Модель с несколькими отсеками

Модель с несколькими отделениями представляет собой тип математической модели используется для описания способа материалов или энергия передается между отделениями системы. Каждый отсек считается однородным объектом, внутри которого моделируемые объекты эквивалентны. Например, в фармакокинетической модели отсеки могут представлять разные участки тела, в которых предполагается, что концентрация лекарства одинакова.

Следовательно, модель с несколькими отсеками - это модель с сосредоточенными параметрами .

Multi-купе модель используется во многих областях , включая фармакокинетику , эпидемиологию , биомедицины , теории систем , теорию сложности , инженерию, физику, информатику и социальные науки. Системы цепей также можно рассматривать как многокамерную модель.

В теории систем это включает описание сети, компоненты которой являются отсеками, которые представляют совокупность элементов, эквивалентных по способу обработки входных сигналов в отсек.

• Мгновенное однородное распределение материалов или энергии в «отсеке».
• Скорость обмена материалов или энергии между отсеками связана с плотностью этих отсеков.
• Обычно желательно, чтобы материалы не подвергались химическим реакциям при передаче между отсеками.
• Когда концентрация клетки представляет интерес, обычно предполагается, что объем остается постоянным во времени, хотя в действительности это может быть не совсем так.

Чаще всего математика многокомпонентных моделей упрощается, чтобы предоставить только один параметр - например, концентрацию - в пределах одного отсека.

Однокамерная модель [ править ]

Возможно, самое простое применение модели с несколькими отсеками - это мониторинг концентрации отдельных клеток (см. Рисунок выше). Если объем ячейки V , то масса из растворенного вещества является д , вход у ( т ) и секрецию раствора пропорциональна плотности его в клетке, то концентрация раствора C в клетке со временем дается

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} q} {\ mathrm {d} t}} = u (t) -kq}$

${\ displaystyle C = {\ frac {q} {V}}}$

где k - пропорциональность.

Модель с несколькими отсеками [ править ]

По мере увеличения количества отсеков модель может быть очень сложной, а решения обычно выходят за рамки обычного расчета.

Формулы для многокамерных n -ячеечных моделей становятся:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q}}_{1}=q_{1}k_{11}+q_{2}k_{12}+\cdots +q_{n}k_{1n}+u_{1}(t)\\{\dot {q}}_{2}=q_{1}k_{21}+q_{2}k_{22}+\cdots +q_{n}k_{2n}+u_{2}(t)\\\vdots \\{\dot {q}}_{n}=q_{1}k_{n1}+q_{2}k_{n2}+\cdots +q_{n}k_{nn}+u_{n}(t)\end{aligned}}}$

Где

${\displaystyle 0=\sum _{i=1}^{n}{k_{ij}}}$для (поскольку общее «содержимое» всех отсеков в закрытой системе постоянно)${\displaystyle j=1,2,\dots ,n}$

Или в матричных формах:

${\displaystyle \mathbf {\dot {q}} =\mathbf {Kq} +\mathbf {u} }$

Где

${\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\\\end{bmatrix}}\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{bmatrix}}\mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\\vdots \\u_{n}(t)\end{bmatrix}}}$и (поскольку общее «содержимое» всех отсеков в закрытой системе постоянно)${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

В частном случае замкнутой системы (см. Ниже), т.е. когда существует общее решение.${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}e^{\lambda _{1}t}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Где , ... и являются собственными из ; , ... и являются соответствующими собственными векторами из ; и , .... и постоянные.${\displaystyle \lambda _{1}}$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle \mathbf {v_{1}} }$${\displaystyle \mathbf {v_{2}} }$${\displaystyle \mathbf {v_{n}} }$${\displaystyle \mathbf {K} }$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle c_{2}}$${\displaystyle c_{n}}$

Однако можно показать, что с учетом приведенного выше требования гарантировать постоянство ` ` содержимого '' замкнутой системы, тогда для каждой пары собственного значения и собственного вектора тогда либо или, а также что одно собственное значение равно 0, скажем${\displaystyle \lambda =0}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v} =0}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

Так

${\displaystyle \mathbf {q} =c_{1}\mathbf {v_{1}} +c_{2}e^{\lambda _{2}t}\mathbf {v_{2}} +\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\mathbf {v_{n}} }$

Где

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {v_{i}} =0}$ за ${\displaystyle \mathbf {i} =2,3,\dots n}$

Это решение можно переставить:

${\displaystyle \mathbf {q} ={\Bigg [}\mathbf {v_{1}} {\begin{bmatrix}c_{1}&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\mathbf {v_{2}} {\begin{bmatrix}0&c_{2}&\cdots &0\\\end{bmatrix}}+\dots +\mathbf {v_{n}} {\begin{bmatrix}0&0&\cdots &c_{n}\\\end{bmatrix}}{\Bigg ]}{\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Это несколько неэлегантное уравнение демонстрирует, что все решения многокомпонентной n-клеточной модели с постоянными входами или без них имеют вид:

${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {A} {\begin{bmatrix}1\\e^{\lambda _{2}t}\\\vdots \\e^{\lambda _{n}t}\\\end{bmatrix}}}$

Где это пхп матрица и , , ... и константы. Где${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \lambda _{2}}$${\displaystyle \lambda _{3}}$${\displaystyle \lambda _{n}}$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&\cdots &1\\\end{bmatrix}}\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&0&\cdots &0\\\end{bmatrix}}}$

Топологии моделей [ править ]

Вообще говоря, по мере увеличения количества отсеков становится сложно найти как алгебраические, так и численные решения модели. Однако есть частные случаи моделей, которые редко существуют в природе, когда топологии демонстрируют определенные закономерности, решения которых становится легче найти. Модель можно классифицировать по взаимосвязи ячеек и входным / выходным характеристикам:

1. Закрытая модель : без раковин и источников, горит. все k _oi = 0 и u _i = 0;
2. Открытая модель : среди ячеек есть стоки и / или источники.
3. Модель цепной передачи : все отсеки организованы в цепочку, при этом каждый пул соединяется только со своими соседями. Эта модель имеет две и более ячеек.
4. Циклическая модель : это частный случай модели цепной связи с тремя или более ячейками, в которой первая и последняя ячейки связаны, то есть k _{1 n} 0 или / и k _{n 1} ≠ 0.
5. Маммиллярная модель : состоит из центрального отделения с подключенными к нему периферийными отделениями. Между другими отсеками нет никаких взаимосвязей.
6. Сводимая модель : это набор несвязанных моделей. Это очень похоже на компьютерную концепцию леса в отличие от деревьев .

См. Также [ править ]

• Математическая модель
• Биомедицинская инженерия
• Биологические модели нейронов
• Компартментные модели в эпидемиологии
• Фармакокинетическое моделирование на физиологической основе

Ссылки [ править ]

• Годфри К., Компартментные модели и их применение , Academic Press, 1983 ( ISBN  0-12-286970-2 ).
• Андерсон, Д.Х., Компартментное моделирование и трассирующая кинетика , Лекционные заметки Springer-Verlag по биоматематике № 50, 1983 ( ISBN 0-387-12303-2 ). 
• Жакес, Дж. А., Компартментный анализ в биологии и медицине , 2-е изд., Издательство Мичиганского университета, 1985.
• Эванс, В.К., Линейные системы, компартментное моделирование и вопросы оценки в исследованиях качества воздуха в помещении , Тиченор, Б., Характеризация источников загрязнения воздуха в помещении и связанных с ним эффектов раковины , ASTM STP 1287, стр. 239–262, 1996 ( ISBN 0-8031) -2030-3 ).