В математике теорема Ньютона об овалах утверждает, что площадь, отсеченная секущей гладкого выпуклого овала, не является алгебраической функцией секущей.
Исаак Ньютон сформулировал это как лемму 28 раздела VI книги 1 Принципов Ньютона и использовал ее, чтобы показать, что положение планеты, движущейся по орбите, не является алгебраической функцией времени. Были некоторые разногласия по поводу правильности этой теоремы, потому что Ньютон не уточнил, что он имел в виду под овалом, и для некоторых интерпретаций слова овал теорема верна, а для других - ложна. Если «овал» означает «непрерывная выпуклая кривая», то существуют контрпримеры, такие как треугольники или одна из долей лемнискаты Гюйгенса y 2 = x 2 - x 4 , в то время как Арнольд (1989) указал, что если «овал» означает «бесконечно дифференцируемая выпуклая кривая», то утверждение Ньютона является правильным, и его аргументы содержат существенные этапы строгого доказательства.
Васильев (2002) обобщил теорему Ньютона на более высокие измерения.
Заявление
Английский перевод оригинального утверждения Ньютона ( Newton 1966 , лемма 28, раздел 6, книга I):
- «Не существует овальной фигуры, площадь которой, по желанию обрезаемой прямыми линиями, можно универсально найти с помощью уравнений любого числа конечных членов и размеров».
Выражаясь современным математическим языком, Ньютон по существу доказал следующую теорему:
- Не существует выпуклой гладкой (то есть бесконечно дифференцируемой) кривой такой, что площадь, отрезанная прямой ax + by = c, является алгебраической функцией от a , b и c .
Другими словами, «овал» в утверждении Ньютона должен означать «выпуклая гладкая кривая». Бесконечная дифференцируемость во всех точках необходима: для любого натурального числа n существуют алгебраические кривые, гладкие во всех точках, кроме одной, и дифференцируемые n раз в оставшейся точке, для которых область, отрезанная секущей, является алгебраической.
Ньютон заметил, что аналогичный аргумент показывает, что длина дуги (гладкого выпуклого) овала между двумя точками не задается алгебраической функцией точек.
Доказательство Ньютона
Ньютон взял начало P внутри овала и рассмотрел спираль точек ( r , θ ) в полярных координатах, расстояние r от P - это площадь, отсеченная линиями от P с углами 0 и θ . Затем он заметил, что эта спираль не может быть алгебраической, поскольку она имеет бесконечное количество пересечений с прямой, проходящей через точку P , поэтому площадь, отсеченная секущей, не может быть алгебраической функцией секущей.
Это доказательство требует, чтобы овал и, следовательно, спираль были гладкими; в противном случае спираль могла бы быть бесконечным объединением частей различных алгебраических кривых. Это то, что происходит в различных «контрпримерах» теоремы Ньютона для негладких овалов.
Рекомендации
- Арнольд В.И. (1989), "Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в Принципах Ньютона", Историко-математические исследования (31): 7–17, ISSN 0136-0949 , MR 0993175
- Арнольд, VI ; Васильев В.А. (1989), «Принципы Ньютона, прочитанные 300 лет спустя», Уведомления Американского математического общества , 36 (9): 1148–1154, ISSN 0002-9920 , MR 1024727
- Ньютон, I. (1966), Principia Vol. I Движение тел , переведенное Эндрю Моттом (1729 г.), пересмотренное Флорианом Каджори (1934 г.) (на основе 2-го издания Ньютона (1713 г.)), Беркли, Калифорния: University of California Press, ISBN 978-0-520-00928-8Альтернативный перевод более раннего (2-го) издания Начала Ньютона .
- Песик, Питер (2001), "Справедливость Ньютона леммы 28", Historia Mathematica , 28 (3): 215-219, DOI : 10,1006 / hmat.2001.2321 , ISSN 0315-0860 , MR 1849799
- Пошью, Брюс (2001), "Об интегрируемости овалов: Ньютона леммы 28 и ее контрпримеры", Архив для истории точных наук , 55 (5): 479-499, DOI : 10.1007 / s004070000034 , ISSN 0003-9519 , MR 1827869
- Васильев В.А. (2002), Прикладная теория Пикара-Лефшеца , Математические обзоры и монографии, 97 , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , DOI : 10.1090 / Surv / 097 , ISBN 978-0-8218-2948-6, MR 1930577