В теории сетей , многомерных сетей , особый тип многослойной сети , являются сети с несколькими видами отношений. [1] [2] [3] [4] [5] [6] Все более изощренные попытки смоделировать реальные системы как многомерные сети дали ценную информацию в области анализа социальных сетей , [2] [3] [7 ] [8] [9] [10] экономика, городской и международный транспорт , [11] [12] [13] экология , [14] [15] [16] [17] »психология, [18] [19] медицина, биология, [20] коммерция, климатология, физика, [21] [22] вычислительная нейробиология , [23] [24] [25] [26] управление операциями , инфраструктура [27] и финансы.
Терминология
Быстрое исследование сложных сетей в последние годы сдерживалось отсутствием стандартизированных соглашений об именах, поскольку различные группы используют перекрывающуюся и противоречивую [28] [29] терминологию для описания конкретных сетевых конфигураций (например, мультиплексных, многоуровневых, многоуровневых, многомерных, многосвязные, взаимосвязанные). Формально многомерные сети представляют собой размеченные ребрами мультиграфы . [30] Термин «полностью многомерный» также использовался для обозначения многосоставного мультиграфа с метками ребер. [31] Многомерные сети также недавно были переосмыслены как конкретные примеры многослойных сетей. [4] [5] [32] В этом случае существует столько же слоев, сколько и измерений, а связи между узлами внутри каждого слоя - это просто все связи для данного измерения.
Определение
Невзвешенные многослойные сети
В элементарной теории сетей сеть представлена графом в котором это набор узлов иэти ссылки между узлами, как правило , представлены в виде набора узлов. Хотя эта базовая формализация полезна для анализа многих систем, сети реального мира часто добавляют сложности в виде нескольких типов отношений между элементами системы. Ранняя формализация этой идеи пришла благодаря ее применению в области анализа социальных сетей (см., Например, [33] и статьи о реляционных алгебрах в социальных сетях), в которых множественные формы социальных связей между людьми были представлены множественными типами связей. . [34]
Чтобы учесть наличие более одного типа связи, многомерная сеть представлена тройным , где представляет собой набор измерений (или слоев), каждый член которого представляет собой отдельный тип ссылки, и состоит из троек с участием а также . [5]
Обратите внимание, что, как и во всех ориентированных графах , ссылки а также различны.
По соглашению, количество связей между двумя узлами в данном измерении равно 0 или 1 в многомерной сети. Однако общее количество связей между двумя узлами по всем измерениям меньше или равно.
Взвешенные многослойные сети
В случае взвешенной сети этот триплет расширяется до четверки., где вес на связи между а также в измерении .
Кроме того, как это часто бывает при анализе социальных сетей, веса ссылок могут принимать положительные или отрицательные значения. Такие подписанные сети могут лучше отражать такие отношения, как дружба и вражду в социальных сетях. [31] В качестве альтернативы, знаки ссылки могут быть изображены как размеры, [35] например где а также Этот подход имеет особое значение при рассмотрении невзвешенных сетей.
Эта концепция размерности может быть расширена, если атрибуты в нескольких измерениях нуждаются в спецификации. В этом случае ссылки представляют собой n -элементы. Такая расширенная формулировка, в которой связи могут существовать в нескольких измерениях, необычна, но использовалась при исследовании многомерных сетей, изменяющихся во времени . [36]
Общая формулировка в терминах тензоров
В то время как одномерные сети имеют двумерные матрицы смежности размера, в многомерной сети с размеров, матрица смежности становится многослойным тензором смежности, четырехмерной матрицей размера . [2] Используя индексную нотацию , матрицы смежности могут быть обозначены, для кодирования соединений между узлами а также , а многослойные тензоры смежности обозначены , чтобы закодировать соединения между узлами в слое и узел в слое . Как и в случае с одномерными матрицами, эта структура легко адаптирует направленные ссылки, ссылки со знаком и веса.
В случае мультиплексных сетей , которые представляют собой особые типы многослойных сетей, в которых узлы не могут быть взаимосвязаны с другими узлами на других уровнях, трехмерная матрица размера с записями достаточно, чтобы представить структуру системы [7] [37] путем кодирования соединений между узлами а также в слое .
Определения многомерной сети
Многослойные соседи
В многомерной сети соседи некоторого узла все узлы подключены к по размеру.
Длина многослойного пути
Путь между двумя узлами в многомерной сети может быть представлен в виде вектора г в котором -я запись в r - это количество ссылок, пройденных вое измерение . [38] Как и в случае степени перекрытия, сумма этих элементов может быть принята как грубая мера длины пути между двумя узлами.
Сеть слоев
Существование множества слоев (или размеров) позволяет ввести новую концепцию сети слоев , [2] специфические многослойные сетей. Фактически, уровни могут быть связаны между собой таким образом, что их структура может быть описана сетью, как показано на рисунке.
Сеть слоев обычно имеет весовые коэффициенты (и может быть направлена), хотя, как правило, весовые коэффициенты зависят от интересующего приложения. Простой подход - для каждой пары слоев суммировать все веса в соединениях между их узлами, чтобы получить веса ребер, которые можно закодировать в матрицу. Тензор смежности ранга 2, представляющий нижележащую сеть слоев в пространстве дан кем-то
где - каноническая матрица, все компоненты которой равны нулю, за исключением записи, соответствующей строке и столбец , что равно единице. Используя тензорную запись, можно получить (взвешенную) сеть слоев из многослойного тензора смежности как. [2]
Меры центральности
Степень
В несвязанной многомерной сети, где отсутствуют межуровневые связи, степень узла представлена вектором длины. Здесь альтернативный способ обозначения количества слоев в многослойных сетях. Однако для некоторых вычислений может быть более полезным просто суммировать количество ссылок, смежных с узлом, по всем измерениям. [2] [39] Это степень перекрытия : [3] . Как и в случае с одномерными сетями, можно аналогичным образом различать входящие и исходящие ссылки. Если присутствуют межслойные связи, приведенное выше определение должно быть адаптировано для их учета, а степень многослойности определяется выражением
где тензоры а также все компоненты равны 1. Неоднородность количества соединений узла на разных уровнях может быть учтена с помощью коэффициента участия. [3]
Универсальность как многослойная центральность
При распространении на взаимосвязанные многослойные сети, т. Е. Системы, в которых узлы связаны между собой по уровням, концепция центральности лучше понимается с точки зрения универсальности. [9] Узлы, которые не являются центральными на каждом уровне, могут быть наиболее важными для многоуровневых систем в определенных сценариях. Например, это тот случай, когда два уровня кодируют разные сети только с одним общим узлом: очень вероятно, что такой узел будет иметь наивысший балл центральности, потому что он отвечает за поток информации между уровнями.
Универсальность собственных векторов
Что касается одномерных сетей, универсальность собственных векторов может быть определена как решение проблемы собственных значений, заданной формулой , где для простоты использовано соглашение Эйнштейна о суммировании . Здесь,дает многослойное обобщение центральности собственного вектора Бонацича на узел на слой. Общая универсальность собственных векторов просто получается суммированием оценок по слоям как. [2] [9]
Кац универсальность
Что касается его одномерного аналога , универсальность Каца получается как решение тензорного уравнения , где , - константа, меньшая наибольшего собственного значения и - еще одна константа, обычно равная 1. Общая универсальность Каца просто получается путем суммирования оценок по уровням как . [9]
HITS универсальность
Для одномерных сетей алгоритм HITS был первоначально введен Джоном Клейнбергом для оценки веб-страниц. Основное предположение алгоритма состоит в том, что соответствующие страницы, названные властями, указываются специальными веб-страницами, названными концентраторами. Этот механизм можно математически описать двумя связанными уравнениями, которые сводятся к двум задачам на собственные значения. Когда сеть неориентирована, авторитетность и центральность концентратора эквивалентны центральности по собственному вектору. Эти свойства сохраняются естественным распространением уравнений, предложенных Клейнбергом, на случай взаимосвязанных многослойных сетей, заданных формулой а также , где указывает оператор транспонирования, а также указывают на центральность центра и центра власти, соответственно. Заключая контракт тензоров ступицы и авторитета, можно получить общую универсальность как а также , соответственно. [9]
Универсальность PageRank
PageRank , более известный как алгоритм поиска Google, является еще одной мерой центральности в сложных сетях, первоначально введенных для ранжирования веб-страниц. Его распространение на случай взаимосвязанных многослойных сетей можно получить следующим образом.
Во-первых, стоит отметить, что PageRank можно рассматривать как стационарное решение специального марковского процесса на вершине сети. Случайные блуждающие люди исследуют сеть в соответствии со специальной матрицей переходов, а их динамика регулируется основным уравнением случайного блуждания . Легко показать, что решение этого уравнения эквивалентно старшему собственному вектору матрицы перехода.
Случайные блуждания были определены также в случае взаимосвязанных многослойных сетей [13] и мультиграфов с разноцветными краями (также известных как мультиплексные сети). [40] Для взаимосвязанных многослойных сетей тензор переходов, управляющий динамикой случайных блуждающих внутри и между слоями, определяется выражением, где - константа, обычно равная 0,85, количество узлов и количество слоев или размеров. Здесь,можно назвать тензором Google и - тензор ранга 4, все компоненты которого равны 1.
Как и его одномерный аналог, универсальность PageRank состоит из двух составляющих: один кодирует классическое случайное блуждание со скоростью и одно кодирование телепортации между узлами и слоями со скоростью .
Если мы укажем eigentensor тензора Google, обозначающая установившуюся вероятность найти пешехода в узле и слой , многослойный PageRank получается суммированием по слоям собственного тензора: [9]
Коэффициенты триадного замыкания и кластеризации
Как и во многих других сетевых статистических данных, значение коэффициента кластеризации становится неоднозначным в многомерных сетях из-за того, что тройки могут быть замкнуты в других измерениях, чем они возникли. [3] [41] [42] Было предпринято несколько попыток определить локальные коэффициенты кластеризации, но эти попытки подчеркнули тот факт, что концепция должна быть принципиально иной в более высоких измерениях: некоторые группы основывали свою работу на нестандартных определениях , [42], в то время как другие экспериментировали с различными определениями случайных блужданий и 3-циклов в многомерных сетях. [3] [41]
Открытие сообщества
Хотя кросс-размерные структуры изучались ранее, [43] [44] они не смогли обнаружить более тонкие ассоциации, обнаруженные в некоторых сетях. Несколько иной подход к определению «сообщества» в случае многомерных сетей позволяет надежно идентифицировать сообщества без требования, чтобы узлы находились в прямом контакте друг с другом. [2] [7] [8] [45] Например, два человека, которые никогда не общаются напрямую, но по-прежнему просматривают многие из одних и тех же веб-сайтов, будут жизнеспособными кандидатами для такого рода алгоритмов.
Максимизация модульности
Обобщение хорошо известного метода максимизации модульности для исследования сообщества было первоначально предложено Мухой и др. [7] Этот метод множественного разрешения предполагает трехмерное тензорное представление сетевого соединения внутри слоев, как для мультиграфов с краями, и трехмерное тензорное представление сетевого соединения между слоями. Зависит от параметра разрешения и вес межслоевых соединений. В более компактных обозначениях, использующих тензорные обозначения, модульность можно записать как, где , - многослойный тензор смежности, - тензор, кодирующий нулевую модель, и значение компонентов определяется как 1, когда узел в слое принадлежит к определенному сообществу, помеченному индексом и 0, когда это не так. [2]
Тензорная декомпозиция
Неотрицательная матричная факторизация была предложена для извлечения структуры активности сообщества временных сетей. [46] Многослойная сеть представлена трехмерным тензором, как мультиграф с разноцветными краями, где порядок слоев кодирует стрелку времени. Таким образом, тензорная факторизация с помощью разложения Крускала применяется к чтобы назначить каждый узел сообществу во времени.
Статистические выводы
Были предложены методы, основанные на статистическом выводе, обобщающие существующие подходы, представленные для одномерных сетей. Стохастическая блочная модель - это наиболее часто используемая генеративная модель, соответствующим образом обобщенная на случай многослойных сетей. [47] [48]
Что касается одномерных сетей, принципиальные методы, такие как минимальная длина описания, могут использоваться для выбора модели в методах обнаружения сообщества на основе информационного потока. [8]
Структурная сводимость
Учитывая более высокую сложность многослойных сетей по сравнению с одномерными сетями, активная область исследований посвящена упрощению структуры таких систем с помощью некоторого уменьшения размерности. [20] [49]
Популярный метод основан на вычислении квантового расхождения Дженсена-Шеннона между всеми парами слоев, которое затем используется для его метрических свойств для построения матрицы расстояний и иерархической кластеризации слоев. Слои последовательно агрегируются в соответствии с результирующим иерархическим деревом, и процедура агрегации останавливается, когда целевая функция , основанная на энтропии сети , достигает глобального максимума. Этот жадный подход необходим, потому что основная проблема потребовала бы проверки всех возможных групп слоев любого размера, что потребовало бы огромного количества возможных комбинаций (которое задается числом Белла и масштабируется сверхэкспоненциально с количеством единиц). Тем не менее, для многослойных систем с небольшим количеством слоев было показано, что метод работает оптимально в большинстве случаев. [20]
Другие дескрипторы многоуровневой сети
Степенные корреляции
Вопрос о степени корреляции в одномерных сетях довольно прост: имеют ли сети одинаковой степени тенденцию к соединению друг с другом? В многомерных сетях значение этого вопроса становится менее ясным. Когда мы говорим о степени узла, мы имеем в виду его степень в одном измерении или свернутое по всем параметрам? Когда мы пытаемся проверить связь между узлами, сравниваем ли мы одни и те же узлы в измерениях, разные узлы в измерениях или их комбинацию? [5] Каковы последствия вариаций каждой из этих статистических данных для других свойств сети? В одном исследовании было обнаружено, что ассортативность снижает надежность дуплексной сети. [50]
Доминирование пути
Учитывая два многомерных пути, r и s , мы говорим, что r доминирует над s тогда и только тогда, когда: а также такой, что . [38]
Обнаружение кратчайшего пути
Помимо другой сетевой статистики, многие меры центральности полагаются на способность оценивать кратчайшие пути от узла к узлу. Расширение этого анализа до многомерной сети требует включения дополнительных соединений между узлами в алгоритмы, используемые в настоящее время (например, алгоритм Дейкстры ). Текущие подходы включают в себя свертывание многоканальных соединений между узлами на этапе предварительной обработки перед выполнением вариаций поиска в сети в ширину . [28]
Многомерное расстояние
Один из способов оценить расстояние между двумя узлами в многомерной сети - это сравнить все многомерные пути между ними и выбрать подмножество, которое мы определяем как доминирование кратчайшего пути: let быть набором всех путей между а также . Тогда расстояние между а также это набор путей такой, что такой, что доминирует . Таким образом, длина элементов в наборе кратчайших путей между двумя узлами определяется как многомерное расстояние . [38]
Актуальность измерения
В многомерной сети , релевантность данного параметра (или набора параметров) для одного узла можно оценить соотношением: . [39]
Связь измерений
В многомерной сети, в которой разные измерения соединения имеют разные реальные значения, представляет интерес статистика, характеризующая распределение ссылок на различные классы. Таким образом, полезно рассмотреть два показателя, которые оценивают это: возможность подключения измерения и возможность подключения измерения исключительно на границе. Первое - это просто отношение общего количества ссылок в данном измерении к общему количеству ссылок в каждом измерении:. Последний оценивает для данного измерения количество пар узлов, соединенных только ссылкой в этом измерении:. [39]
Обнаружение пакетов
Пакетность - это хорошо известное явление во многих реальных сетях, например, в электронной почте или других сетях человеческого общения. Дополнительные аспекты коммуникации обеспечивают более точное представление реальности и могут подчеркивать эти закономерности или уменьшать их. Поэтому крайне важно, чтобы наши методы обнаружения скачкообразного поведения в сетях учитывали многомерные сети. [51]
Процессы диффузии в многослойных сетях
Процессы диффузии широко используются в физике для исследования физических систем, а также в других дисциплинах, таких как социальные науки, нейробиология, городские и международные перевозки или финансы. В последнее время простые и более сложные диффузионные процессы были обобщены на многослойные сети. [22] [52] Одним из общих результатов многих исследований является то, что диффузия в мультиплексных сетях, особом типе многослойной системы, демонстрирует два режима: 1) вес межуровневых каналов, соединяющих слои друг с другом, недостаточно высок и мультиплексная система ведет себя как две (или более) несвязанные сети; 2) вес межуровневых связей достаточно высок, чтобы уровни были связаны друг с другом, вызывая неожиданные физические явления. [22] Было показано, что между этими двумя режимами существует резкий переход. [53]
Фактически, все сетевые дескрипторы, зависящие от некоторого диффузного процесса, от мер центральности до обнаружения сообщества, подвержены влиянию межуровневой связи. Например, в случае обнаружения сообщества низкая связь (где информация от каждого уровня в отдельности более актуальна, чем общая структура) способствует кластерам внутри слоев, тогда как высокая степень связи (когда информация со всех уровней одновременно более актуальна, чем каждый уровень в отдельности). ) способствует межслойным кластерам. [7] [8]
Процесс диффузионной реакции в многослойной системе изучался Lazaridis et al. [54] Установлено, что для процессагде A и B изначально находятся в разных слоях, затем они рассеиваются случайным образом, а когда встречаются, оба исчезают. Было обнаружено, что в этой модели из-за реакции возникает своего рода отталкивание между A и B, которое задерживает их смешивание и, следовательно, их реакцию.
Случайные прогулки
Что касается одномерных сетей, можно определять случайные блуждания поверх многослойных систем. Однако, учитывая лежащую в основе многослойную структуру, случайные пешеходы не ограничены перемещаться от одного узла к другому в пределах одного и того же уровня ( прыжок ), но им также разрешено перемещаться между слоями ( переключение ). [13]
Случайные блуждания может быть использовано для изучения многослойной системы с конечной целью , чтобы разгадать его мезомасштабные организации , т.е. разделить его в общинах , [7] [8] и были недавно использованы для лучшего понимания мореходного многослойных сетей и их устойчивости к случайному отказов, [13], а также для эффективного изучения этого типа топологий. [55]
В случае взаимосвязанных многослойных систем вероятность перехода от узла в слое к узлу в слое можно закодировать в тензор переходов ранга 4 а блуждание в дискретном времени можно описать основным уравнением
где указывает вероятность нахождения пешехода в узле в слое вовремя . [2] [13]
Есть много разных типов прогулок, которые можно закодировать в тензор переходов. в зависимости от того, как ходячим разрешено прыгать и переключаться. Например, ходунок может либо прыгнуть, либо переключиться за один временной шаг, не различая межуровневые и внутриуровневые связи ( классическое случайное блуждание ), или он может выбрать либо остаться в текущем слое и прыгнуть, либо переключить слой и затем перейти к другому узлу на том же временном шаге ( физическое случайное блуждание ). Более сложные правила, соответствующие конкретным задачам, которые необходимо решить, можно найти в литературе. [22] В некоторых случаях можно аналитически найти стационарное решение основного уравнения. [13] [55]
Классическая диффузия
Проблема классической диффузии в сложных сетях состоит в том, чтобы понять, как величина будет течь через систему и сколько времени потребуется для достижения стационарного состояния. Классическая диффузия в мультиплексной сети была недавно изучена путем введения концепции супра-матрицы смежности , [56] позже признан в качестве специального уплощения многослойного тензора смежности. [2] В тензорной записи уравнение диффузии поверх общей многослойной системы можно кратко записать как
где количество рассеиваемого количества за время в узле в слое . Тензор ранга 4, управляющий уравнением, является тензором Лапласа, обобщающим комбинаторную матрицу Лапласа одномерных сетей. Стоит отметить, что в нетензорной записи уравнение принимает более сложный вид.
Многие свойства этого процесса диффузии полностью понятны в терминах второго наименьшего собственного значения тензора Лапласа. Интересно, что диффузия в мультиплексной системе может быть быстрее, чем диффузия в каждом слое отдельно или в их совокупности, при условии соблюдения определенных спектральных свойств. [56]
Информация и распространение эпидемий
В последнее время вопрос о том, как информация (или болезни) распространяется через многослойную систему, стал предметом интенсивных исследований. [57] [58] [59]
Проникновение многослойных взаимозависимых сетей
Булдырев и др. [27] разработали структуру для изучения перколяции в многослойных сетях с зависимыми связями между уровнями. Обнаружены новые физические явления, в том числе резкие переходы и каскадные отказы. [60] [61] Когда сети встроены в пространство, они становятся чрезвычайно уязвимыми даже для очень небольшой части зависимых связей [62] и для локализованных атак на нулевую часть узлов. [63] [64] Когда вводится восстановление узлов, обнаруживается богатая фазовая диаграмма, которая включает многокритические точки, гистерезис и метастабильные режимы. [65] [66]
Взаимозависимость с сообществами
Многослойные взаимозависимые сети (см. Рисунок) изучались также при наличии сообществ внутри различных сетей. [67] Для пространственных сообществ в многомерных взаимозависимых сетях см. Vaknin et al. [68]
Динамическая взаимозависимость в многослойных сетях
Подход динамической зависимости, представляющий взаимозависимость динамических систем, таких как синхронизация и распространение, был разработан на основе многоуровневых сетей. [69] Исследование обнаружило такие явления, как связанные коллективные явления, включая мультистабильность, гистерезис, области сосуществования и макроскопический хаос.
Программное обеспечение
- muxViz , бесплатная и эффективная среда для анализа и визуализации многослойных сетей, основанная на R [1] [70]
- Библиотека многослойных сетей для Python (Pymnet) от Микко Кивеля
- MAMMULT показатели и модель для сетей многослойных (набор коды C / Python) [3] [6]
- Код GenLouvain MATLAB для обнаружения сообщества на основе максимизации мультисрезовой модульности [7]
- Библиотека Multinet R и C ++ для анализа многослойных сетей.
Рекомендации
- ^ Coscia, Микеле; Россетти, Джулио; Пеннаккиоли, Диего; Чеккарелли, Дамиано; Джаннотти, Фоска (2013). «Вы знаете, потому что я знаю»: многомерный сетевой подход к проблеме человеческих ресурсов . Достижения в области анализа и майнинга социальных сетей (ASONAM) . 2013 . п. 434. arXiv : 1305.7146 . DOI : 10.1145 / 2492517.2492537 . ISBN 9781450322409. S2CID 1810575 .
- ^ Б с д е е г ч я J K Де Доменико, М .; Solé-Ribalta, A .; Cozzo, E .; Кивеля, М .; Moreno, Y .; Портер, М .; Gómez, S .; Аренас, А. (2013). «Математическое моделирование многослойных сетей» (PDF) . Physical Review X . 3 (4): 041022. arXiv : 1307.4977 . Bibcode : 2013PhRvX ... 3d1022D . DOI : 10.1103 / PhysRevX.3.041022 . S2CID 16611157 . Архивировано из оригинального (PDF) 25 февраля 2014 года . Проверено 13 февраля 2016 .
- ^ Б с д е е г Battiston, F .; Никосия, В .; Латора, В. (2014). «Конструктивные меры для мультиплексных сетей». Physical Review E . 89 (3): 032804. arXiv : 1308.3182 . Bibcode : 2014PhRvE..89c2804B . DOI : 10.1103 / PhysRevE.89.032804 . PMID 24730896 . S2CID 13931603 .
- ^ а б Кивела, М .; Arenas, A .; Barthelemy, M .; Gleeson, JP; Moreno, Y .; Портер, Массачусетс (2014). «Многослойные сети». Журнал сложных сетей . 2 (3): 203–271. arXiv : 1309,7233 . DOI : 10,1093 / КОМНЕТ / cnu016 . S2CID 11390956 .
- ^ а б в г Boccaletti, S .; Бьянкони, Г .; Criado, R .; дель Генио, CI; Gómez-Gardeñes, J .; Романс, М .; Сендинья-Надаль, I .; Wang, Z .; Занин, М. (2014). «Структура и динамика многослойных сетей» . Отчеты по физике . 544 (1): 1–122. arXiv : 1407.0742 . Bibcode : 2014PhR ... 544 .... 1B . DOI : 10.1016 / j.physrep.2014.07.001 . PMC 7332224 . PMID 32834429 .
- ^ а б Баттистон, Федерико; Никосия, Винченцо; Латора, Вито (01.02.2017). «Новые вызовы мультиплексных сетей: меры и модели». Специальные темы Европейского физического журнала . 226 (3): 401–416. arXiv : 1606.09221 . Bibcode : 2017EPJST.226..401B . DOI : 10.1140 / epjst / e2016-60274-8 . ISSN 1951-6355 . S2CID 7205907 .
- ^ Б с д е е г Mucha, P .; и другие. (2010). «Структура сообщества в зависимых от времени, многомасштабных и мультиплексных сетях» (PDF) . Наука . 328 (5980): 876–878. arXiv : 0911.1824 . Bibcode : 2010Sci ... 328..876M . CiteSeerX 10.1.1.749.3504 . DOI : 10.1126 / science.1184819 . PMID 20466926 . S2CID 10920772 .
- ^ а б в г д Де Доменико, М .; Lancichinetti, A .; Arenas, A .; Росвалл, М. (2015). «Идентификация модульных потоков в многоуровневых сетях выявляет сильно перекрывающуюся организацию во взаимосвязанных системах». Physical Review X . 5 (1): 011027. arXiv : 1408.2925 . Bibcode : 2015PhRvX ... 5a1027D . DOI : 10.1103 / PhysRevX.5.011027 . S2CID 6364922 .
- ^ а б в г д е Де Доменико, М .; Sole-Ribalta, A .; Omodei, E .; Gomez, S .; Аренас, А. (2015). «Ранжирование во взаимосвязанных многослойных сетях показывает универсальные узлы» . Nature Communications . 6 : 6868. Bibcode : 2015NatCo ... 6.6868D . DOI : 10.1038 / ncomms7868 . PMID 25904405 .
- ^ Баттистон, Федерико; Яковаччи, Якопо; Никосия, Винченцо; Бьянкони, Джинестра ; Латора, Вито (27 января 2016 г.). «Возникновение мультиплексных сообществ в сетях сотрудничества» . PLOS ONE . 11 (1): e0147451. arXiv : 1506.01280 . Bibcode : 2016PLoSO..1147451B . DOI : 10.1371 / journal.pone.0147451 . ISSN 1932-6203 . PMC 4731389 . PMID 26815700 .
- ^ Cardillo, A .; и другие. (2013). «Возникновение сетевых возможностей из мультиплексности» . Научные отчеты . 3 : 1344. arXiv : 1212.2153 . Bibcode : 2013NatSR ... 3E1344C . DOI : 10.1038 / srep01344 . PMC 3583169 . PMID 23446838 .
- ^ Gallotti, R .; Бартелеми, М. (2014). «Анатомия и эффективность городской мультимодальной мобильности» . Научные отчеты . 4 : 6911. arXiv : 1411.1274 . Bibcode : 2014NatSR ... 4E6911G . DOI : 10.1038 / srep06911 . PMC 4220282 . PMID 25371238 .
- ^ а б в г д е Де Доменико, М .; Sole-Ribalta, A .; Gomez, S .; Аренас, А. (2014). «Навигация взаимосвязанных сетей при случайных отказах» . PNAS . 111 (23): 8351–8356. Bibcode : 2014PNAS..111.8351D . DOI : 10.1073 / pnas.1318469111 . PMC 4060702 . PMID 24912174 .
- ^ Стелла, М .; Андреацци, CS; Селакович, С .; Goudarzi, A .; Антониони, А. (2016). «Распространение паразитов в пространственных экологических мультиплексных сетях». Журнал сложных сетей . 5 (3): 486–511. arXiv : 1602.06785 . DOI : 10,1093 / КОМНЕТ / cnw028 . S2CID 14398574 .
- ^ Pilosof, S .; Портер, Массачусетс; Pascual, M .; Kefi, С. (2017). «Многослойность экологических сетей». Природа, экология и эволюция . 1 (4): 0101. arXiv : 1511.04453 . DOI : 10.1038 / s41559-017-0101 . PMID 28812678 . S2CID 11387365 .
- ^ Timóteo, S .; Correia, M .; Rodríguez-Echeverría, S .; Freitas, H .; Хелено, Р. (2018). «Многослойные сети раскрывают пространственную структуру взаимодействия семян и рассеяния в ландшафтах Великой Трещины» . Nature Communications . 9 (1): 140. Bibcode : 2018NatCo ... 9..140T . DOI : 10.1038 / s41467-017-02658-у . PMC 5762785 . PMID 29321529 .
- ^ Коста, JM; Ramos, JA; Timóteo, S .; да Силва, LP; Ceia, RC; Хелено, Р. (2018). «Видовая активность способствует стабильности взаимодействия плодов и плодоядных в пятилетней многослойной сети» . bioRxiv 10.1101 / 421941 . DOI : 10.1101 / 421941 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ Fiori, KL; Смит, Дж; Антонуччи, TC (2007). «Типы социальных сетей среди пожилых людей: многомерный подход» . Журналы геронтологии серии B: Психологические и социальные науки . 62 (6): P322–30. DOI : 10.1093 / geronb / 62.6.p322 . PMID 18079416 .
- ^ Стелла, М .; Бекадж, штат Нью-Мексико; Бреде, М. (2017). «Мультиплексные лексические сети выявляют закономерности в раннем усвоении слов у детей». Научные отчеты . 21 (7): 619–23. arXiv : 1609.03207 . Bibcode : 2017NatSR ... 746730S . DOI : 10.1038 / srep46730 . PMID 5402256 . S2CID 13561769 .
- ^ а б в Де Доменико, М .; Никосия, В .; Arenas, A .; Латора, В. (2015). «Структурная сводимость многослойных сетей» . Nature Communications . 6 : 6864. Bibcode : 2015NatCo ... 6.6864D . DOI : 10.1038 / ncomms7864 . PMID 25904309 .
- ^ Гао; Булдырев; Стэнли; Хэвлин (22 декабря 2011 г.). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Физика природы . 8 (1): 40–48. Bibcode : 2012NatPh ... 8 ... 40G . CiteSeerX 10.1.1.379.8214 . DOI : 10.1038 / nphys2180 .
- ^ а б в г Де Доменико, М .; Granell, C .; Портер, Мейсон А .; Аренас, А. (7 апреля 2016 г.). «Физика процессов распространения в многослойных сетях». Физика природы . 12 (10): 901–906. arXiv : 1604.02021 . Bibcode : 2016NatPh..12..901D . DOI : 10.1038 / nphys3865 . S2CID 5063264 .
- ^ Timme, N .; Ито, С .; Мирошниченко, М .; Ага, ФК; Hiolski, E .; Hottowy, P .; Беггс, JM (2014). «Мультиплексные сети нейронов коры и гиппокампа, выявленные в различных временных масштабах» . PLOS ONE . 9 (12): e115764. Bibcode : 2014PLoSO ... 9k5764T . DOI : 10.1371 / journal.pone.0115764 . PMC 4275261 . PMID 25536059 .
- ^ Де Доменико, М .; Sasai, S .; Аренас, А. (2016). «Отображение мультиплексных узлов в сетях функционального мозга человека» . Границы неврологии . 10 : 326. arXiv : 1603.05897 . DOI : 10.3389 / fnins.2016.00326 . PMC 4945645 . PMID 27471443 .
- ^ Battiston, F .; Никосия, В .; Чавес, М .; Латора, В. (2017). «Многослойный анализ мотивов сетей мозга». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 27 (4): 047404. arXiv : 1606.09115 . Bibcode : 2017Chaos..27d7404B . DOI : 10.1063 / 1.4979282 . PMID 28456158 . S2CID 5206551 .
- ^ Де Доменико, М. (2017). «Многослойное моделирование и анализ сетей мозга человека» . GigaScience . 6 (5): 1–8. DOI : 10,1093 / gigascience / gix004 . PMC 5437946 . PMID 28327916 .
- ^ а б Булдырев С.В.; Паршани, Р .; Paul, G .; Стэнли, HE; Хавлин, С. (2010). «Катастрофический каскад отказов во взаимозависимых сетях». Природа . 464 (7291): 1025–8. arXiv : 0907.1182 . Bibcode : 2010Natur.464.1025B . DOI : 10,1038 / природа08932 . PMID 20393559 . S2CID 1836955 .
- ^ а б Bródka, P .; Stawiak, P .; Казиенко, П. (2011). «Обнаружение кратчайшего пути в многослойной социальной сети». 2011 Международная конференция «Достижения в области анализа и майнинга социальных сетей» . С. 497–501. arXiv : 1210.5180 . DOI : 10.1109 / ASONAM.2011.67 . ISBN 978-1-61284-758-0. S2CID 8279639 .
- ^ Зиньяни, Маттео; Куадри, Кристиан; Гайтто, Сабрина; Джан Паоло Росси (2014). «Использование всех телефонных медиа? Многомерный сетевой анализ социальной жизни пользователей телефонов». arXiv : 1401.3126 [ cs.SI ].
- ^ а б Подрядчик, Ношир; Монж, Питер; Леонарди, Пол М. (2011). "Теория сети: многомерные сети и динамика социоматериальности: внедрение технологий в сети" . Международный журнал коммуникации . 5 : 39.
- ^ Magnani, M .; Росси, Л. (2011). «ML-модель для многоуровневых социальных сетей». 2011 Международная конференция «Достижения в области анализа и майнинга социальных сетей» . п. 5. DOI : 10,1109 / ASONAM.2011.114 . ISBN 978-1-61284-758-0. S2CID 18528564 .
- ^ Гоффман (1986). Анализ фреймов: эссе по организации опыта . ISBN 9780930350918.
- ^ Вассерман, Стэнли (1994-11-25). Анализ социальных сетей: методы и приложения . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521387071.
- ^ Лесковец, Юре; Хаттенлохер, Даниэль; Клейнберг, Джон (2010). «Прогнозирование положительных и отрицательных ссылок в социальных сетях в Интернете» (PDF) . WWW: Международная конференция ACM WWW по всемирной паутине . 2010 (2010): 641–650. arXiv : 1003,2429 . CiteSeerX 10.1.1.154.3679 . DOI : 10.1145 / 1772690.1772756 . S2CID 7119014 .
- ^ Казиенко П.А.; Musial, K .; Кукла, Е.Б .; Kajdanowicz, T .; Бродка, П. (2011). «Многомерная социальная сеть: модель и анализ». Вычислительный коллективный разум. Технологии и приложения . Конспект лекций по информатике. 6922 . п. 378. DOI : 10.1007 / 978-3-642-23935-9_37 . ISBN 978-3-642-23934-2.
- ^ Никосия, В .; Бьянкони, Г .; Никосия, В .; Бартелеми, М. (2013). «Растущие мультиплексные сети». Письма с физическим обзором . 111 (5): 058701. arXiv : 1302.7126 . Bibcode : 2013PhRvL.111e8701N . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.058701 . PMID 23952453 . S2CID 18564513 .
- ^ a b c М. Маньяни, А. Монреале, Дж. Россетти, Ф. Джаннотти: «О многомерных сетевых мерах», SEBD 2013, Рочелла Йоника, Италия
- ^ а б в Berlingerio, M .; Coscia, M .; Giannotti, F .; Monreale, A .; Педрески, Д. (2011). «Основы многомерного сетевого анализа» (PDF) . 2011 Международная конференция «Достижения в области анализа и майнинга социальных сетей» . п. 485. CiteSeerX 10.1.1.717.5985 . DOI : 10.1109 / ASONAM.2011.103 . ISBN 978-1-61284-758-0. S2CID 14134143 .
- ^ Battiston, F .; Никосия, В .; Латора, В. (2016). «Эффективное исследование мультиплексных сетей». Новый физический журнал . 18 (4): 043035. arXiv : 1505.01378 . Bibcode : 2016NJPh ... 18d3035B . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 18/4/043035 . S2CID 17690611 .
- ^ а б Коццо, Эмануэле; Кивеля, Микко; Манлио де Доменико; Соле, Альбер; Аренас, Алекс; Гомес, Серхио; Портер, Мейсон А .; Морено, Ямир (2015). «Структура триадических отношений в мультиплексных сетях» (PDF) . Новый физический журнал . 17 (7): 073029. arXiv : 1307.6780 . Bibcode : 2015NJPh ... 17g3029C . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 17/7/073029 . S2CID 2321303 .
- ^ а б Бродка, Петр; Казиенко, Пшемыслав; Мусял, Катаржина; Скибицки, Кшиштоф (2012). «Анализ окружений в многоуровневых динамических социальных сетях». Международный журнал вычислительных интеллектуальных систем . 5 (3): 582–596. arXiv : 1207,4293 . DOI : 10.1080 / 18756891.2012.696922 . S2CID 1373823 .
- ^ Цзяньюн Ван; Чжипин Цзэн; Личжу Чжоу (2006). «CLAN: алгоритм поиска закрытых клик из больших баз данных с плотным графом» (PDF) . 22-я Международная конференция по инженерии данных (ICDE'06) . п. 73. DOI : 10,1109 / ICDE.2006.34 . ISBN 978-0-7695-2570-9. S2CID 5474939 .
- ^ Cai, D .; Shao, Z .; Он, X .; Ян, X .; Хан, Дж. (2005). «Комьюнити-майнинг из разнородных сетей». Обнаружение знаний в базах данных: PKDD 2005 . Конспект лекций по информатике. 3721 . п. 445. DOI : 10.1007 / 11564126_44 . ISBN 978-3-540-29244-9.
- ^ Berlingerio, M .; Пинелли, Ф .; Калабрезе, Ф. (2013). «ABACUS: Частый р Attern открытие горно-Based сообщество в м Ultidimensional СЕТЕЙ». Интеллектуальный анализ данных и обнаружение знаний . 27 (3): 294–320. arXiv : 1303.2025 . DOI : 10.1007 / s10618-013-0331-0 . S2CID 17320129 .
- ^ Gauvin, L .; Паниссон, А .; Каттуто, К. (2014). «Обнаружение структуры сообщества и паттернов активности временных сетей: подход неотрицательной тензорной факторизации» . PLOS ONE . 9 (1): e86028. arXiv : 1308.0723 . Bibcode : 2014PLoSO ... 986028G . DOI : 10.1371 / journal.pone.0086028 . PMC 3908891 . PMID 24497935 .
- ^ Пейшото, Т.П. (2015). «Вывод мезомасштабной структуры слоистых, рёберных и изменяющихся во времени сетей». Physical Review E . 92 (4): 042807. arXiv : 1504.02381 . Bibcode : 2015PhRvE..92d2807P . DOI : 10.1103 / PhysRevE.92.042807 . PMID 26565289 . S2CID 19407001 .
- ^ Валлес-Катала, Т .; Massucci, F .; Guimerà, R .; Салес-Пардо, М. (2016). «Многослойные стохастические блочные модели раскрывают многослойную структуру сложных сетей» . Physical Review X . 6 (1): 011036. Bibcode : 2016PhRvX ... 6a1036V . DOI : 10.1103 / PhysRevX.6.011036 .
- ^ Санчес-Гарсия, RJ; Cozzo, E .; Морено, Ю. (2014). «Снижение размерности и спектральные свойства многослойных сетей». Physical Review E . 89 (5): 052815. arXiv : 1311.1759 . Bibcode : 2014PhRvE..89e2815S . DOI : 10.1103 / PhysRevE.89.052815 . PMID 25353852 . S2CID 15447580 .
- ^ Чжоу, Д .; Стэнли, HE; д'Агостино, G .; Скала, А. (2012). «Ассортативность снижает надежность взаимозависимых сетей». Physical Review E . 86 (6): 066103. arXiv : 1203.0029 . Bibcode : 2012PhRvE..86f6103Z . DOI : 10.1103 / PhysRevE.86.066103 . PMID 23368000 . S2CID 13273722 .
- ^ Quadri, C .; Zignani, M .; Capra, L .; Gaito, S .; Росси, ГП (2014). «Многомерная динамика человека в мобильной телефонной связи» . PLOS ONE . 9 (7): e103183. Bibcode : 2014PLoSO ... 9j3183Q . DOI : 10.1371 / journal.pone.0103183 . PMC 4113357 . PMID 25068479 .
- ^ Салехи, М .; и другие. (2015). «Процессы распространения в многослойных сетях». IEEE Transactions по сетевой науке и инженерии . 2 (2): 65–83. arXiv : 1405.4329 . DOI : 10.1109 / TNSE.2015.2425961 . S2CID 3197397 .
- ^ Radicchi, F .; Аренас, А. (2013). «Процессы распространения в многослойных сетях». Физика природы . 9 (11): 717–720. arXiv : 1307.4544 . Bibcode : 2013NatPh ... 9..717R . DOI : 10.1038 / nphys2761 . S2CID 717835 .
- ^ Лазаридис, Филиппос; Гросс, Бная; Марагакис, Майкл; Аргиракис, Панос; Бонамасса, Иван; Хавлин, Шломо; Коэн, Реувен (4 апреля 2018 г.). «Самопроизвольное отталкивание в реакции A + B → 0 на связанных сетях» . Physical Review E . 97 (4): 040301. arXiv : 1804.05337 . Bibcode : 2018PhRvE..97d0301L . DOI : 10.1103 / PhysRevE.97.040301 . PMC 7217533 . PMID 29758747 .
- ^ а б Battiston, F .; Никосия, В .; Латора, В. (2016). «Эффективное исследование мультиплексных сетей». Новый физический журнал . 18 (4): 043035. arXiv : 1505.01378 . Bibcode : 2016NJPh ... 18d3035B . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 18/4/043035 . S2CID 17690611 .
- ^ а б Gomez, S .; и другие. (2013). «Динамика распространения в мультиплексных сетях». Письма с физическим обзором . 110 (2): 028701. arXiv : 1207.2788 . Bibcode : 2013PhRvL.110b8701G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.028701 . PMID 23383947 . S2CID 16280230 .
- ^ Гранелл, Клара; Гомес, Серхио; Арены, Алекс (17.09.2013). «Динамическое взаимодействие между осведомленностью и распространением эпидемии в мультиплексных сетях». Письма с физическим обзором . 111 (12): 128701. arXiv : 1306.4136 . Bibcode : 2013PhRvL.111l8701G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.128701 . PMID 24093306 . S2CID 11083463 .
- ^ Баттистон, Федерико; Кайроли, Андреа; Никосия, Винченцо; Бауле, Адриан; Латора, Вито (01.06.2016). «Взаимодействие между консенсусом и согласованностью в модели взаимодействующих мнений». Physica D: нелинейные явления . Нелинейная динамика в связанных сетях. 323–324: 12–19. arXiv : 1506.04544 . Bibcode : 2016PhyD..323 ... 12B . DOI : 10.1016 / j.physd.2015.10.013 . S2CID 16442344 .
- ^ Баттистон, Федерико; Никосия, Винченцо; Латора, Вито; Мигель, Макси Сан (2016-06-17). «Устойчивая мультикультурность возникает из многослойного социального влияния». arXiv : 1606.05641 [ Physics.soc -ph ].
- ^ Gao, J .; Булдырев С.В.; Стэнли, HE; Хавлин, С. (2012). «Сети, образованные из взаимозависимых сетей». Физика природы . 8 (1): 40–48. Bibcode : 2012NatPh ... 8 ... 40G . CiteSeerX 10.1.1.379.8214 . DOI : 10.1038 / nphys2180 .
- ^ Лукас Д Вальдес, Луи Шехтман, Кристиан Э Ла Рокка, Синь Чжан, Сергей В Булдырев, Пол А Трунфио, Лидия А Браунштейн, Шломо Хавлин (2020). «Каскадные отказы в сложных сетях». Журнал сложных сетей . 8 (2).CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Bashan, A .; Березин, Ю .; Булдырев С.В.; Хавлин, С. (2013). «Крайняя уязвимость взаимозависимых пространственно встроенных сетей». Физика природы . 9 (10): 667. arXiv : 1206.2062 . Bibcode : 2013NatPh ... 9..667B . DOI : 10.1038 / nphys2727 . S2CID 12331944 .
- ^ Березин, Ю .; Bashan, A .; Данцигер, ММ; Li, D .; Хавлин, С. (2015). «Локализованные атаки на пространственно встроенные сети с зависимостями» . Научные отчеты . 5 : 8934. Bibcode : 2015NatSR ... 5E8934B . DOI : 10.1038 / srep08934 . PMC 4355725 . PMID 25757572 .
- ^ Д. Вакнин, М. М. Данцигер, С. Хавлин (2017). «Распространение локализованных атак в пространственных мультиплексных сетях». New J. Phys . 19 (7): 073037. arXiv : 1704.00267 . Bibcode : 2017NJPh ... 19g3037V . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / aa7b09 . S2CID 9121930 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) Текст был скопирован из этого источника, который доступен по лицензии Creative Commons Attribution 3.0 (CC BY 3.0) .
- ^ Майдандзич, Антонио; Подобник, Борис; Булдырев, Сергей В .; Kenett, Dror Y .; Хавлин, Шломо; Юджин Стэнли, Х. (01.12.2013). «Самопроизвольное восстановление в динамических сетях» . Физика природы . 10 (1): 34–38. Bibcode : 2014NatPh..10 ... 34М . DOI : 10.1038 / nphys2819 . ISSN 1745-2473 .
- ^ Майдандзич, Антонио; Браунштейн, Лидия А .; Курм, Честер; Воденская, Ирена; Леви-Карсьенте, Сари; Юджин Стэнли, H .; Хавлин, Шломо (2016-03-01). «Множественные переломные моменты и оптимальный ремонт во взаимодействующих сетях» . Nature Communications . 7 : 10850. arXiv : 1502.00244 . Bibcode : 2016NatCo ... 710850M . DOI : 10.1038 / ncomms10850 . ISSN 2041-1723 . PMC 4773515 . PMID 26926803 .
- ^ Л. М. Шехтман, С. Шай, С. Хавлин (2015). «Устойчивость сетей, состоящих из взаимозависимых модульных сетей». New J. Phys . 17 (12): 123007. arXiv : 1508.01352 . Bibcode : 2015NJPh ... 17l3007S . DOI : 10.1088 / 1367-2630 / 17/12/123007 . S2CID 2698958 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Дана Вакнин, Бная Гросс, Сергей В. Булдырев и Шломо Хавлин (2020). «Распространение локализованных атак на пространственные мультиплексные сети со структурой сообщества». Physical Review Research . 2 (4): 043005. arXiv : 1912.05677 . Bibcode : 2020PhRvR ... 2d3005V . DOI : 10.1103 / PhysRevResearch.2.043005 . S2CID 209324155 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Данцигер, Майкл М .; Бонамасса, Иван; Боккалетти, Стефано ; Хавлин, Шломо (2019). «Динамическая взаимозависимость и конкуренция в многослойных сетях». Физика природы . 2 (15): 178. arXiv : 1705.00241 . Bibcode : 2018NatPh..15..178D . DOI : 10.1038 / s41567-018-0343-1 . S2CID 119435428 .
- ^ Де Доменико, М .; Портер, Массачусетс; Аренас, А. (2015). «Многослойный анализ и визуализация сетей» . Журнал сложных сетей . 3 (2): 159–176. DOI : 10,1093 / КОМНЕТ / cnu038 .