Обобщенное гиперболическое распределение

Обобщенный гиперболический

Параметры	${\ displaystyle \ lambda}$ (реальный) (реальный) параметр асимметрии (реальный) параметр масштаба (реальный) местоположение ( реальный ) ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ delta}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ gamma = {\ sqrt {\ alpha ^ {2} - \ beta ^ {2}}}}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х \ в (- \ infty; + \ infty) \!}$
PDF	${\ displaystyle {\ frac {(\ gamma / \ delta) ^ {\ lambda}} {{\ sqrt {2 \ pi}} K _ {\ lambda} (\ delta \ gamma)}} \; e ^ {\ beta (х- \ му)} \!}$ ${\displaystyle \times {\frac {K_{\lambda -1/2}\left(\alpha {\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}\right)}{\left({\sqrt {\delta ^{2}+(x-\mu )^{2}}}/\alpha \right)^{1/2-\lambda }}}\!}$
Иметь в виду	${\displaystyle \mu +{\frac {\delta \beta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$
Дисперсия	${\displaystyle {\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma K_{\lambda }(\delta \gamma )}}+{\frac {\beta ^{2}\delta ^{2}}{\gamma ^{2}}}\left({\frac {K_{\lambda +2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-{\frac {K_{\lambda +1}^{2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }^{2}(\delta \gamma )}}\right)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{\mu z}\gamma ^{\lambda }}{({\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})^{\lambda }}}{\frac {K_{\lambda }(\delta {\sqrt {\alpha ^{2}-(\beta +z)^{2}}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}}$

Обобщенное гиперболическое распределение ( GH ) является непрерывным распределением вероятности определяется как нормальные дисперсиями среднеквадратичной смеси , где смешивание распределение является обобщенным обратным гауссовым распределением (GIG). Его функция плотности вероятности (см. Рамку) дается в терминах модифицированной функции Бесселя второго рода , обозначаемой . ^[1] Он был введен Оле Барндорф-Нильсеном , который изучал его в контексте физики песка, переносимого ветром . ^[2]${\displaystyle K_{\lambda }}$

Свойства [ править ]

Линейное преобразование [ править ]

Этот класс замкнут относительно аффинных преобразований . ^[1]

Суммирование [ править ]

Барндорф-Нильсен и Халгрин доказали, что распределение GIG бесконечно делимо, и поскольку распределение GH может быть получено как нормальная смесь средних дисперсий, где распределение смешивания является обобщенным обратным распределением Гаусса , Барндорф-Нильсен и Халгрин показали, что распределение GH бесконечно делится. ^[3]

Не удается закрыть сверткой [ править ]

Важным моментом о безгранично делимых распределениях является их связь с процессами Леви., т. е. в любой момент времени процесс Леви бесконечно делимо распределен. Многие семейства хорошо известных безгранично делимых распределений являются так называемыми сверточно-замкнутыми, т. Е. Если распределение процесса Леви в один момент времени принадлежит одному из этих семейств, то распределение процесса Леви во все моменты времени принадлежит к тому же семейству дистрибутивов. Например, пуассоновский процесс будет распределен по Пуассону во все моменты времени, или броуновское движение будет нормально распределено во все моменты времени. Однако процесс Леви, который является обобщенно гиперболическим в один момент времени, может не быть обобщенно гиперболическим в другой момент времени. Фактически,обобщенные распределения Лапласа и нормальные обратные гауссовские распределения являются единственными подклассами обобщенных гиперболических распределений, которые замкнуты при свертке.^[4]

Связанные дистрибутивы [ править ]

Как следует из названия , это имеет очень общего вид, будучи суперкласс, среди прочего, в Стьюденте т -распределение , то распределение Лапласа , то гиперболическое распределение , то нормальное обратное гауссовское распределение и распределение дисперсии гаммы .

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-{\frac {\nu }{2}},0,0,{\sqrt {\nu }},\mu )\,}$имеет Стьюдента т -распределение с степенями свободы.${\displaystyle \nu }$
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$имеет гиперболическое распределение .

• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (-1/2,\alpha ,\beta ,\delta ,\mu )\,}$имеет нормально-обратное гауссовское распределение (NIG).
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)\,}$ нормально-обратное распределение хи-квадрат
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (?,?,?,?,?)\,}$ нормально-обратное гамма-распределение (NI)
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (\lambda ,\alpha ,\beta ,0,\mu )\,}$имеет дисперсионно-гамма-распределение
• ${\displaystyle X\sim \mathrm {GH} (1,1,0,0,\mu )\,}$имеет распределение Лапласа с параметром местоположения и параметром масштаба 1.${\displaystyle \mu }$

Приложения [ править ]

Он в основном применяется к областям, которые требуют достаточной вероятности поведения в дальней зоне ^{[ необходимо пояснение ]} , которое он может моделировать благодаря своим полутяжелым хвостам - свойству, которым нормальное распределение не обладает. Обобщенное гиперболическое распределение часто используется в экономике, с конкретным применением в области моделирования финансовых рынков и управления рисками, в связи с его полом-тяжелыми хвостами.

Ссылки [ править ]