Теория моделей
В математической логике теория моделей — это изучение отношений между формальными теориями (набор предложений на формальном языке, выражающих утверждения о математической структуре ) и их моделями (теми структурами, в которых выполняются утверждения теории). [1] Исследуемые аспекты включают количество и размер моделей теории, отношение различных моделей друг к другу и их взаимодействие с самим формальным языком. В частности, теоретики моделей также исследуют множества, которые можно определитьв модели теории и отношения таких определимых множеств друг к другу. Как отдельная дисциплина теория моделей восходит к Альфреду Тарскому , который впервые использовал термин «теория моделей» в публикации в 1954 году. [2] С 1970-х годов предмет был решительно сформирован теорией стабильности Сахарона Шелаха .
По сравнению с другими областями математической логики, такими как теория доказательств , теория моделей часто менее связана с формальной строгостью и ближе по духу к классической математике. Это вызвало комментарий, что «если теория доказательств касается священного, то модельная теория касается профанного» . [3] Приложения теории моделей к алгебраической и диофантовой геометрии отражают эту близость к классической математике, поскольку они часто включают интеграцию алгебраических и теоретико-модельных результатов и методов.
Наиболее известная научная организация в области теории моделей — Ассоциация символической логики .
Относительный акцент, сделанный на классе моделей теории, в отличие от класса поддающихся определению множеств внутри модели, колебался в истории предмета, и эти два направления резюмируются содержательными характеристиками 1973 и 1997 годов соответственно:
Тем не менее, взаимодействие классов моделей и определяемых в них множеств имело решающее значение для развития теории моделей на протяжении всей ее истории. Например, хотя первоначально устойчивость была введена для классификации теорий по количеству моделей в заданной мощности , теория устойчивости оказалась решающей для понимания геометрии определимых множеств.
Формула первого порядка строится из атомарных формул , таких как R ( f ( x , y ), z ) или y = x + 1 с помощью логических связок и префикса кванторов или . Предложение — это формула, в которой каждое вхождение переменной находится в области действия соответствующего квантификатора. Примерами формул являются φ (или φ(x), чтобы отметить тот факт, что не более x является несвязанной переменной в φ) и ψ, определяемые следующим образом:
