Векторные сферические гармоники

В математике , векторные сферические гармоники ( VSH ) являются продолжением скалярных сферических гармоник для использования с векторными полей . Компоненты VSH являются комплексными функциями, выраженными в базисных векторах сферических координат .

Определение [ править ]

Для определения VSH использовалось несколько соглашений. ^{[1] [2] [3] [4] [5]} Мы следуем примеру Барреры и др. . Для скалярной сферической гармоники Y _lm ( θ , φ ) определим три VSH:

• ${\ displaystyle \ mathbf {Y} _ {lm} = Y_ {lm} {\ hat {\ mathbf {r}}},}$
• ${\ displaystyle \ mathbf {\ Psi} _ {lm} = r \ nabla Y_ {lm},}$
• ${\ Displaystyle \ mathbf {\ Phi} _ {lm} = \ mathbf {r} \ times \ nabla Y_ {lm},}$

с будучи единичный вектор вдоль радиального направления в сферических координатах и вектора в радиальном направлении с той же нормой, что и радиус, то есть . Радиальные коэффициенты включены, чтобы гарантировать, что размеры VSH такие же, как и у обычных сферических гармоник, и что VSH не зависит от радиальной сферической координаты.${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ displaystyle \ mathbf {r} = r {\ hat {\ mathbf {r}}}}$

Интерес этих новых векторных полей состоит в том, чтобы отделить радиальную зависимость от угловой при использовании сферических координат, так что векторное поле допускает мультипольное разложение

${\displaystyle \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(E_{lm}^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+E_{lm}^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}+E_{lm}^{(2)}(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right).}$

Метки на компонентах отражают радиальную составляющую векторного поля, а и - поперечные компоненты (по отношению к радиус-вектору ).${\displaystyle E_{lm}^{r}}$${\displaystyle E_{lm}^{(1)}}$${\displaystyle E_{lm}^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {r} }$

Основные свойства [ править ]

Симметрия [ править ]

Как и скалярные сферические гармоники, VSH удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{l,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {Y} _{lm}^{*},\\\mathbf {\Psi } _{l,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Psi } _{lm}^{*},\\\mathbf {\Phi } _{l,-m}&=(-1)^{m}\mathbf {\Phi } _{lm}^{*},\end{aligned}}}$

что сокращает количество независимых функций примерно вдвое. Звездочка указывает на комплексное сопряжение .

Ортогональность [ править ]

VSH ортогональны обычным трехмерным образом в каждой точке :${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{lm}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {\Psi } _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{lm}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$

Они также ортогональны в гильбертовом пространстве:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {Y} _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=\delta _{ll'}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {\Phi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=l(l+1)\delta _{ll'}\delta _{mm'},\\\int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {Y} _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=0,\\\int \mathbf {\Psi } _{lm}\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}^{*}\,d\Omega &=0.\end{aligned}}}$

Дополнительный результат в одной точке (не сообщается в Barrera et al, 1985) для всех ,${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle l,m,l',m'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Psi } _{l'm'}(\mathbf {r} )&=0,\\\mathbf {Y} _{lm}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {\Phi } _{l'm'}(\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$

Векторные мультипольные моменты [ править ]

Соотношения ортогональности позволяют вычислить сферические мультипольные моменты векторного поля как

${\displaystyle {\begin{aligned}E_{lm}^{r}&=\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {Y} _{lm}^{*}\,d\Omega ,\\E_{lm}^{(1)}&={\frac {1}{l(l+1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Psi } _{lm}^{*}\,d\Omega ,\\E_{lm}^{(2)}&={\frac {1}{l(l+1)}}\int \mathbf {E} \cdot \mathbf {\Phi } _{lm}^{*}\,d\Omega .\end{aligned}}}$

Градиент скалярного поля [ править ]

Учитывая мультипольное разложение скалярного поля

${\displaystyle \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\phi _{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ),}$

мы можем выразить его градиент через VSH как

${\displaystyle \nabla \phi =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {d\phi _{lm}}{dr}}\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {\phi _{lm}}{r}}\mathbf {\Psi } _{lm}\right).}$

Дивергенция [ править ]

Для любого мультипольного поля имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {2}{r}}f\right)Y_{lm},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)&=-{\frac {l(l+1)}{r}}fY_{lm},\\\nabla \cdot \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)&=0.\end{aligned}}}$

Путем суперпозиции получаем дивергенцию любого векторного поля:

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left({\frac {dE_{lm}^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}E_{lm}^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)Y_{lm}.}$

Мы видим, что компонента на Φ _lm всегда соленоидальна .

Curl [ править ]

Для любого мультипольного поля имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \left(f(r)\mathbf {Y} _{lm}\right)&=-{\frac {1}{r}}f\mathbf {\Phi } _{lm},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Psi } _{lm}\right)&=\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Phi } _{lm},\\\nabla \times \left(f(r)\mathbf {\Phi } _{lm}\right)&=-{\frac {l(l+1)}{r}}f\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {df}{dr}}+{\frac {1}{r}}f\right)\mathbf {\Psi } _{lm}.\end{aligned}}}$

Путем суперпозиции получаем ротор любого векторного поля:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}\left(-{\frac {l(l+1)}{r}}E_{lm}^{(2)}\mathbf {Y} _{lm}-\left({\frac {dE_{lm}^{(2)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{lm}^{(2)}\right)\mathbf {\Psi } _{lm}+\left(-{\frac {1}{r}}E_{lm}^{r}+{\frac {dE_{lm}^{(1)}}{dr}}+{\frac {1}{r}}E_{lm}^{(1)}\right)\mathbf {\Phi } _{lm}\right).}$

Лапласиан [ править ]

Действие оператора Лапласа разделяется следующим образом:${\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }$

${\displaystyle \Delta \left(f(r)\mathbf {Z} _{lm}\right)=\left({\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)\mathbf {Z} _{lm}+f(r)\Delta \mathbf {Z} _{lm},}$

где и${\displaystyle \mathbf {Z} _{lm}=\mathbf {Y} _{lm},\mathbf {\Psi } _{lm},\mathbf {\Phi } _{lm}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \mathbf {Y} _{lm}&=-{\frac {1}{r^{2}}}(2+l(l+1))\mathbf {Y} _{lm}+{\frac {2}{r^{2}}}\mathbf {\Psi } _{lm},\\\Delta \mathbf {\Psi } _{lm}&={\frac {2}{r^{2}}}l(l+1)\mathbf {Y} _{lm}-{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\mathbf {\Psi } _{lm},\\\Delta \mathbf {\Phi } _{lm}&=-{\frac {1}{r^{2}}}l(l+1)\mathbf {\Phi } _{lm}.\end{aligned}}}$

Также обратите внимание, что это действие становится симметричным , т. Е. Недиагональные коэффициенты равны для правильно нормализованного VSH.${\displaystyle {\frac {2}{r^{2}}}{\sqrt {l(l+1)}}}$

Примеры [ править ]

Первые векторные сферические гармоники [ править ]

• ${\displaystyle l=0}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{00}&={\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {\Psi } _{00}&=\mathbf {0} ,\\\mathbf {\Phi } _{00}&=\mathbf {0} .\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle l=1}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{10}&={\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\sin \theta \,{\hat {\mathbf {r} }},\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{11}&=-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{10}&=-{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{11}&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}e^{i\varphi }\left(i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle l=2}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Y} _{20}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1)\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }},\\\mathbf {Y} _{22}&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\,{\hat {\mathbf {r} }}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Psi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }},\\\mathbf {\Psi } _{21}&=-{\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Psi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}+i\,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Phi } _{20}&=-{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\sin \theta \,\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }},\\\mathbf {\Phi } _{21}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,e^{i\varphi }\,\left(i\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}-\cos 2\theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right),\\\mathbf {\Phi } _{22}&={\sqrt {\frac {15}{8\pi }}}\,\sin \theta \,e^{2i\varphi }\,\left(-i\,{\hat {\mathbf {\theta } }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {\varphi } }}\right).\end{aligned}}}$

Выражения для отрицательных значений m получаются с применением соотношений симметрии.

Приложения [ править ]

Электродинамика [ править ]

VSH особенно полезны при изучении полей мультипольного излучения . Например, магнитный мультиполь возникает из-за колебательного тока с угловой частотой и комплексной амплитудой.${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\hat {\mathbf {J} }}=J(r)\mathbf {\Phi } _{lm},}$

и соответствующие электрическое и магнитное поля, можно записать как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {E} }}&=E(r)\mathbf {\Phi } _{lm},\\{\hat {\mathbf {B} }}&=B^{r}(r)\mathbf {Y} _{lm}+B^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{lm}.\end{aligned}}}$

Подставляя в уравнения Максвелла, автоматически выполняется закон Гаусса

${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {E} }}=0,}$

в то время как закон Фарадея разделяется как

${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {E} }}=-i\omega {\hat {\mathbf {B} }}\quad \Rightarrow \quad \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {l(l+1)}{r}}E=i\omega B^{r},\\\displaystyle {\frac {dE}{dr}}+{\frac {E}{r}}=i\omega B^{(1)}.\end{array}}\right.}$

Из закона Гаусса для магнитного поля следует

${\displaystyle \nabla \cdot {\hat {\mathbf {B} }}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {dB^{r}}{dr}}+{\frac {2}{r}}B^{r}-{\frac {l(l+1)}{r}}B^{(1)}=0,}$

а уравнение Ампера-Максвелла дает

${\displaystyle \nabla \times {\hat {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\hat {\mathbf {J} }}+i\mu _{0}\varepsilon _{0}\omega {\hat {\mathbf {E} }}\quad \Rightarrow \quad -{\frac {B^{r}}{r}}+{\frac {dB^{(1)}}{dr}}+{\frac {B^{(1)}}{r}}=\mu _{0}J+i\omega \mu _{0}\varepsilon _{0}E.}$

Таким образом, дифференциальные уравнения в частных производных были преобразованы в систему обыкновенных дифференциальных уравнений.

Альтернативное определение [ править ]

Во многих приложениях векторные сферические гармоники определяются как фундаментальный набор решений векторного уравнения Гельмгольца в сферических координатах. ^{[6] [7]}

В этом случае векторные сферические гармоники порождаются скалярными функциями, которые являются решениями скалярного уравнения Гельмгольца с волновым вектором . ${\displaystyle {\bf {k}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{l}{\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{array}}}$

здесь - ассоциированные полиномы Лежандра , и - любая из сферических функций Бесселя .${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )}$${\displaystyle z_{n}({k}r)}$

Векторные сферические гармоники определяются как:

${\displaystyle \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla } \psi _{^{e}_{o}mn}}$ - продольные гармоники

${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)}$ - магнитные гармоники

${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}}{k}}}$ - электрические гармоники

Здесь мы используем действительную угловую часть гармоник, где , но комплексные функции могут быть введены таким же образом.${\displaystyle m\geq 0}$

Введем обозначения . В компонентной форме векторные сферические гармоники записываются как:${\displaystyle \rho =kr}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )}}\sin(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )}}\cos(m\varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {N} _{emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin(m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$

Радиальная часть магнитных гармоник отсутствует. Для электрических гармоник радиальная часть убывает быстрее, чем угловая, а для больших можно пренебречь. Мы также можем видеть, что для электрических и магнитных гармоник угловые части одинаковы до перестановки полярных и азимутальных единичных векторов, поэтому для больших электрических и магнитных гармоник векторы равны по величине и перпендикулярны друг другу.${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$

Длинные гармоники:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{^{e}_{o}{mn}}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\partial }{\partial r}}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+\\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\partial }{\partial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{aligned}}}$

Ортогональность [ править ]

Решения векторного уравнения Гельмгольца подчиняются следующим соотношениям ортогональности: ^[7]

${\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}$

${\displaystyle {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}+n\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}$

${\displaystyle {\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\mathbf {L} _{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1)^{2}}}{\frac {(n+m)!}{(n-m)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}}$

Все остальные интегралы по углам между разными функциями или функциями с разными индексами равны нулю.

Вращение и инверсия [ править ]

При вращении векторные сферические гармоники преобразуются друг через друга так же, как соответствующие скалярные сферические функции , которые генерируются для определенного типа векторных гармоник. Например, если производящие функции являются обычными сферическими гармониками , то векторные гармоники также будут преобразованы с помощью D-матриц Вигнера ^{[8] [9] [10]}

${\displaystyle {\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{(s)}(\theta ,\varphi ),}$

Поведение при вращении одинаково для электрических, магнитных и продольных гармоник.

При инверсии электрические и продольные сферические гармоники ведут себя так же, как скалярные сферические функции, т. Е.

${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J}\mathbf {N} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$

а магнитные имеют противоположную четность:

${\displaystyle {\hat {I}}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M} _{JM}(\theta ,\varphi ),}$

Гидродинамика [ править ]

При вычислении закона Стокса для сопротивления, которое вязкая жидкость оказывает на небольшую сферическую частицу, распределение скоростей подчиняется уравнениям Навье-Стокса без учета инерции, т. Е.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0,\\\mathbf {0} &=-\nabla p+\eta \nabla ^{2}\mathbf {v} ,\end{aligned}}}$

с граничными условиями

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {0} \quad (r=a),\\\mathbf {v} &=-\mathbf {U} _{0}\quad (r\to \infty ).\end{aligned}}}$

где U - относительная скорость частицы относительно жидкости вдали от частицы. В сферических координатах эту скорость на бесконечности можно записать как

${\displaystyle \mathbf {U} _{0}=U_{0}\left(\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {\theta } }}\right)=U_{0}\left(\mathbf {Y} _{10}+\mathbf {\Psi } _{10}\right).}$

Последнее выражение предполагает разложение по сферическим гармоникам для скорости жидкости и давления

${\displaystyle {\begin{aligned}p&=p(r)Y_{10},\\\mathbf {v} &=v^{r}(r)\mathbf {Y} _{10}+v^{(1)}(r)\mathbf {\Psi } _{10}.\end{aligned}}}$

Подстановка в уравнения Навье – Стокса дает набор обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов.

Интегральные отношения [ править ]

Здесь используются следующие определения:

${\displaystyle {\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right)}$

${\displaystyle \mathbf {Z} _{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)=i{\frac {\mathbf {k} }{k}}\times \mathbf {X} _{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)}$

В случае, когда вместо - сферические функции Бесселя , с помощью разложения плоских волн можно получить следующие интегральные соотношения: ^[11]${\displaystyle z_{n}}$

${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k}}$

В случае, когда являются сферическими функциями Хенкеля, следует использовать разные формулы. ^{[12] [11]} Для векторных сферических гармоник получены следующие соотношения:${\displaystyle z_{n}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}$

${\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint _{-\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right)}}{k_{z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]}$

где индекс означает, что используются сферические функции Хенкеля.${\displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}}}}$${\displaystyle (3)}$

См. Также [ править ]

• Сферические гармоники
• Спинорные сферические гармоники
• Спин-взвешенные сферические гармоники
• Электромагнитное излучение
• Сферическая основа