Нормальная смесь средней дисперсии

В теории вероятностей и статистике , A нормальная дисперсия, среднее смесь при перемешивании плотности вероятности является непрерывным распределением вероятностей случайной величины вида${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Y}$

${\ Displaystyle Y = \ альфа + \ бета V + \ sigma {\ sqrt {V}} X,}$

где , и действительные числа, а также случайные величины и являются независимыми , как распределены нормально с нулевым средним и дисперсией один, и будет непрерывно распределяется на положительной полуоси с функцией плотности вероятности . Условное распределение по данности , таким образом , нормальное распределение со средним и дисперсией . Нормальную смесь средних значений дисперсии можно рассматривать как распределение определенного количества в неоднородной популяции, состоящей из множества различных нормально распределенных субпопуляций. Это распределение позиции${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle \ sigma> 0}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle \ альфа + \ бета V}$${\ displaystyle \ sigma ^ {2} V}$Винеровский процесс (броуновское движение) с дрейфом и бесконечно малой дисперсией, наблюдаемый в случайный момент времени, не зависящий от винеровского процесса, и с функцией плотности вероятности . Важным примером смесей нормальных средних значений дисперсии является обобщенное гиперболическое распределение, в котором распределение смешения является обобщенным обратным распределением Гаусса .${\ displaystyle \ beta}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle g}$

Функция плотности вероятности нормальной смеси среднего дисперсии с плотностью вероятности смешивания равна${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}v}}}\exp \left({\frac {-(x-\alpha -\beta v)^{2}}{2\sigma ^{2}v}}\right)g(v)\,dv}$

а его производящая функция момента равна

${\displaystyle M(s)=\exp(\alpha s)\,M_{g}\left(\beta s+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}s^{2}\right),}$

где - моментная производящая функция распределения вероятностей с функцией плотности , т. е.${\displaystyle M_{g}}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle M_{g}(s)=E\left(\exp(sV)\right)=\int _{0}^{\infty }\exp(sv)g(v)\,dv.}$

См. Также [ править ]

• Нормально-обратное гауссово распределение

Ссылки [ править ]

О. Е. Барндорф-Нильсен , Дж. Кент и М. Соренсен (1982): «Нормальные смеси средних значений дисперсии и z-распределения», International Statistical Review , 50, 145–159.