Мутация (йорданова алгебра)

В математике , мутация , которая также называется homotope , из унитальной алгебры Иордана является новым йордановой определяется данным элементом алгебры Иордана. Мутация имеет единицу тогда и только тогда, когда данный элемент является обратимым, и в этом случае мутация называется правильной мутацией или изотопом . Мутации были впервые введены Максом Кохером в его йордановом алгебраическом подходе к эрмитовым симметрическим пространствам и ограниченным симметрическим областям.трубчатого типа. Их функториальные свойства позволяют явно построить соответствующее эрмитово симметрическое пространство компактного типа как компактификацию конечномерной комплексной полупростой йордановой алгебры. Группа автоморфизмов компактификации становится комплексной подгруппой , комплексификацией ее максимальной компактной подгруппы . Обе группы действуют на компактификацию транзитивно. Теория была расширена, чтобы покрыть все эрмитовы симметрические пространства, используя теорию жордановых пар или жордановых тройных систем.. Кехер получил результаты в более общем случае непосредственно из случая йордановой алгебры, используя тот факт, что требуются только йордановы пары, ассоциированные с автоморфизмами периода два.

Определения [ править ]

Пусть A - унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. ^[1] Для a в A определим оператор умножения Йордана на A следующим образом:

${\ displaystyle \ displaystyle {L (a) b = ab}}$

и квадратичное представление Q ( a ) формулой

${\ Displaystyle Q (а) = 2L (а) ^ {2} -L (а ^ {2}). \,}$

Это удовлетворяет

${\ Displaystyle Q (1) = I. \,}$

фундаментальное тождество

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (Q (a) b) = Q (a) Q (b) Q (a)}}$

коммутация или гомотопическое тождество

${\ Displaystyle \ Displaystyle {Q (a) R (b, a) = R (a, b) Q (a) = 2Q (Q (a) b, a),}}$

где

${\ Displaystyle R (a, b) c = 2Q (a, c) b, \, \, \, Q (x, y) = {\ frac {1} {2}} (Q (x + y) - Q (x) -Q (y)).}$

В частности, если a или b обратимы, то

${\ displaystyle \ displaystyle {R (a, b) = 2Q (a) Q (a ^ {- 1}, b) = 2Q (a, b ^ {- 1}) Q (b).}}$

Отсюда следует, что A с операциями Q и R и единичным элементом определяет квадратичную йорданову алгебру , где квадратичная йорданова алгебра состоит из векторного пространства A с выделенным элементом 1 и квадратичного отображения A в эндоморфизмы A , a ↦ Q ( а ), удовлетворяющие условиям:

• Q (1) = id
• Q ( Q ( a ) b ) = Q ( a ) Q ( b ) Q ( a ) («фундаментальное тождество»)
• Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) («коммутация или гомотопическое тождество»), где R ( a , b ) c = ( Q ( a + c ) - Q ( a ) - Q ( в )) б

Тройное произведение Жордана определяется формулой

${\ Displaystyle \ {a, b, c \} = (ab) c + (cb) a- (ac) b, \,}$

чтобы

${\ Displaystyle Q (a) b = \ {a, b, a \}, \, \, \, Q (a, c) b = \ {a, b, c \}, \, \, \, R (a, b) c = \ {a, b, c \}. \,}$

Также есть формулы

${\displaystyle Q(a,b)=L(a)L(b)+L(b)L(a)-L(ab),\,\,\,R(a,b)=[L(a),L(b)]+L(ab).\,}$

Для у в А мутации ^у определяются в векторном пространстве А с умножением

${\displaystyle a\circ b=\{a,y,b\}.\,}$

Если Q ( y ) обратимо, взаимное называется правильной мутацией или изотопом .

Квадратичные йордановы алгебры [ править ]

Пусть A - квадратичная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. Следуя Джекобсону (1969) , линейная структура йордановой алгебры может быть ассоциирована с A такая, что если L ( a ) - йордановское умножение, то квадратичная структура задана по Q ( a ) = 2 L ( a ) ² - L ( a ² ).

Во-первых, аксиому Q ( a ) R ( b , a ) = R ( a , b ) Q ( a ) можно усилить до

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)R(b,a)=R(a,b)Q(a)=2Q(Q(a)b,a).}}$

Действительно, применительно к c первые два члена дают

${\displaystyle \displaystyle {2Q(a)Q(b,c)a=2Q(Q(a)c,a)b.}}$

Переключение b и c затем дает

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)R(b,a)c=2Q(Q(a)b,a)c.}}$

Теперь позвольте

${\displaystyle \displaystyle {L(a)={\frac {1}{2}}R(a,1).}}$

Замена b на a и a на 1 в приведенном выше тождестве дает

${\displaystyle \displaystyle {R(a,1)=R(1,a)=2Q(a,1).}}$

В частности

${\displaystyle \displaystyle {L(a)=Q(a,1),\,\,\,L(1)=Q(1,1)=I.}}$

Произведение Иордана дается формулой

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=L(a)b={\frac {1}{2}}R(a,1)b=Q(a,b)1,}}$

чтобы

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=b\circ a.}}$

Приведенная выше формула показывает, что 1 - это тождество. Определив a ² как a ∘ a = Q ( a ) 1, единственное оставшееся условие, которое нужно проверить, - это тождество Жордана

${\displaystyle \displaystyle {[L(a),L(a^{2})]=0.}}$

В фундаментальной идентичности

${\displaystyle \displaystyle {Q(Q(a)b)=Q(a)Q(b)Q(a),}}$

Замените a на a + t 1, установите b = 1 и сравните коэффициенты t ² с обеих сторон:

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=2Q(a,1)^{2}-Q(a^{2},1)=2L(a)^{2}-L(a^{2}).}}$

Установка b = 1 во второй аксиоме дает

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)L(a)=L(a)Q(a),}}$

и поэтому L ( a ) должен коммутировать с L ( a ² ).

Перевернутые [ править ]

Пусть A - унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. Элемент a в унитальной йордановой алгебре A называется обратимым, если существует элемент b такой, что ab = 1 и a ² b = a . ^[2]

Характеристики. ^[3]

Если ab = 1 и a ² b = a , то Q ( a ) b = 2 a ( ab ) - ( a ² ) b = a . Тождество Жордана [ L ( x ), L ( x ² )] = 0 можно поляризовать, заменив x на x + ty и взяв коэффициент при t . Это дает

${\displaystyle \displaystyle {[L(x^{2}),L(y)]+2[L(xy),L(x)]=0.}}$

Взяв x = a или b и y = b или a, мы покажем, что L ( a ² ) коммутирует с L ( b ), а L ( b ² ) коммутирует с L ( a ) . Следовательно, ( b ² ) ( a ² ) = 1 . Применение L ( b ) дает b ² a = b . СледовательноQ ( а ) b ² = 1 .наоборотесли Q ( ) Ь = и Q ( ) б ² = 1 , то второе соотношение дает Q ( ) Q ( б ) ² Q ( ) = I . Таким образом, Q ( a ) и Q ( b ) обратимы. Первый дает Q ( a )Q ( b ) Q ( a ) = Q ( a ), так что Q ( a ) и Q ( b ) являются обратными друг другу. Поскольку L ( b ) коммутирует с Q ( b ), она коммутирует со своим обратным Q ( a ) . Аналогично L ( a ) коммутирует с Q ( b ) . Итак ( а ² )b = L ( b ) a ² = Q ( a ) b = a и ab = L ( b ) Q ( a ) b = Q ( a ) Q ( b ) 1 = 1 .

В самом деле, если a обратимо, то из сказанного выше следует, что Q ( a ) обратимо с обратным Q ( b ) . Для любого обратного b удовлетворяет Q ( a ) b = a , поэтому b = Q ( a ) ⁻¹ a . Наоборот, если Q ( a ) обратимо, пусть b = Q ( a ) ⁻¹ a . Тогда Q ( a )б = а . Тогда из фундаментального тождества следует, что Q ( b ) и Q ( a ) являются обратными друг другу, так что Q ( a ) b ² = Q ( a ) Q ( b ) 1 = 1 .

Это следует из формулы a ⁻¹ = Q ( a ) ⁻¹ a .

Предположим, что Q ( a ) c = 1 . Тогда по фундаментальному тождеству Q ( a ) обратимо, поэтому a обратимо.

Это является непосредственным следствием фундаментального тождества и тот факт , что STS обратим тогда и только S и T обратимы.

В коммутационном тождестве Q ( a ) R ( b , a ) = Q (Q ( a ) b , a ) положим b = c ² с c = a ⁻¹ . Тогда Q ( a ) b = 1 и Q (1, a ) = L ( a ) . Поскольку L ( a ) коммутирует с L ( c ² ) ,R ( b , a ) = L ( c ) = L ( a ⁻¹ ) .

Если L ( a ) и L ( b ) коммутируют, то ba = 1 влечет b ( a ² ) = a . Обратно предположим, что a обратимо с обратным b . Тогда ab = 1 . Моревоер L ( b ) коммутирует с Q ( b ) и, следовательно, с обратным ему Q ( a ) . Таким образом, он коммутирует с L ( a ) = Q (а ) L ( б ) .

Алгебра k [ a ] коммутативна и ассоциативна, поэтому, если b - обратная, то ab = 1 и a ² b = a . Наоборот, Q ( a ) оставляет k [ a ] инвариантным. Итак, если он биективен на A, он биективен там. Таким образом, a ⁻¹ = Q ( a ) ⁻¹ a лежит в k [ a ] .

Элементарные свойства собственных мутаций [ править ]

Фактически ^[4] умножение в алгебре A ^y задается формулой

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=\{a,y,b\},}}$

поэтому по определению коммутативен. Следует, что

${\displaystyle \displaystyle {a\circ b=L_{y}(a)b,}}$

с участием

${\displaystyle \displaystyle {L_{y}(a)=[L(a),L(y)]+L(ay).}}$

Если e удовлетворяет a ∘ e = a , то взяв a = 1, получаем

${\displaystyle \displaystyle {ye=1.}}$

Взяв a = e, получаем

${\displaystyle \displaystyle {e(ya)=y(ea)}}$

так что L ( y ) и L ( e ) коммутируют. Следовательно, y обратим и e = y ⁻¹ .

Теперь обратимый набор y

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(a)=Q(a)Q(y),\,\,\,R_{y}(a,b)=R(a,Q(y)b).}}$

потом

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(e)=Q_{y}(y^{-1})=Q(y^{-1})Q(y)=I.}}$

Более того,

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(a)Q_{y}(b)Q_{y}(a)=Q(a)Q(y)Q(b)Q(y)Q(a)Q(y)=Q(a)Q(Q(y)b)Q(a)Q(y)=Q(Q(a)Q(y)b)Q(y)=Q_{y}(Q_{y}(a)b).}}$

Ну наконец то

${\displaystyle \displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)Q(y)^{-1}=R(Q(y)c,d),}}$

поскольку

${\displaystyle \displaystyle {Q(y)R(c,Q(y)d)x=2Q(y)Q(c,x)Q(y)d=2Q(Q(y)c,Q(y)x)d=R(Q(y)c,d)Q(y)x.}}$

Следовательно

${\displaystyle \displaystyle {Q_{y}(a)R_{y}(b,a)=Q(a)Q(y)R(b,Q(y)a)=Q(y^{-1})Q(Q(y)a)R(b,Q(y)a)=Q(y)^{-1}R(Q(y)a,b)Q(Q(y)a)=R_{y}(a,b)Q_{y}(a).}}$

Таким образом, ( A , Q ^y , y ⁻¹ ) - квадратичная йорданова алгебра с единицей. Следовательно, он соответствует линейной йордановой алгебре с ассоциированным йордановым оператором умножения M ( a ), заданным формулой

${\displaystyle \displaystyle {M(a)b={\frac {1}{2}}R_{y}(a,e)b={\frac {1}{2}}R(a,Q(y)e)b={\frac {1}{2}}R(a,y)b=\{a,y,b\}=L_{y}(a)b.}}$

Это показывает, что операторы L _y ( a ) удовлетворяют йорданову тождеству, так что собственная мутация или изотоп A ^y является йордановой алгеброй с единицей . Соответствие квадратичным йордановым алгебрам показывает, что его квадратичное представление задается Q _y .

Неединичные мутации [ править ]

Определение мутации также применяется к необратимым элементам y . Если A конечномерно над R или C , обратимые элементы a в A плотны, поскольку обратимость эквивалентна условию, что det Q ( a ) So 0. Таким образом, по непрерывности тождество Жордана для собственных изменений влечет тождество Жордана для произвольных мутации. В общем, йорданова тождество может быть выведено из теоремы Макдональда для йордановой алгебры, поскольку она включает только два элемента йордановой алгебры. В качестве альтернативы, тождество Жордана можно вывести, реализовав мутацию внутри унитальной квадратичной алгебры. ^[5]

Для a в A определим квадратичную структуру на A ₁ = A ⊕ k следующим образом:

${\displaystyle \displaystyle {Q_{1}(a\oplus \alpha 1)(b\oplus \beta 1)=\alpha ^{2}\beta 1\oplus [\alpha ^{2}a+\alpha ^{2}b+2\alpha \beta a+\alpha \{a,y,b\}+\beta Q(a)y+Q(a)Q(y)b].}}$

Затем можно проверить, что ( A ₁ , Q ₁ , 1) - квадратичная йорданова алгебра с единицей. Унитальная йорданова алгебра, которой она соответствует, имеет A ^y в качестве идеала, так что, в частности, A ^y удовлетворяет йорданову тождеству. Тождества для квадратичной йордановой алгебры с единицей следуют из следующих свойств совместимости квадратичного отображения Q _y ( a ) = Q ( a ) Q ( y ) и квадратичного отображения S _y ( a ) = Q (а ) у :

• R _y ( a , a ) = L _y ( S _y ( a )).
• [ Q _y ( a ), L _y ( a )] = 0.
• Q _y ( a ) S _y ( a ) = S _y ( S _y ( a )).
• Q _y ∘ S _y = S _y ∘ Q _y .
• Q _y ( a ) Q _y ( b ) S _y ( a ) = S _y ( Q _y ( a ) b ).
• Q _y ( Q _y ( a ) b ) = Q _y ( a ) Q _y ( b ) Q _y ( a ) .

Личность Хуа [ править ]

Пусть A - йорданова алгебра с единицей. Если a , b и a - b обратимы, то выполняется тождество Хуа : ^[6]

:${\displaystyle \displaystyle {a^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}.}}$

В частности, если x и 1 - x обратимы, то также обратимы 1 - x ⁻¹ с

${\displaystyle \displaystyle {(1-x)^{-1}+(1-x^{-1})^{-1}=1.}}$

Чтобы доказать тождество для x , положим y = (1 - x ) ⁻¹ . Тогда L ( y ) = Q (1 - x ) ⁻¹ L (1 - x ) . Таким образом, L ( y ) коммутирует с L ( x ) и Q ( x ) . Поскольку Q ( y ) = Q (1 - x ) ⁻¹ , он также коммутирует с L ( x )и Q ( x ) . Поскольку L ( x ⁻¹ ) = Q ( x ) ⁻¹ L ( x ) , L ( y ) также коммутирует с L ( x ⁻¹ ) и Q ( x ⁻¹ ) .

Отсюда следует, что ( x ⁻¹ - 1) xy = (1 - x ) y = 1 . Кроме того, y - 1 = xy, поскольку (1 - x ) y = 1 . Итак, L ( xy ) коммутирует с L ( x ) и, следовательно, L ( x ⁻¹ - 1) . Таким образом, 1 - x ⁻¹ имеет обратный 1 - y .

Теперь пусть A ^a будет мутацией A, определяемой a . Единичный элемент A ^a равен a ⁻¹ . Более того, обратимый элемент c в A также обратим в A ^a с обратным Q ( a ) ⁻¹ c ⁻¹ .

Пусть x = Q ( a ) ⁻¹ b в A ^a . Он обратим в A , как и a ⁻¹ - Q ( a ) ⁻¹ b = Q ( a ) ⁻¹ ( a - b ) . Таким образом, в частном случае тождества Хуа для x в A ^a

${\displaystyle \displaystyle {a^{-1}=Q(a)^{-1}(a^{-1}-Q(a)^{-1}b)^{-1}+Q(a)^{-1}(a^{-1}-b^{-1})^{-1}=(a-b)^{-1}+(a-Q(a)b^{-1})^{-1}.}}$

Оператор Бергмана [ править ]

Если A - йорданова алгебра с единицей, оператор Бергмана определен для a , b в A согласно ^[7]

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=I-R(a,b)+Q(a)Q(b).}}$

Если a обратимо, то

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=Q(a)Q(a^{-1}-b);}}$

а если b обратимо, то

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)=Q(a-b^{-1})Q(b).}}$

Фактически, если a обратимо

Q ( a ) Q ( a ⁻¹ - b ) = Q ( a ) [ Q ( a ⁻¹ - 2 Q ( a ⁻¹ , b ) + Q ( b )] = I - 2 Q ( a ) Q ( a ⁻¹ , b ) + Q ( a ) Q ( b ) = I - R ( a , b ) + Q( а ) Q ( б )

и аналогично, если b обратимо.

В более общем смысле оператор Бергмана удовлетворяет версии коммутационного или гомотопического тождества:

и версия основного тождества:

Еще есть еще третья техническая идентичность:

Квазиобратимость [ править ]

Пусть A - конечномерная унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. ^[8] Для пары ( a , b ) с обратимыми a и a ⁻¹ - b определим

:${\displaystyle \displaystyle {a^{b}=(a^{-1}-b)^{-1}.}}$

В этом случае оператор Бергмана B ( a , b ) = Q ( a ) Q ( a ⁻¹ - b ) определяет обратимый оператор на A и

:${\displaystyle \displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}}$

По факту

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b)=Q(a^{b})Q(a^{-1})(a-Q(a)b)=Q(a^{b})(a^{b})^{-1}=a^{b}.}}$

Более того, по определению a ⁻¹ - b - c обратимо тогда и только тогда, когда ( a ^b ) ⁻¹ - c обратимо. В этом случае

:${\displaystyle \displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}}$

Действительно,

${\displaystyle \displaystyle {a^{b+c}=((a^{-1}-b)-c)^{-1}=((a^{b})^{-1}-c)^{-1}=(a^{b})^{c}.}}$

Предположение, что a обратимо, можно отбросить, поскольку a ^b можно определить, только предполагая, что оператор Бергмана B ( a , b ) обратим. Тогда пара ( a , b ) называется квазиобратимой . В этом случае a ^b определяется формулой

${\displaystyle \displaystyle {a^{b}=B(a,b)^{-1}(a-Q(a)b).}}$

Если B ( a , b ) обратимо, то B ( a , b ) c = 1 для некоторого c . Фундаментальное тождество следует , что B ( , б ) Q ( с ) В ( Ь , ) = I . Итак, по конечномерности B ( b , a ) обратимо. Таким образом, ( a , b ) обратимо тогда и только тогда, когда ( b , a ) обратима и в этом случае

По факту

B ( a , b ) ( a + Q ( a ) b ^a ) = a - 2 R ( a , b ) a + Q ( a ) Q ( b ) a + Q ( a ) ( b - Q ( b ) a) ) = a - Q ( a ) b ,

поэтому формула следует из применения B ( a , b ) ⁻¹ к обеим сторонам.

Как и раньше ( a , b + c ) квазиобратимо тогда и только тогда, когда ( a ^b , c ) квазиобратимо; и в этом случае

${\displaystyle \displaystyle {a^{b+c}=(a^{b})^{c}.}}$

Если k = R или C , это следует по непрерывности из частного случая, когда a и a ⁻¹ - b обратимы. В общем случае для доказательства требуется четыре тождества для оператора Бергмана:

Фактически, применяя Q к тождеству B ( a , b ) a ^b = a - Q ( a ) b, получаем

${\displaystyle \displaystyle {B(a,b)Q(a^{b})B(b,a)=B(a,b)Q(a)=Q(a)B(b,a).}}$

Первое тождество следует путем сокращения B ( a , b ) и B ( b , a ) . Второе тождество следует аналогичным сокращением в

B ( a , b ) Q ( a ^b , c ) B ( b , a ) = Q ( B ( a , b ) a ^b , B ( a , b ) c ) = Q ( a - Q ( a ) b , B ( a , b ) c ) = B ( a ,б ) ( Q ( a , c ) - R ( c , b ) Q ( a )) = ( Q ( a , c ) - Q ( a ) R ( b , c )) B ( b , a ) .

Третья идентичность следует, применяя вторую идентичность к элементу d и затем меняя роли c и d . Четвертый следует потому, что

B ( a , b ) B ( a ^b , c ) = B ( a , b ) ( I - R ( a ^b , c ) + Q ( a ^b ) Q ( c )) = I - R ( a , b + в ) + Q ( a ) Q ( b + c ) = B (а , б + в ) .

Фактически ( a , b ) квазиобратимо тогда и только тогда, когда a квазиобратимо в мутации A ^b . Поскольку эта мутация не обязательно может быть унитальной, это означает, что когда тождество присоединено к 1 - a становится обратимым в A ^b ⊕ k 1 . Это состояние можно выразить следующим образом, не говоря уже о мутации или гомотопе:

Фактически, если ( a , b ) квазиобратимо, то c = a ^b по определению удовлетворяет первому тождеству. Второе следует потому, что B ( a , b ) Q ( a ^b ) = Q ( a ) . Наоборот, условия утверждают, что в A ^b ⊕ k 1 из условий следует, что 1 + c является обратным к 1 - a . С другой стороны, (1 - a ) ∘ x= B ( a , b ) x для x в A ^b . Следовательно, B ( a , b ) обратимо.

Отношение эквивалентности [ править ]

Пусть A - конечномерная унитальная йорданова алгебра над полем k характеристики ≠ 2. ^[9] Две пары ( a _i , b _i ) с обратимым a _i называются эквивалентными, если ( a ₁ ) ⁻¹ - b ₁ + b ₂ обратима и a ₂ = ( a ₁ ) ^{b ₁ - b ₂} .

Это отношение эквивалентности, поскольку, если a обратимо, a ⁰ = a, так что пара ( a , b ) эквивалентна самой себе. Он симметричен, поскольку из определения a ₁ = ( a ₂ ) ^{b ₂ - b ₁} . Это переходно. Ведь предположим, что ( a ₃ , b ₃ ) - третья пара с ( a ₂ ) ⁻¹ - b ₂ + b ₃обратимый и a ₃ = ( a ₂ ) ^{b ₂ - b ₃} . Из вышеизложенного

${\displaystyle \displaystyle {a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{3}=(a_{1}^{-1}-b_{1}+b_{2})-b_{2}+b_{3}=a_{2}^{-1}-b_{2}+b_{3}}}$

обратима и

${\displaystyle \displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}}$

Что касается квазиобратимости, это определение может быть расширено на случай, когда a и a ⁻¹ - b не считаются обратимыми.

Две пары ( a _i , b _i ) называются эквивалентными, если ( a ₁ , b ₁ - b ₂ ) квазиобратимы и a ₂ = ( a ₁ ) ^{b ₁ - b ₂} . Когда k = R или C , тот факт, что это более общее определение также дает отношение эквивалентности, можно вывести из обратимого случая по непрерывности. Для общего k это также можно проверить напрямую:

• Отношение рефлексивно, поскольку ( a , 0) квазиобратимо и a ⁰ = a .
• Отношение симметрично, так как a ₁ = ( a ₂ ) ^{b ₂ - b ₁} .
• Отношение транзитивное. В самом деле, предположим, что ( a ₃ , b ₃ ) является третьей парой с ( a ₂ , b ₂ - b ₃ ) квазиобратимой и a ₃ = ( a ₂ ) ^{b ₂ - b ₃} . В таком случае

${\displaystyle \displaystyle {B(a_{1},b_{1}-b_{3})=B(a_{1},b_{1}-b_{2})B(a_{2},b_{2}-b_{3}),}}$

так что ( a ₁ , b ₁ - b ₃ ) квазиобратимо с

${\displaystyle \displaystyle {a_{3}=a_{2}^{b_{2}-b_{3}}=(a_{1}^{b_{1}-b_{2}})^{b_{2}-b_{3}}=a_{1}^{b_{1}-b_{3}}.}}$

Класс эквивалентности ( a , b ) обозначается ( a : b ) .

Структурные группы [ править ]

Пусть A - конечномерная комплексная полупростая йорданова алгебра с единицей. Если T - оператор на A , пусть T ^t будет его транспонированным относительно формы следа. Таким образом, L ( a ) ^t = L ( a ) , Q ( a ) ^t = Q ( a ) , R ( a , b ) ^t = R ( b , a ) и B (а , б ) ^t = В ( б , а ) . Структура группы из А состоит из г в GL ( ) такимчто

${\displaystyle \displaystyle {Q(ga)=gQ(a)g^{t}.}}$

Они образуют группу Γ ( A ) . Группа автоморфизмов Aut A группы A состоит из обратимых комплексных линейных операторов g таких, что L ( ga ) = gL ( a ) g ⁻¹ и g1 = 1. Поскольку автоморфизм g сохраняет форму следа, g ⁻¹ = g ^t .

• Структурная группа замкнута относительно транспонирования g ↦ g ^t и присоединения к g ↦ g *.
• Структурная группа содержит группу автоморфизмов. Группу автоморфизмов можно отождествить со стабилизатором единицы в структурной группе.
• Если a обратимо, Q ( a ) принадлежит структурной группе.
• Если g находится в структурной группе и a обратима, ga также обратима с ( ga ) ⁻¹ = ( g ^t ) ⁻¹ a ⁻¹ .
• Структура группы Γ ( ) действует транзитивно на множестве обратимых элементов в A .
• Каждый г в Г ( ) имеет вид г = ч Q ( а ) с ч Автоморфизмом и обратимый.

Комплексная йорданова алгебра A является комплексификацией вещественной евклидовой йордановой алгебры E , для которой форма следа определяет скалярное произведение. Существует связанный с ним инволюция ↦ * на А , которая приводит к появлению сложного внутреннего продукта на A . Унитарная структура группы Γ _U ( ) является подгруппой группы Г ( А ) , состоящий из унитарных операторов, так что Γ _U ( ) = Γ ( ) ∩ U ( ) . Компонента единицы графа Γ _u () Обозначается через K . Это связная замкнутая подгруппа в U ( A ) .

• Стабилизатор 1 в Г _¯u ( A ) является Aut Е .
• Каждый g в Γ _u ( A ) имеет вид g = h Q ( u ) с h в Aut E и обратимым u в A с u * = u ⁻¹ .
• Γ ( A ) - комплексификация Γ _u ( A ).
• Множество S обратимых элементов u в A таких, что u * = u ⁻¹ может быть эквивалентно охарактеризовано либо как те u, для которых L ( u ) является нормальным оператором с uu * = 1, либо как те u вида exp ia для некоторые в Е . В частности, S связан.
• Компонента единицы графа Γ _u ( A ) транзитивно действует на S
• Для жордановой шкалы ( e _i ) и v в A существует оператор u в компоненте тождества Γ _u ( A ) такой, что uv = ∑ α _i e _i с α _i ≥ 0. Если v обратима, то α _я > 0.

Структура группы Γ ( ) естественным образом действует на X . ^[10] Для g в Γ ( A ) положим

${\displaystyle \displaystyle {g(a,b)=(ga,(g^{t})^{-1}b).}}$

Тогда ( x , y ) квазиобратимо тогда и только тогда, когда ( gx , ( g ^t ) ⁻¹ y ) квазиобратимо и

${\displaystyle \displaystyle {g(x^{y})=(gx)^{(g^{t})^{-1}y}.}}$

Фактически из ковариационных соотношений для g с Q и обратным следует, что

${\displaystyle \displaystyle {gB(x,y)g^{-1}=B(gx,(g^{t})^{-1}y)}}$

если x обратим, и так везде по плотности. В свою очередь, это означает соотношение для квазиобратного. Если a обратимо, то Q ( a ) лежит в Γ ( A ), а если ( a , b ) квазиобратимо, то B ( a , b ) лежит в Γ ( A ). Так оба типа операторов действует на X .

Определяющие соотношения для структурной группы показывают, что это замкнутая подгруппа в GL ( A ) . Поскольку Q ( e ^a ) = e ^{2 L ( a )} , соответствующая комплексная алгебра Ли содержит операторы L ( a ) . Коммутаторы [ L ( ), л ( б )] оболочка комплексной алгебры Ли дифференцирования А . Операторы R ( a , b ) = [ L (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$a ), L ( b )] + L ( ab ) промежутоки удовлетворяет R ( a , b ) ^t = R ( b , a ) и [ R ( a , b ), R ( c , d )] = R ( R ( a , b ) c , d ) - R ( c , R (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$б , а ) г ) .

Геометрические свойства фактор-пространства [ править ]

Пусть A - конечномерная комплексная унитальная йорданова алгебра, которая полупроста , т. Е. Форма следа Tr L ( ab ) невырождена. Пусть X будет фактором A × A по отношению эквивалентности. Пусть X _b - подмножество X классов ( a : b ) . Отображение φ _b : X _b → A , ( a : b ) ↦ a инъективно. Подмножество U изX определяется как открытый тогда и только тогда, когда U ∩ X _b открыто для всех b .

В картах переходов этих атласа с диаграммами ф _Ь определяется

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{cb}=\varphi _{c}\circ \varphi _{b}^{-1}:\varphi _{b}(X_{b}\cap X_{c})\rightarrow \varphi _{c}(X_{b}\cap X_{c}).}}$

и инъективны и голоморфны, поскольку

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{cb}(a)=a^{b-c}}}$

с производной

${\displaystyle \displaystyle {\varphi _{cb}^{\prime }(a)=B(a,b-c)^{-1}.}}$

Это определяет структуру комплексного многообразия на X, поскольку φ _dc ∘ φ _cb = φ _db на φ _b ( X _b ∩ X _c ∩ X _d ) .

В самом деле, все полиномиальные функции p _i ( b ) = det B ( a _i , b _i - b ) нетривиальны, поскольку p _i ( b _i ) = 1 . Следовательно, существует b такое, что p _i ( b ) ≠ 0 для всех i , что в точности является критерием того, что ( a _i : b _i ) лежит в X _b .

Лоос (1977) использует Бергман оператор построить явный биголоморфизм между X и замкнутой гладкой алгебраической подмногообразией в комплексном проективном пространстве . ^[11] Отсюда, в частности, следует, что X компактно. Существует более прямое доказательство компактности с использованием групп симметрии.

Для жордановой шкалы ( e _i ) в E для любого a в A существует k в U = Γ _u ( A ) такой, что a = k (∑ α _i e _i ) с α _i ≥ 0 (и α _i > 0, если a обратимо). Фактически, если ( a , b ) находится в X, то это эквивалентно k ( c , d) с c и d в унитальной йордановой подалгебре A _e = ⊕ C e _i , которая является комплексификацией E _e = ⊕ R e _i . Пусть Z - комплексное многообразие, построенное для A _e . Поскольку A _e является прямой суммой копий C , Z - это просто произведение сфер Римана, по одной для каждого e _i . В частности, он компактный. Существует естественное отображение Z в X, которое непрерывно. Пусть Yкак образ Z . Он компактен и поэтому совпадает с замыканием Y ₀ = A _e ⊂ A = X ₀ . Множество U ⋅ Y является непрерывным образом компакта U × Y . Поэтому он компактный. С другой стороны, U ⋅ Y ₀ = X ₀ , так что она содержит плотное подмножество X и должно , следовательно , совпадает с X . Итак, X компактен.

Приведенное выше рассуждение показывает, что каждый ( a , b ) в X эквивалентен k ( c , d ) с c и d в A _e и k в Γ _u ( A ) . Отображение Z в X на самом деле является вложением. Это является следствием ( х , у ) являются квази-обратит в А _е тогда и только тогда , когда это квази-обратит в А . Действительно, если B (x , y ) инъективно на A , его ограничение на A _e также инъективно. С другой, два уравнения для квазиобратного в А _е означаетчто она также является квазиобратной в A .

Преобразования Мебиуса [ править ]

Пусть A - конечномерная комплексная полупростая йорданова алгебра с единицей. Группы SL (2, C ) действует путем преобразования Мёбиуса на римановой сферы C ∪ {∞}, в одной точке компактификацией из C . Если g в SL (2, C ) задается матрицей

${\displaystyle \displaystyle {g={\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{pmatrix}},}}$

тогда

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=(\alpha z+\beta )(\gamma z+\delta )^{-1}.}}$

Существует обобщение этого действия SL (2, C ) к А и его компактификации X . Чтобы определить это действие, обратите внимание, что SL (2, C ) порождается тремя подгруппами нижних и верхних унитреугольных матриц и диагональных матриц. Он также генерируется нижними (или верхними) унитреугольными матрицами, диагональными матрицами и матрицей

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}.}}$

Матрица J соответствует преобразованию Мёбиуса j ( z ) = - z ⁻¹ и может быть записана

${\displaystyle \displaystyle {J={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}.}}$

Преобразования Мёбиуса, фиксирующие ∞, являются просто верхнетреугольными матрицами. Если g не фиксирует ∞, он переводит ∞ в конечную точку a . Но тогда g можно составить с верхним унитреугольником, чтобы отправить a в 0, а затем с J, чтобы отправить 0 в бесконечность.

Для элемента a из A действие g в SL (2, C ) определяется той же формулой

${\displaystyle \displaystyle {g(a)=(\alpha a+\beta 1)(\gamma a+\delta 1)^{-1}.}}$

Это определяет элемент C [ ] при условии , что γ + δ1 обратим в А . Таким образом, действие определено всюду на A, если g верхнетреугольный. С другой стороны, действие на X просто определить для нижнетреугольных матриц. ^[12]

• Для диагональных матриц г с диагональными элементами α и α ^-1 , г ( , б ) = (α ² , α ^-2 б ) представляет собой хорошо определенное голоморфное действие на А ² , которая проходит в фактор - X . На X ₀ = A это согласуется с действием Мёбиуса.
• Для нижних унитреугольных матриц с недиагональным параметром γ определим g ( a , b ) = ( a , b - γ1) . Опять же, это голоморфная на А ² и переходит в фактор X . Когда b = 0 и γ ≠ 0 ,

${\displaystyle \displaystyle {g(a:0)=(a:-\gamma )=(a^{-\gamma }:0)=(a(\gamma a+1)^{-1}:0)}}$

если γ a + 1 обратимо, значит, это расширение действия Мёбиуса.

• Для верхних унитреугольных матриц с недиагональным параметром β действие на X ₀ = ( A : 0) определяется как g ( a , 0) = ( a + β1) . Лоос (1977) показал , что это определил сложный поток одного параметра на A . Соответствующее голоморфное комплексное векторное поле расширено на X , так что действие на компактном комплексном многообразии X может быть определено ассоциированным комплексным потоком. Более простой метод состоит в том, чтобы отметить, что оператор J может быть реализован напрямую, используя его взаимосвязанные отношения с унитарной структурной группой.

Фактически на обратимых элементах в A оператор j ( a ) = - a ⁻¹ удовлетворяет условию j ( ga ) = ( g ^t ) ⁻¹ j ( a ) . Чтобы определить биголоморфизм j на X такой, что j ∘ g = ( g ^t ) ⁻¹ ∘ j , достаточно определить их для ( a : b ) на некоторой подходящей орбите Γ ( A ) или Γ _u( А ). С другой стороны, как указано выше, для жордановой шкалы ( e _i ) в E для каждого a в A существует k в U = Γ _u ( A ) такой, что a = k (∑ α _i e _i ) с α _я ≥ 0 .

Вычисление j в ассоциативной коммутативной алгебре A _e несложно, поскольку это прямое произведение. При c = ∑ α _i e _i и d = ∑ β _i e _i оператор Бергмана на A _e имеет определитель det B ( c , d ) = ∏ (1 - α _i β _i ) ² . В частности, det B ( c , d - λ) ≠ 0 для некоторого λ ≠ 0. Так что ( c ,d ) эквивалентно ( x , λ) . Пусть μ = −λ ⁻¹ . На A для плотного множества a пара ( a , λ) эквивалентна ( b , 0) собратимым b . Тогда (- b ⁻¹ , 0) эквивалентно (μ - μ ² a , μ) . Поскольку a ↦ μ - μ ² a голоморфно, j имеет единственное непрерывное продолжение на X такое, что j∘ г = ( г ^т ) ^-1 ∘ J для г в Г ( А ) , то расширение голоморфен и Х ≠ 0 , μ = -λ ^-1

Голоморфные преобразования, соответствующие верхним унитреугольным матрицам, могут быть определены, используя тот факт, что они являются сопряженными с помощью J нижних унитреугольных матриц, для которых действие уже известно. Прямая алгебраическая конструкция дана в Dineen, Mackey & Mellon (1999) .

Это действие SL (2, C ) совместимо с включениями. В более общем смысле, если е ₁ , ..., е _т представляет собой раму Джордан, есть действие SL (2, С ) ^т на A _е , которая простирается до А . Если c = γ _i e _i и b = β _i e _i , то S ( c ) и T ( b ) задают действие произведения нижней и верхней унитреугольных матриц. Еслиa = ∑ α _i e _i обратимо, соответствующее произведение диагональных матриц действует как W = Q ( a ) . ^[13] В частности, диагональные матрицы определяют действие ( C *) ^m и T ^m .

Группа голоморфной симметрии [ править ]

Пусть A - конечномерная комплексная полупростая йорданова алгебра с единицей. Существует переходное голоморфное действие комплексной матрицы группы G на компактном комплексном многообразии X . Кочер (1967) описал G аналогично SL (2, C ) в терминах генераторов и соотношений. G действует на соответствующей конечномерной алгебре Ли голоморфных векторных полей, ограниченных на X ₀ = A , так что G реализуется как замкнутая матричная группа. Это комплексификация компактной группы Ли без центра, а значит, полупростой алгебраической группы. Компонент идентичностиКомпактная группа H действует на X транзитивно, так что X можно идентифицировать как эрмитово симметрическое пространство компактного типа. ^[14]

Группа G порождается тремя типами голоморфных преобразований на X :

• Операторы W, соответствующие элементам W в Γ ( A ), заданным формулой W ( a , b ) = ( Wa , ( W ^t ) ⁻¹ b ) . Это уже было описано выше. На X ₀ = A , они даны в ↦ Wa .
• Операторы S _c определены как S _c ( a , b ) = ( a , b + c ) . Они являются аналогом нижних унитреугольных матриц и образуют подгруппу, изоморфную аддитивной группе матрицы A , с заданной параметризацией. Опять они действуют голоморфно на А ² , и действие переходит на фактор X . На A действие задается a ↦ a ^c, если ( a , c ) квазиобратимо.
• Преобразование j, соответствующее J в SL (2, C ) . Она была построена выше , как часть действия PSL (2, С ) = SL (2, С ) / {± я } на X . На обратимых элементах в A он задается как a ↦ - a ⁻¹ .

Операторы W нормализуют группу операторов S _c . Аналогично оператор j нормализует структурную группу, j ∘ W = ( W ^t ) ⁻¹ ∘ j . Операторы Т _с = J ∘ S _{- с} ∘ J также образуют группу голоморфных преобразований , изоморфных аддитивной группе А . Они обобщают верхнюю унитреугольную подгруппу SL (2, C ) . Эта группа нормирована операторами Wструктурной группы. Оператор T _c действует на A как a ↦ a + c . Если c - скаляр, то операторы S _c и T _c совпадают с операторами, соответствующими нижним и верхним унитреугольным матрицам в SL (2, C ) . Соответственно, существует соотношение J = S ₁ ∘ Т ₁ ∘ S ₁ и PSL (2, С ) является подгруппой группы G . Лоос (1977)определяет операторы T _c в терминах потока, ассоциированного с голоморфным векторным полем на X , в то время как Dineen, Mackey & Mellon (1999) дают прямое алгебраическое описание.

Действительно, S _b T _a (0: 0) = ( a : b ) .

Пусть G ₋₁ и G ₊₁ - комплексные абелевы группы, образованные симметриями T _c и S _c соответственно. Пусть G ₀ = Γ ( A ) .

Два выражения для G эквивалентны следующим образом сопряжением с помощью j .

Для более обратима, тождество Хуа можно переписать

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}}$

Кроме того, j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ и S _c = j ∘ T _{- c} ∘ j . ^[15]

Соотношения согласованности показывают, что элементы G попадают в множества G ₀ G ₁ , G ₀ G ₁ jG ₁ , G ₀ G ₁ jG ₁ jG ₁ , G ₀ G ₁ jG ₁ jG ₁ jG ₁ . ... Первое выражение для G следует после того, как будет установлено, что новые элементы не появляются в четвертом или последующих наборах. Для этого достаточно показать, что ^[16]

J ∘ G ₁ ∘ J ∘ G ₁ ∘ J ⊆ G ₀ G ₁ ∘ J ∘ G ₁ ∘ J ∘ G ₁ .

Ибо тогда, если существует три или более вхождения j , число может быть рекурсивно уменьшено до двух. Для заданных a , b в A выберем λ so 0 так, чтобы c = a - λ и d = b - λ ⁻¹ были обратимы. потом

${\displaystyle \displaystyle {jT_{a}jT_{b}j=jT_{c}T_{\lambda }jT_{\lambda ^{-1}}T_{d}\circ j=\lambda ^{2}jT_{c}jT_{-\lambda }jT_{d}\ j=\lambda ^{2}T_{-c^{-1}}jQ(c^{-1})T_{-c^{-1}-\lambda -d^{-1}}jQ(d^{-1})jT_{-d^{-1}},}}$

которое лежит в G ₀ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ ∘ j ∘ G ₁ .

Достаточно проверить, что если S _a T _b (0: 0) = (0: 0) , то b = 0 . Если так ( b : 0) = (0: - a ) = (0: 0) , значит, b = 0 .

Обменные отношения [ править ]

Для более обратима, тождество Хуа можно переписать

${\displaystyle \displaystyle {Q(a)=T_{a}\circ j\circ T_{a^{-1}}\circ j\circ T_{a}\circ j.}}$

Поскольку j = S ₁ ∘ T ₁ ∘ S ₁ , операторы Q ( a ) принадлежат группе, порожденной G _{± 1} . ^[17]

Для квазиобратимых пар ( a , b ) существуют «отношения обмена» ^[18]

Это тождество показывает, что B ( a , b ) входит в группу, порожденную G _{± 1} . Взяв обратное, это эквивалентно тождеству T _a S _b = S _{b ^a} B ( a , b ) T _{a ^b} .

Чтобы доказать обменные отношения, достаточно проверить, что они верны в применении к точкам плотного множества точек ( c : 0) в X, для которых ( a + c , b ) квазиобратимо. Затем он сводится к идентичности:

Фактически, если ( a , b ) квазиобратимо, то ( a + c , b ) квазиобратимо тогда и только тогда, когда ( c , b ^a ) квазиобратимо. Это следует потому, что ( x , y ) квазиобратимо тогда и только тогда, когда ( y , x ) есть. Более того, в этом случае верна приведенная выше формула.

Для доказательства требуются еще два тождества:

${\displaystyle \displaystyle {B(c+b,a)=B(c,a^{b})B(b,a)}}$

${\displaystyle \displaystyle {R(a,b)=R(a^{b},b-Q(b)a)=R(a-Q(a)b,b^{a})}}$

Первое следует из предыдущего тождества путем применения транспонирования. Для второго из-за транспонирования достаточно доказать первое равенство. Положив c = b - Q ( b ) a в тождество B ( a , b ) R ( a ^b , c ) = R ( a , c ) - Q ( a ) Q ( b , c ), получим

B ( a , b ) R ( a ^b , b - Q ( b ) c ) = B ( a , b ) R ( a , b ),

так что тождество следует сокращением B ( a , b ) .

Чтобы доказать формулу, соотношения ( a + c ) ^b = B ( a , c ) ⁻¹ ( a + c - Q ( a + c ) b ) и a ^b + B ( a , b ) ⁻¹ c ^{( b а )} = B ( a + c , b ) ⁻¹ ( B (c , b ^a ) ( a - Q ( a ) b ) + c - Q ( c ) b ^a ) показывают, что достаточно доказать, что

a + c - Q ( a + c ) b = B ( c , b ^a ) ( a - Q ( a ) b ) + c - Q ( c ) b ^a .

В самом деле, B ( c , b ^a ) ( a - Q ( a ) b ) + c - Q ( c ) b ^a = a + c - Q ( a ) b + 2 R ( c , b ^a ) ( a - Q ( а ) б ) - Q ( в ) [ б ^а - Q( б ^а ) ( а - Q ( а ) б )] . С другой стороны, 2 R ( c , b ^a ) ( a - Q ( a ) b ) = 2 R ( c , a - Q ( a ) b ) b ^a = R ( a , b ) c = 2 Q ( а , в )b и b ^a - Q ( b ^a ) ( a - Q ( a ) b ) = b ^a - Q ( b ) B ( a , b ) ⁻¹ ( a - Q ( a ) b ) = b ^a - Q ( б ) а ^б = б . Итак, B ( c , b ^a) ( a - Q ( a ) b ) + c - Q ( c ) b ^a = a + c - Q ( a ) b - 2 Q ( a , c ) b - Q ( c ) b = a + c - Q ( а + в ) б .

Теперь положим Ω = G ₊₁ G ₀ G ₋₁ . Тогда из соотношений обмена следует, что S _b T _a лежит в Ω тогда и только тогда, когда ( a , b ) квазиобратимо; и что g лежит в Ω тогда и только тогда, когда g (0: 0) принадлежит X ₀ . ^[19]

Фактически, если S _b T _a лежит в Ω , то ( a , b ) эквивалентно ( x , 0) , так что это квазиобратимая пара; обратное следует из соотношений обмена. Ясно, что Ω (0: 0) = G ₁ (0: 0) = X ₀ . Обратное следует из G = G ₋₁ G ₁ G ₀ G ₋₁ и критерия того, что S _b T _a лежит в Ω .

Алгебра Ли голоморфных векторных полей [ править ]

Компактное комплексное многообразие X моделируется на пространстве A . Производные отображений перехода описывают касательное расслоение через голоморфные функции перехода F _bc : X _b ∩ X _c → GL ( A ) . Они задаются формулой F _bc ( a , b ) = B ( a , b - c ) , поэтому структурная группа соответствующего главного расслоения сводится к Γ ( A ), Структура группы A . ^[20] Соответствующее голоморфное векторное расслоение со слоем А является касательным расслоением комплексного многообразия X . Его -голоморфные секции просто голоморфных векторных полей на X . Они могут быть определены непосредственно используя тот факт , что они должны быть инвариантны относительно естественного присоединенного действия известных голоморфных симметрий X . Они образуют конечномерную комплексную полупростую алгебру Ли. Ограничение этих векторных полей на X ₀ можно описать явно. Прямым следствием этого описания является то, что алгебра Ли трехградуирована и что группа голоморфных симметрий X, Описывается образующими и соотношениями в Кехере (1967) и Лоос (1979) , является комплексной линейной алгебраической группой полупроста , что совпадает с группой биголоморфизмов X .

Алгебры Ли трех подгрупп голоморфных автоморфизмов X порождающие линейных пространств голоморфных векторных полей на X и , следовательно , X ₀ = A .

• Структурная группа Γ ( A ) имеет алгебру Ли, натянутую на операторы R ( x , y ) . Они определяют комплексная алгебра Ли линейных векторных полей в н- R ( х , у ) на A .${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
• Операторы сдвига действуют на A как T _c ( a ) = a + c . Соответствующие однопараметрические подгруппы задаются T _tc и соответствуют постоянным векторным полям a ↦ c . Они дают алгебру абелевой Ли векторных полей на A .${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}}$
• Операторы S _c, определенные на X формулой S _c ( a , b ) = ( a , b - c ) . Соответствующие группы один параметр S _дц определить квадратичные векторные поля в ↦ Q ( ) C на A . Они дают алгебру абелевой Ли векторных полей на A .${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$