

Рассеяние Ми происходит, когда диаметр атмосферных частиц равен или больше длины волны рассеянного света. Пыль , пыльца , дым и микроскопические капли воды , образующие облака, являются частыми причинами рассеяния Ми. Рассеяние Ми происходит в основном в нижних частях атмосферы, где более крупные частицы более многочисленны, и преобладает в облачных условиях.

Обнаружение и обследование рака [ править ]

Теория Ми использовалась для определения того, соответствует ли рассеянный свет от ткани ядрам здоровых или злокачественных клеток, используя низкокогерентную интерферометрию с угловым разрешением .

Клинический лабораторный анализ [ править ]

Теория Ми является центральным принципом в применении нефелометрических анализов, широко используемых в медицине для измерения различных белков плазмы . Широкий спектр белков плазмы можно обнаружить и количественно оценить с помощью нефелометрии.

Магнитные частицы [ править ]

Для магнитных сфер возникает ряд необычных эффектов электромагнитного рассеяния. Когда относительная диэлектрическая проницаемость равна проницаемости , коэффициент обратного рассеяния равен нулю. Кроме того, рассеянное излучение поляризовано в том же смысле, что и падающее излучение. В пределе малых частиц (или длинных волн) могут возникать условия для нулевого прямого рассеяния, для полной поляризации рассеянного излучения в других направлениях и для асимметрии прямого рассеяния по отношению к обратному рассеянию. Особый случай предела малых частиц дает интересные частные случаи полной поляризации и асимметрии прямого и обратного рассеяния. ^[24]

Метаматериал [ править ]

Теория Ми использовалась для создания метаматериалов . Обычно они состоят из трехмерных композитов металлических или неметаллических включений, периодически или случайным образом внедряемых в матрицу с низкой диэлектрической проницаемостью. В такой схеме отрицательные определяющие параметры предназначены для появления вокруг резонансов Ми включений: отрицательная эффективная диэлектрическая проницаемость рассчитывается вокруг резонанса коэффициента электрического дипольного рассеяния Ми, тогда как отрицательная эффективная проницаемость создается вокруг резонанса Ми коэффициент магнитного дипольного рассеяния и дважды отрицательный материал (DNG) разработан с учетом перекрытия резонансов коэффициентов электрического и магнитного дипольного рассеяния Ми. Частицы обычно имеют следующие комбинации:

1. один набор магнитодиэлектрических частиц со значениями относительной диэлектрической проницаемости и проницаемости много больше единицы и близкими друг к другу;
2. две разные диэлектрические частицы с одинаковой диэлектрической проницаемостью, но разным размером;
3. две разные диэлектрические частицы с одинаковым размером, но разной диэлектрической проницаемостью.

Теоретически частицы, анализируемые теорией Ми, обычно имеют сферическую форму, но на практике частицы обычно изготавливаются в виде кубов или цилиндров для простоты изготовления. Чтобы соответствовать критериям гомогенизации, которые можно сформулировать в виде того, что постоянная решетки намного меньше рабочей длины волны, относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрических частиц должна быть намного больше 1, например, для достижения отрицательной эффективной диэлектрической проницаемости (проницаемости). ^{[25] [26] [27]}${\displaystyle \varepsilon _{\text{r}}>78(38)}$

Размер частиц [ править ]

Теория Ми часто применяется в лазерном дифракционном анализе для изучения эффекта размера частиц. ^[28] В то время как ранние компьютеры 1970-х годов могли вычислять дифракционные данные только с помощью более простого приближения Фраунгофера, Mie широко используется с 1990-х годов и официально рекомендован для частиц размером менее 50 микрометров в стандарте ISO 13321: 2009. ^[29]

Теория Ми использовалась для определения концентрации нефти в загрязненной воде. ^{[30] [31]}

Рассеяние Ми является основным методом определения размеров одиночных сонолюминесцирующих пузырьков воздуха в воде ^{[32] [33] [34]} и действительно для полостей в материалах, а также частиц в материалах, пока окружающий материал практически не поглощает .

Паразитология [ править ]

Он также использовался для изучения структуры Plasmodium falciparum , особенно патогенной формы малярии . ^[35]

Расширения [ править ]

В 1986 г. П.А. Бобберт и Дж. Флигер расширили модель Ми для расчета рассеяния сферой в однородной среде, помещенной на плоскую поверхность. Как и модель Ми, расширенная модель может применяться к сферам с радиусом, близким к длине волны падающего света. ^[36] Существует код C ++, реализующий модель Бобберта – Флигера (BV). ^[37] Последние разработки связаны с рассеянием на эллипсоиде. ^{[38] [39] [40]} Современные исследования опираются на известные исследования Рэлея. ^[41]

См. Также [ править ]

• Вычислительная электромагнетизм
• Рассеяние света частицами
• Список кодов переноса атмосферного излучения
• Коды для электромагнитного рассеяния сферами
• Оптические свойства воды и льда

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Керкер, М. (1969). Рассеяние света и другого электромагнитного излучения . Нью-Йорк: Академ.
• Парикмахерская, PW; Хилл, СС (1990). Рассеяние света частицами: вычислительные методы . Сингапур: World Scientific. ISBN 978-9971-5-0813-5.
• Мищенко, М .; Travis, L .; Лацис, А. (2002). Рассеяние, поглощение и излучение света малыми частицами . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78252-4.
• Frisvad, J .; Christensen, N .; Дженсен, Х. (2007). «Расчет рассеивающих свойств участвующих сред с использованием теории Лоренца-Ми» (PDF) . Транзакции ACM на графике . 26 (3): 60. DOI : 10,1145 / 1276377,1276452 .
• Wriedt, Томас (2008). «Теория Ми 1908 г., на мобильном телефоне 2008 г.». Журнал количественной спектроскопии и переноса излучения . 109 (8): 1543–1548. Bibcode : 2008JQSRT.109.1543W . DOI : 10.1016 / j.jqsrt.2008.01.009 .
• Лоренц, Людвиг (1890). "Lysbevægelsen i og uden для en af ​​самолета Lysbølger belyst Kugle". Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskabs Skrifter . 6 (6): 1–62.

Внешние ссылки [ править ]

• JMIE (2D- код C ++ для расчета аналитических полей вокруг бесконечного цилиндра, разработанный Джеффри М. МакМахоном)
• SCATTERLIB: Сборник кодов рассеяния света
• www.T-Matrix.de . Реализации решений Mie на FORTRAN , C ++ , IDL , Pascal , Mathematica и Mathcad
• ScatLab . Программа Mie Scattering для Windows.
• Scattnlay , пакет решения C ++ Mie с открытым исходным кодом и оболочкой Python . Предоставляет результаты моделирования как в дальнем, так и в ближнем поле для многослойных сфер.
• СТРАТИФИКАЦИЯ кода MatLab рассеяния на многослойных сферах в случаях, когда источником являются точечный диполь и плоская волна. Описание в arXiv: 2006.06512
• Онлайн-калькулятор рассеяния Ми предоставляет результаты моделирования для объемных сфер, сфер ядро-оболочка и многослойных сфер. Параметры материала можно задать по ссылкам на файлы nk-data с сайта refractiveindex.info . Исходный код является частью проекта Scattnlay, свободно доступного на GitHub.
• Доступен онлайн-калькулятор решения Mie с документацией на немецком и английском языках.
• Онлайн-калькулятор рассеяния Ми позволяет строить красивые графики по ряду параметров.
• phpMie Онлайн калькулятор рассеяния Ми, написанный на PHP .
• Mie резонанс опосредованной рассеивание света и случайной генерации.
• Решение Ми для сферических частиц .
• PyMieScatt , пакет решений Mie, написанный на Python .
• pyMieForAll , пакет решения C ++ Mie с открытым исходным кодом и оболочкой Python .