Мультипольное излучение

Мультипольное излучение - это теоретическая основа для описания электромагнитного или гравитационного излучения от зависящих от времени распределений удаленных источников. Эти инструменты применяются к физическим явлениям, которые происходят в различных масштабах длины - от гравитационных волн из-за столкновений галактик до гамма-излучения в результате ядерного распада . ^{[1] [2] [3]} Мультипольное излучение анализируется с использованием аналогичного мультипольного разложения.методы, которые описывают поля от статических источников, однако есть важные различия в деталях анализа, потому что мультипольные поля излучения ведут себя совершенно иначе, чем статические поля. Эта статья в первую очередь посвящена электромагнитному мультипольному излучению, хотя гравитационные волны рассматриваются аналогично.

Электромагнитное излучение зависит от конструктивных особенностей системы источника электрического заряда и электрического тока . Прямой анализ может оказаться трудновыполнимым, если структура неизвестна или сложна. Многополюсный анализ позволяет разделить излучение на моменты возрастающей сложности. Поскольку электромагнитное поле в большей степени зависит от моментов более низкого порядка, чем от моментов более высокого порядка, электромагнитное поле можно аппроксимировать, не зная в деталях структуры.

Свойства мультипольного излучения [ править ]

Линейность моментов [ править ]

Поскольку уравнения Максвелла линейны, электрическое поле и магнитное поле линейно зависят от распределения источников. Линейность позволяет независимо вычислять поля от различных мультипольных моментов и складывать вместе, чтобы получить общее поле системы. Это известный принцип суперпозиции .

Зависимость происхождения мультипольных моментов [ править ]

Мультипольные моменты вычисляются относительно фиксированной точки расширения, которая считается началом данной системы координат. Смещение начала координат изменяет мультипольные моменты системы, за исключением первого отличного от нуля момента. ^{[4] [5]} Например, монопольный момент заряда - это просто полный заряд в системе. Изменение происхождения никогда не изменит этого момента. Если монопольный момент равен нулю, то дипольный момент системы будет трансляционно-инвариантным. Если и монопольный, и дипольный моменты равны нулю, то квадрупольный момент инвариантен относительно сдвига и т. Д. Поскольку моменты высших порядков зависят от положения начала координат, их нельзя рассматривать как инвариантные свойства системы.

Зависимость поля от расстояния [ править ]

Поле мультипольного момента зависит как от расстояния от начала координат, так и от угловой ориентации точки оценки относительно системы координат. ^[4] В частности, радиальная зависимость электромагнитного поля от стационарного полюса масштабируется как . ^[2] То есть электрическое поле от момента электрического монополя масштабируется пропорционально квадрату обратного расстояния. Точно так же электрический дипольный момент создает поле, которое масштабируется как куб, обратно пропорциональный расстоянию, и так далее. По мере увеличения расстояния вклад моментов высокого порядка становится намного меньше, чем вклад моментов низкого порядка, поэтому моменты высокого порядка можно не учитывать для упрощения вычислений.${\ displaystyle 2 ^ {\ ell}}$${\ displaystyle 1 / r ^ {\ ell +2}}$

Радиальная зависимость радиационных волн отличается от статических полей, потому что эти волны уносят энергию от системы. Поскольку энергия должна сохраняться, простой геометрический анализ показывает, что плотность энергии сферического излучения, радиус , должна масштабироваться как . Когда сферическая волна расширяется, фиксированная энергия волны должна распространяться по расширяющейся сфере с площадью поверхности . Соответственно, каждый зависящий от времени мультипольный момент должен вносить вклад в плотность лучистой энергии, которая масштабируется как , независимо от порядка момента. Следовательно, моменты высокого порядка не могут быть отброшены так же легко, как в статическом случае. Даже в этом случае мультипольные коэффициенты системы обычно уменьшаются с увеличением порядка, обычно как${\ displaystyle r}$${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$${\ displaystyle 4 \ pi r ^ {2}}$${\ displaystyle 1 / r ^ {2}}$${\ displaystyle 1 / (2 \ ell +1) !!}$, поэтому поля излучения все еще можно аппроксимировать путем отсечения моментов высокого порядка. ^[5]

Электромагнитные поля, зависящие от времени [ править ]

Источники [ править ]

Зависящие от времени распределения источников могут быть выражены с помощью анализа Фурье . Это позволяет анализировать отдельные частоты независимо. Плотность заряда определяется выражением

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\rho }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}$

и плотность тока на

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }d\omega \,{\hat {\mathbf {J} }}(\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}}$. ^[6]

Для удобства с этого момента рассматривается только одна угловая частота ω; таким образом

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

Принцип суперпозиции может применяться для обобщения результатов для нескольких частот. ^[5] Векторные величины выделены жирным шрифтом. Используется стандартное соглашение о принятии действительной части комплексных величин для представления физических величин.

Собственный угловой момент элементарных частиц (см. Спин (физика) ) также может влиять на электромагнитное излучение от некоторых исходных материалов. Чтобы учесть эти эффекты, необходимо принять во внимание внутреннюю намагниченность системы . Однако для простоты эти эффекты мы отложим до обсуждения обобщенного мультипольного излучения.${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)}$

Возможности [ править ]

Распределения источников можно интегрировать, чтобы получить зависящие от времени электрический потенциал и магнитный потенциал φ и A соответственно. Формулы выражаются шкалой Лоренца в единицах СИ . ^{[5] [6]}

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\rho (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}})\right)}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}\mathbf {x'} \int dt'{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {x'} ,t')}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\delta \left(t'-(t-{\frac {\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}{c}})\right)}$

В этих формулах c - скорость света в вакууме, - дельта-функция Дирака и - евклидово расстояние от точки источника x ' до точки оценки x . Интегрирование зависящих от времени распределений источников выше дает${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$

${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}e^{-i\omega t}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} ){\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}}$

где k = ω / c . Эти формулы служат основой для анализа мультипольного излучения.

Многополюсное расширение в ближнем поле [ править ]

Ближнее поле - это область вокруг источника, в которой электромагнитное поле может быть оценено квазистатически. Если расстояние до цели от источника мультиполя намного меньше длины волны излучения , то . В результате экспоненту в этой области можно аппроксимировать как:${\displaystyle r=\|\mathbf {x} \|_{2}}$${\displaystyle \lambda =2\pi /k}$${\displaystyle kr\ll 1}$

${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=1+O(kr)}$

См. Расширение Тейлора . При использовании этого приближения оставшаяся зависимость x 'такая же, как и для статической системы, применяется тот же анализ. ^{[4] [5]} По сути, потенциалы можно оценить в ближнем поле в данный момент, просто сделав снимок системы и обработав его, как если бы он был статическим - поэтому это называется квазистатическим. ^[5] См. Ближнее и дальнее поле и мультипольное расширение . В частности, обратное расстояние расширяется с помощью сферических гармоник, которые интегрируются отдельно для получения коэффициентов сферического мультиполя.${\displaystyle 1/\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}$

Многополюсное расширение в дальней зоне: мультипольное излучение [ править ]

На больших расстояниях от высокочастотного источника справедливы следующие приближения:${\displaystyle \lambda \ll r}$

${\displaystyle {\frac {1}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {1}{r}}+O(1/r^{2})}$

${\displaystyle e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}=e^{ik(r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} +O(1/r))}=e^{ikr-ik\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }(1+O(1/r))}$

Поскольку на больших расстояниях существенен только член первого порядка , разложения в совокупности дают${\displaystyle 1/r}$

${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}={\frac {e^{ikr}}{r}}(1-ik(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )+{\frac {(-ik)^{2}}{2}}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )^{2}+...)+O(1/r^{2})}$

Каждая степень соответствует разному мультипольному моменту. Ниже приводится оценка первых моментов.${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} }$

Излучение электрического монополя, несуществование [ править ]

Член нулевого порядка , примененный к скалярному потенциалу, дает${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}}$

${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )={\frac {e^{ikr-i\omega t}}{4\pi \epsilon _{0}r}}q}$

где полный заряд - это электрический монопольный момент, колеблющийся с частотой ω. Для сохранения заряда требуется q = 0, поскольку${\displaystyle q=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle q(t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} ,t)=\int d^{3}\mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )e^{-i\omega t}=qe^{-i\omega t}}$.

Если система замкнута, тогда общий заряд не может колебаться, что означает, что амплитуда колебаний q должна быть равна нулю. Следовательно, . Соответствующие поля и мощность излучения также должны быть равны нулю. ^[5]${\displaystyle \phi _{\text{Electric monopole}}(\mathbf {x} ,t)=0}$

Электродипольное излучение [ править ]

Электрический дипольный потенциал [ править ]

Излучение электрического диполя может быть получено путем применения члена нулевого порядка к векторному потенциалу. ^[5]

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$

Интегрирование по частям дает ^[7]

${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {J} (\mathbf {x'} )=-\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$.

а уравнение неразрывности заряда показывает

${\displaystyle {\frac {\partial \rho (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\left(-i\omega \rho (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )\right)e^{-i\omega t}=0}$.

Следует, что

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$

Аналогичные результаты можно получить, применяя член первого порядка к скалярному потенциалу. Амплитуда электрического дипольного момента системы равна , что позволяет выразить потенциалы как${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$${\displaystyle \mathbf {p} =\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} \rho (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle \phi _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \cdot \mathbf {p} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-i\omega \mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {p} }$

Поля электрических диполей [ править ]

Как только зависящие от времени потенциалы поняты, зависящие от времени электрическое поле и магнитное поле можно рассчитать обычным способом. А именно,

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} ,t)-{\frac {\partial \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}{\partial t}}}$

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$,

или, в области пространства, свободного от источников, соотношение между магнитным полем и электрическим полем может быть использовано для получения

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}$

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)}$

где - импеданс свободного пространства . Электрические и магнитные поля, соответствующие приведенным выше потенциалам, равны${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\mu _{0}/\epsilon _{0}}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {ck^{2}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\times \mathbf {n} )}$

что согласуется со сферическими волнами излучения. ^[5]

Чистая электрическая дипольная мощность [ править ]

Плотность мощности, энергия на единицу площади в единицу времени, выражается вектором Пойнтинга . Отсюда следует, что усредненная по времени плотность мощности на единицу телесного угла определяется выражением${\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }$

${\displaystyle {\frac {dP(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {r^{2}}{2}}\Re (\mathbf {n} \cdot \mathbf {E} \times \mathbf {H} )}$.

Скалярное произведение с извлекает величину выбросов, а коэффициент 1/2 получается из усреднения по времени. Как объяснено выше, аннулирует радиальную зависимость плотности энергии излучения. Применение к чистому электрическому диполю дает${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle r^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$

где θ измеряется относительно . ^[5] Интегрирование по сфере дает полную излучаемую мощность:${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle P_{\text{Electric dipole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {p} \|_{2}^{2}}$

Магнитное дипольное излучение [ править ]

Магнитный дипольный потенциал [ править ]

Член первого порядка , приложенный к векторному потенциалу, дает магнитное дипольное излучение и электрическое квадрупольное излучение. ^[5]${\displaystyle {\frac {e^{ik\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}{\|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \|_{2}}}\rightarrow {\frac {e^{ikr}}{r}}(-ik)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole / Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}(-ik)\int d^{3}\mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )}$

Подынтегральное выражение можно разделить на симметричную и антисимметричную части по n и x ′

${\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )={\frac {1}{2}}\left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)+{\frac {1}{2}}(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\times \mathbf {n} }$

Второй член содержит эффективную намагниченность, обусловленную током, а интегрирование дает магнитный дипольный момент.${\displaystyle \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=1/2(\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$

${\displaystyle \int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {M} _{\text{effective}}(\mathbf {x'} )=\mathbf {m} }$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ik\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {m} \times \mathbf {n} }$

Обратите внимание, что имеет форму, похожую на . Это означает, что магнитное поле от магнитного диполя ведет себя аналогично электрическому полю от электрического диполя. Точно так же электрическое поле от магнитного диполя ведет себя как магнитное поле от электрического диполя. Принимая преобразования${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Magnetic dipole}}}$${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}}$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow Z_{0}\mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric dipole}}\rightarrow {\frac {-1}{Z_{0}}}\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}}$

${\displaystyle \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {m} /c}$

на предыдущих результатах дает результаты для магнитных диполей. ^[5]

Магнитные дипольные поля [ править ]

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k^{2}Z_{0}}{4\pi }}(\mathbf {n} \times \mathbf {m} ){\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}}$

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-1}{Z_{0}}}(\mathbf {E} _{\text{Magnetic dipole}}\times \mathbf {n} )}$^[5]

Мощность чистого магнитного диполя [ править ]

Средняя мощность, излучаемая магнитным диполем на единицу телесного угла, равна

${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Magnetic dipole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {Z_{0}}{32\pi ^{2}}}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}\sin ^{2}\theta }$

где θ измеряется относительно магнитного диполя . Общая излучаемая мощность составляет:${\displaystyle \mathbf {m} }$

${\displaystyle P_{\text{Magnetic dipole}}={\frac {Z_{0}}{12\pi }}k^{4}\|\mathbf {m} \|_{2}^{2}}$^[5]

Электрическое квадрупольное излучение [ править ]

Электрический квадрупольный потенциал [ править ]

Симметричная часть подынтегрального выражения из предыдущего раздела может быть решена путем применения интегрирования по частям и уравнения непрерывности заряда, как это было сделано для излучения электрического диполя.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int d^{3}\mathbf {x} \left((\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\mathbf {J} (\mathbf {x'} )+(\mathbf {n} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))\mathbf {x'} \right)={\frac {-i\omega }{2}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\int d^{3}\mathbf {x'} \mathbf {x'} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )}$

Это соответствует бесследовому тензору электрического квадрупольного момента . Сжатие второго индекса с нормальным вектором позволяет выразить векторный потенциал как${\displaystyle Q_{\alpha \beta }=\int d^{3}\mathbf {x'} (3x'_{\alpha }x'_{\beta }-\|\mathbf {x'} \|_{2}^{2}\delta _{\alpha \beta })\rho (\mathbf {x'} )}$${\displaystyle [Q(\mathbf {n} )]_{\alpha }=\sum _{\beta }Q_{\alpha \beta }n_{\beta }}$

${\displaystyle \mathbf {A} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-k\omega \mu _{0}}{8\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}{\frac {1}{3}}\mathbf {Q(n)} }$^[5]

Электрические квадрупольные поля [ править ]

Возникающие магнитные и электрические поля:

${\displaystyle \mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)={\frac {-ick^{3}}{24\pi }}{\frac {e^{ikr-i\omega t}}{r}}\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} }$

${\displaystyle \mathbf {E} _{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} ,t)=Z_{0}(\mathbf {H} _{\text{Electric quadrupole}}\times \mathbf {n} )}$^[5]

Чистая электрическая квадрупольная мощность [ править ]

Средняя мощность, излучаемая на единицу телесного угла электрическим квадруполем, равна

${\displaystyle {\frac {dP_{\text{Electric quadrupole}}(\mathbf {x} )}{d\Omega }}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1152\pi ^{2}}}k^{6}\|(\mathbf {n} \times \mathbf {Q(n)} )\times \mathbf {n} \|_{2}^{2}}$

где θ измеряется относительно магнитного диполя . Общая излучаемая мощность составляет:${\displaystyle \mathbf {m} }$

${\displaystyle P_{\text{Electric quadrupole}}={\frac {c^{2}Z_{0}}{1440\pi }}k^{6}\sum _{\alpha ,\beta }Q_{\alpha \beta }^{2}}$^[5]

Обобщенное мультипольное излучение [ править ]

По мере увеличения мультипольного момента распределения источника прямые вычисления, используемые до сих пор, становятся слишком громоздкими для продолжения. Анализ высших моментов требует более общей теоретической техники. Как и раньше, рассматривается частота одного источника . Следовательно, заряд, ток и собственная плотность намагниченности определяются выражением${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)=\rho (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {M} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

соответственно. Результирующие электрическое и магнитное поля имеют ту же временную зависимость, что и источники.

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {E} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\mathbf {H} (\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}$

Использование этих определений и уравнения неразрывности позволяет записать уравнения Максвелла в виде

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} (\mathbf {x} )=-{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} (\mathbf {x} )=ikZ_{0}\left(\mathbf {H} (\mathbf {x} )+\mathbf {M} (\mathbf {x} )\right)}$

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} (\mathbf {x} )=-{\frac {ik}{Z_{0}}}\mathbf {E} (\mathbf {x} )+\mathbf {J} (\mathbf {x} )}$

Эти уравнения можно объединить, взяв ротор из последних уравнений и применив тождество . Это дает векторные формы неоднородного уравнения Гельмгольца.${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} )=\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} )-\mathbf {\nabla } ^{2}\mathbf {V} }$

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} )+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$

Решения волнового уравнения [ править ]

Однородные волновые уравнения, описывающие электромагнитное излучение с частотой в безисточниковой области, имеют вид.${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=0}$

Волновую функцию можно выразить как сумму векторных сферических гармоник${\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )}$

${\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle f_{\ell m}(kr)=A_{\ell m}^{(1)}h_{\ell }^{(1)}(kr)+A_{\ell m}^{(2)}h_{\ell }^{(2)}(kr)}$

Где - нормированные векторные сферические гармоники, а - сферические функции Ганкеля. См. Сферические функции Бесселя . Дифференциальный оператор - это оператор углового момента со свойством . Коэффициенты и соответствуют волнам расширения и сжатия соответственно. Итак, ради радиации. Для определения остальных коэффициентов применяется функция Грина для волнового уравнения. Если исходное уравнение${\displaystyle \mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )=\mathbf {L} Y_{\ell m}(\theta ,\phi )/{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}}$${\displaystyle h_{\ell }^{(2)}}$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\mathbf {x} \times \mathbf {\nabla } }$${\displaystyle L^{2}Y_{\ell m}=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(1)}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}}$${\displaystyle A_{\ell m}^{(2)}=0}$

${\displaystyle (\mathbf {\nabla } ^{2}+k^{2})\mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=-\mathbf {V} (\mathbf {x} )}$

тогда решение:

${\displaystyle \Psi _{\alpha }(\mathbf {x} )=\sum _{\beta }\int d^{3}\mathbf {x'} G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )V_{\beta }(\mathbf {x'} )}$

Функцию Грина можно выразить в векторных сферических гармониках.

${\displaystyle G_{\alpha \beta }(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }ikh_{\ell }^{(1)}(kr)j_{\ell }(kr')X_{\ell m\alpha }(\theta ,\phi )X_{\ell m\beta }^{*}(\theta ',\phi ')}$

Обратите внимание, что это дифференциальный оператор, который действует на функцию источника . Таким образом, решение волнового уравнения:${\displaystyle \mathbf {X} _{\ell m}^{*}=Y_{\ell m}^{*}\mathbf {L} /{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}$${\displaystyle \mathbf {V} }$

${\displaystyle \mathbf {\Psi } (\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x'} )}$

Электрические мультипольные поля [ править ]

Применяя вышеупомянутое решение к уравнению электрической мультипольной волны

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {H} (\mathbf {x} )=-\left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )+\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x} ))\right]}$

дает решение для магнитного поля: ^[5]

${\displaystyle \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[k^{2}\mathbf {M} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} )+\mathbf {\nabla '} (\mathbf {\nabla '} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))\right]}$

Электрическое поле:

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(E)}(\mathbf {x} )={\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {H} ^{(E)}(\mathbf {x} )}$

Формулу можно упростить, применив тождества

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} )=i\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x} \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot (\mathbf {\nabla } \times \mathbf {V} (\mathbf {x} ))=i\nabla ^{2}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))-{\frac {i\partial }{r\partial r}}(r^{2}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {V} (\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {\nabla } s(\mathbf {x} )=0}$

к подынтегральному выражению, что приводит к ^[5]

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))-{\frac {i}{k}}\nabla ^{2}(\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-{\frac {c\partial }{r'\partial r'}}(r'^{2}\rho (\mathbf {x'} ))\right]}$

Теорема Грина и интегрирование по частям превращают формулу в

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[-ik\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))+ik\mathbf {x'} \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x'} )\right]+cY_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$

Сферическая функция Бесселя также можно упростить, если предположить , что масштаб длины излучения значительно больше , чем масштаб длины источника, это верно для большинства антенн.${\displaystyle j_{\ell }(kr')}$

${\displaystyle j_{\ell }(kr')={\frac {(kr')^{\ell }}{(2\ell +1)!!}}+O((kr')^{\ell +2})}$

Сохранение только членов самого низкого порядка приводит к упрощенной форме для электрических мультипольных коэффициентов: ^[5]

${\displaystyle a_{\ell m}^{(E)}={\frac {-ick^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[Q_{\ell m}+Q_{\ell m}']}$

${\displaystyle Q_{\ell m}=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\rho (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle Q_{\ell m}'=-{\frac {ik}{c(\ell +1)}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {M} (\mathbf {x'} ))}$

${\displaystyle Q_{\ell m}}$то же самое, что и электрический мультипольный момент в статическом случае, если бы он был применен к статическому распределению заряда, тогда как соответствует индуцированному электрическому мультипольному моменту от собственной намагниченности исходного материала.${\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}$${\displaystyle Q_{\ell m}'}$

Магнитные мультипольные поля [ править ]

Применяя вышеупомянутое решение к уравнению магнитной мультипольной волны

${\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\mathbf {E} (\mathbf {x} )=-\left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$

дает решение для электрического поля: ^[5]

${\displaystyle \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {ik}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {L'} \cdot \left[ikZ_{0}\mathbf {J} (\mathbf {x} )+ikZ_{0}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {M} (\mathbf {x} ))+{\frac {iZ_{0}}{k}}\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {J} (\mathbf {x} ))\right]}$

Магнитное поле:

${\displaystyle \mathbf {H} ^{(M)}(\mathbf {x} )=-{\frac {i}{kZ_{0}}}\mathbf {\nabla } \times \mathbf {E} ^{(M)}(\mathbf {x} )}$

Как и раньше, форум упрощается:

${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{2}}{\sqrt {\ell (\ell +1)}}}\int d^{3}\mathbf {x'} j_{\ell }(kr')Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\left[\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))-k^{2}\mathbf {x'} \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )\right]+Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} ){\frac {\partial }{\partial r'}}(r'j_{\ell }(kr'))}$

Сохранение только членов самого низкого порядка приводит к упрощенной форме для коэффициентов магнитного мультиполя: ^[5]

${\displaystyle a_{\ell m}^{(M)}={\frac {-ik^{\ell +2}}{(2\ell +1)!!}}\left({\frac {\ell +1}{\ell }}\right)^{1/2}[M_{\ell m}+M_{\ell m}']}$

${\displaystyle M_{\ell m}={\frac {1}{\ell +1}}\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot (\mathbf {x'} \times \mathbf {J} (\mathbf {x'} ))}$

${\displaystyle M_{\ell m}'=\int d^{3}\mathbf {x'} r'^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ',\phi ')\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {M} (\mathbf {x'} )}$

${\displaystyle M_{\ell m}}$- магнитный мультипольный момент от эффективной намагниченности, а соответствует собственной намагниченности .${\displaystyle \mathbf {x} \times \mathbf {J} (\mathbf {x} )/2}$${\displaystyle M_{\ell m}'}$${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {x} )}$

Общее решение [ править ]

Электрическое и магнитное мультипольные поля объединяются, чтобы дать полные поля: ^[5]

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(M)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )+{\frac {iZ_{0}}{k}}a_{\ell m}^{(E)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}$

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {x} ,t)=\Re \left(\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }\left[a_{\ell m}^{(E)}h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi )-{\frac {i}{kZ_{0}}}a_{\ell m}^{(M)}\mathbf {\nabla } \times (h_{\ell }^{(1)}(kr)\mathbf {X} _{\ell m}(\theta ,\phi ))\right]e^{-i\omega t}\right)}$

Обратите внимание, что радиальная функция может быть упрощена в пределе дальнего поля .${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)}$${\displaystyle 1/r\ll 1}$

${\displaystyle h_{\ell }^{(1)}(kr)=(-i)^{\ell +1}{\frac {e^{ikr}}{kr}}+O(1/r^{2})}$

Таким образом восстанавливается радиальная зависимость излучения.

См. Также [ править ]

• Многополюсное расширение
• Сферические гармоники
• Векторные сферические гармоники
• Ближнее и дальнее поле

Ссылки [ править ]

^{[1] [2] [3] [4] [5] [6]}