Функции Нэша
В реальной алгебраической геометрии функцией Нэша на открытом полуалгебраическом подмножестве U ⊂ Rn называется аналитическая функция f : U → R , удовлетворяющая нетривиальному полиномиальному уравнению P ( x , f ( x )) = 0 для всех x в U ( полуалгебраическая подмножество Rn — это подмножество, полученное из подмножеств формы { x в Rn : P ( x ) = 0} или { xв Rn : P ( x ) > 0}, где P — многочлен, путем конечных объединений, конечных пересечений и дополнений). Некоторые примеры функций Нэша:
Функции Нэша - это те функции, которые необходимы для того, чтобы иметь теорему о неявной функции в реальной алгебраической геометрии.
Наряду с функциями Нэша определяются многообразия Нэша , которые являются полуалгебраическими аналитическими подмногообразиями некоторого Rn . Тогда отображение Нэша между многообразиями Нэша является аналитическим отображением с полуалгебраическим графом. Функции и многообразия Нэша названы в честь Джона Форбса Нэша-младшего , который доказал (1952), что любое компактное гладкое многообразие допускает структуру многообразия Нэша, т . е. диффеоморфно некоторому многообразию Нэша. В более общем смысле гладкое многообразие допускает структуру многообразия Нэша тогда и только тогда, когда оно диффеоморфно внутренности некоторого компактного гладкого многообразия, возможно, с краем. Результат Нэша был позже (1973 г.) завершен Альберто Тоньоли.кто доказал, что любое компактное гладкое многообразие диффеоморфно некоторому аффинному вещественному алгебраическому многообразию; на самом деле любое многообразие Нэша диффеоморфно Нэшу аффинному вещественному алгебраическому многообразию. Эти результаты иллюстрируют тот факт, что категория Нэша является чем-то средним между гладкой и алгебраической категориями.
Локальные свойства функций Нэша хорошо изучены. Кольцо ростков функций Нэша в точке многообразия Нэша размерности n изоморфно кольцу алгебраических степенных рядов от n переменных (т. е. рядов, удовлетворяющих нетривиальному полиномиальному уравнению), которое является гензелизацией кольца ростков рациональных функций. В частности, это регулярное локальное кольцо размерности n .
Глобальные свойства получить сложнее. Тот факт, что кольцо функций Нэша на многообразии Нэша (даже некомпактном) является нётеровым , был независимо доказан (1973 г.) Жан-Жаком Рислером и Гюставом Эфроймсоном. Многообразия Нэша обладают свойствами, аналогичными теоремам Картана A и B о многообразиях Штейна , но более слабыми . Пусть обозначает пучок ростков функции Нэша на многообразии Нэша M , а — когерентный пучок -идеалов . Предположим , что конечно, т. е. существует конечное открытое полуалгебраическое покрытие M такое, что для каждого i порождается функциями Нэша на. Тогда глобально порождается функциями Нэша на M , и естественное отображение
