В евклидовой геометрии , теорема Musselman в этом свойстве определенных кругов , определяемых произвольным треугольник .
В частности, пусть быть треугольником и , , а также его вершины . Позволять, , а также - вершины треугольника отражения , полученный зеркальным отображением каждой вершины через противоположную сторону. [1] Пустьбыть Окружность из. Рассмотрим три круга, , а также определяется точками , , а также , соответственно. Теорема гласит, что эти три круга Массельмана пересекаются в точке, то есть обратное по отношению к центру описанной окружностииз изогонального конъюгата или девяти точек центра из. [2]
Общая точка это точка в списке Кларка Кимберлинга в части треугольника центров . [2] [3]
История
Теорема была предложена как продвинутая проблема Джоном Роджерсом Массельманом и Рене Гурмагтигом в 1939 г. [4], а доказательство было представлено ими в 1941 г. [5] Обобщение этого результата было сформулировано и доказано Гурмагтигом. [6]
Обобщение Гурмагтиха
В обобщении теоремы Массельмана Гурмагтихом кружки не упоминаются явно.
Как и раньше, пусть , , а также быть вершинами треугольника , а также его центр окружности. Позволятьбыть ортоцентр из, то есть пересечение трех его высотных линий . Позволять, , а также быть тремя точками на отрезках , , а также , так что . Рассмотрим три линии, , а также , перпендикулярно , , а также хотя точки , , а также , соответственно. Позволять, , а также - точки пересечения этих перпендикуляров с прямыми , , а также , соответственно.
Йозеф Нойберг заметил в 1884 году, что три точки, , а также лежать на общей линии . [7] Пусть быть проекцией центра описанной окружности на линии , а также точка на такой, что . Гурмагтих доказал, что является обратным по отношению к описанной окружности изогонально сопряженного точки на прямой Эйлера , так что . [8] [9]
Рекомендации
- ↑ Д. Гринберг (2003) О точке Косница и отражающем треугольнике . Forum Geometricorum , том 3, страницы 105–111
- ^ a b Эрик В. Вайстейн (), Теорема Массельмана . онлайн-документ, просмотрено 05.10.2014.
- ^ Кларк Кимберлинг (2014), Энциклопедия треугольных центров , раздел X (1157) . По состоянию на 2014-10-08.
- ^ Джон Роджерс Musselman и Рене Гурмати (1939), Advanced Проблема 3928 . American Mathematical Monthly , том 46, стр. 601
- ^ Джон Роджерс Musselman и Рене Гурмати (1941), Решение Advanced проблемы 3928 . American Mathematics Monthly, том 48, страницы 281–283
- ^ Жан-Луи Эме, ле точка де Kosnitza , страница 10. Интернет документ, доступ на 2014-10-05.
- ^ Иосиф Neuberg (1884), мемуарной сюр - ле - Tetraèdre . Согласно Нгуену, Нойберг также формулирует теорему Гурмагтиха, но неверно.
- ^ Кхоа Лу Нгуен (2005), синтетическое доказательство обобщения Гурмагтиха теоремы Массельмана . Forum Geometricorum , том 5, страницы 17–20
- ^ Ион Pătraşcu и Cătălin Барб (2012), два новых доказательство теоремы Goormaghtigh . Международный журнал геометрии, том 1, стр. = 10–19, ISSN 2247-9880