О размерах и расстояниях (Аристарх)

В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Ноябрь 2008 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Расчеты Аристарха 3-го века до н.э. относительно относительных размеров Солнца, Земли и Луны (слева направо) из греческой копии 10-го века нашей эры.

О размерах и расстояниях (Солнца и Луны) (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης], Peri megethon kai apostematon ) широко признается как единственная сохранившаяся работа, написаннаядревним греческим астрономом Аристархом в 310 г. –230 г. до н. Э. В этой работе вычисляются размеры Солнца и Луны , а также их расстояния от Земли в единицах радиуса Земли.

Книга была предположительно сохранена студентами курса математики Паппа Александрийского , хотя свидетельств этого нет. В первое издание было опубликовано Джон Уоллис в 1688, используя несколько средневековых рукописей , собранных сэром Генри Сэвил . ^[1] Самый ранний латинский перевод был сделан Джорджо Валла в 1488 Существует также 1572 латинский перевод и комментарий по Фредерико Commandino . ^{[2] [3]}

Символы [ править ]

Методика работы основывалась на нескольких наблюдениях:

• Видимый размер Солнца и Луны на небе.
• Размер тени Земли относительно Луны во время лунного затмения
• Угол между Солнцем и Луной во время полумесяца очень близок к 90 °.

Остальная часть статьи детализирует реконструкцию метода и результатов Аристарха. ^[4] Реконструкция использует следующие переменные:

Half Moon [ править ]

Аристарх начал с предположения, что во время полумесяца Луна образует прямоугольный треугольник с Солнцем и Землей. Наблюдая за углом между Солнцем и Луной, φ , отношение расстояний до Солнца и Луны может быть вычислено с помощью одной из форм тригонометрии .

Из диаграммы и тригонометрии мы можем вычислить, что

${\displaystyle {\frac {S}{L}}={\frac {1}{\cos \varphi }}=\sec \varphi .}$

Диаграмма сильно преувеличена, потому что в действительности S = 390 L , а φ очень близко к 90 °. Аристарх определил φ на тридцатую часть квадранта (в современных терминах, на 3 °) меньше прямого угла: в современной терминологии 87 °. Тригонометрические функции еще не были изобретены, но, используя геометрический анализ в стиле Евклида , Аристарх определил, что

${\displaystyle 18<{\frac {S}{L}}<20.}$

Другими словами, расстояние до Солнца было где-то в 18-20 раз больше, чем расстояние до Луны. Это значение (или значения, близкие к нему) были приняты астрономами в течение следующих двух тысяч лет, пока изобретение телескопа не позволило более точно оценить солнечный параллакс .

Аристарх также рассуждал, что, поскольку угловые размеры Солнца и Луны были одинаковыми, но расстояние до Солнца было в 18-20 раз дальше, чем Луна, Солнце, следовательно, должно быть в 18-20 раз больше.

Лунное затмение [ править ]

Затем Аристарх использовал другую конструкцию, основанную на лунном затмении:

По подобию треугольников и ${\displaystyle {\frac {D}{L}}={\frac {t}{t-d}}\quad }$${\displaystyle \quad {\frac {D}{S}}={\frac {t}{s-t}}.}$

Разделив эти два уравнения и используя наблюдение, что видимые размеры Солнца и Луны одинаковы , дает${\displaystyle {\frac {L}{S}}={\frac {\ell }{s}}}$

${\displaystyle {\frac {\ell }{s}}={\frac {t-d}{s-t}}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {s-t}{s}}={\frac {t-d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ 1-{\frac {t}{s}}={\frac {t}{\ell }}-{\frac {d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {t}{\ell }}+{\frac {t}{s}}=1+{\frac {d}{\ell }}.}$

Крайнее правое уравнение может быть решено относительно ℓ / t

${\displaystyle {\frac {t}{\ell }}(1+{\frac {\ell }{s}})=1+{\frac {d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+{\frac {\ell }{s}}}{1+{\frac {d}{\ell }}}}.}$

или с / т

${\displaystyle {\frac {t}{s}}(1+{\frac {s}{\ell }})=1+{\frac {d}{\ell }}\ \ \Rightarrow \ \ {\frac {s}{t}}={\frac {1+{\frac {s}{\ell }}}{1+{\frac {d}{\ell }}}}.}$

Внешний вид этих уравнений можно упростить, используя n = d / ℓ и x = s / ℓ .

${\displaystyle {\frac {\ell }{t}}={\frac {1+x}{x(1+n)}}}$

${\displaystyle {\frac {s}{t}}={\frac {1+x}{1+n}}}$

Приведенные выше уравнения полностью определяют радиусы Луны и Солнца в виде наблюдаемых величин.

Следующие формулы дают расстояния до Солнца и Луны в земных единицах:

${\displaystyle {\frac {L}{t}}=\left({\frac {\ell }{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

${\displaystyle {\frac {S}{t}}=\left({\frac {s}{t}}\right)\left({\frac {180}{\pi \theta }}\right)}$

где θ - видимый радиус Луны и Солнца, измеренный в градусах.

Маловероятно, что Аристарх использовал эти точные формулы, но эти формулы, вероятно, являются хорошим приближением к формулам Аристарха.

Результаты [ править ]

Приведенные выше формулы могут быть использованы для реконструкции результатов Аристарха. В следующей таблице показаны результаты давней (но сомнительной) реконструкции с использованием n = 2, x = 19,1 ( φ = 87 °) и θ = 1 °, наряду с современными принятыми значениями.

^{[ необходима цитата ]}

Ошибка в этом вычислении происходит, прежде всего, из-за плохих значений x и θ . Плохое значение θ особенно удивительно, поскольку Архимед пишет, что Аристарх был первым, кто определил, что Солнце и Луна имеют видимый диаметр в полградуса. Это дало бы значение θ= 0,25, и соответствующее расстояние до Луны в 80 радиусов Земли, гораздо лучшая оценка. Несогласие работы с Архимедом, по-видимому, связано с утверждением Аристарха о том, что лунно-солнечный диаметр составляет 1/15 «мероса» зодиака, что означает 1/15 зодиакального знака (30 °), не зная, что Греческое слово «мерос» означало либо «часть», либо 7 ° 1/2; и 1/15 последней суммы составляет 1 ° / 2, что согласуется с показаниями Архимеда.

Аналогичная процедура была позже использована Гиппархом , который по оценкам среднего расстояния до Луны , как 67 радиусов Земли, и Птолемея , который принял 59 радиусов Земли для этого значения.

Иллюстрации [ править ]

Некоторые интерактивные иллюстрации предложений в разделе « Размеры» можно найти здесь:

• Гипотеза 4 утверждает, что когда Луна кажется нам уменьшенной вдвое, ее расстояние от Солнца будет меньше квадранта на одну тридцатую квадранта [то есть меньше 90 ° на 1/30 от 90 ° или на 3 °. , и поэтому равен 87 °] (Heath 1913: 353).
• Предложение 1 утверждает, что две равные сферы охватываются одним и тем же цилиндром, а две неравные сферы - одним и тем же конусом, вершина которого находится в направлении меньшей сферы; и прямая линия, проведенная через центры сфер, проходит под прямым углом к ​​каждой из окружностей, в которых поверхность цилиндра или конуса касается сфер (Heath 1913: 354).
• Утверждение 2 гласит, что если сфера освещается сферой, большей, чем она сама, то освещенная часть первой сферы будет больше, чем полусфера (Heath 1913: 358).
• Утверждение 3 гласит, что круг на Луне, разделяющий темную и яркую части, является наименьшим, когда конус, охватывающий и Солнце, и Луну, имеет вершину у нашего глаза (Heath 1913: 362).
• Утверждение 4 гласит, что круг, разделяющий темную и яркую части на Луне, заметно не отличается от большого круга на Луне (Heath 1913: 365).
• Утверждение 6 гласит, что Луна движется [по орбите] ниже, чем [орбита] Солнца, и, когда она уменьшена вдвое, находится на расстоянии меньше квадранта от Солнца (Heath 1913: 372).
• Предложение 7 гласит, что расстояние от Солнца до Земли больше, чем в 18 раз, но меньше, чем в 20 раз, расстояния Луны от Земли (Heath 1913: 377). Другими словами, Солнце находится в 18-20 раз дальше и шире Луны.
• Утверждение 13 гласит, что прямая линия, соединяющая часть, пересеченную в пределах земной тени, окружности круга, в котором края круга, разделяющего темную и яркую части Луны, движутся меньше чем вдвое диаметра окружности. Луна, но имеет отношение к ней большее, чем отношение 88 к 45; и он составляет менее 1/9 части диаметра Солнца, но имеет отношение к нему больше, чем 21, к 225. Но у него есть прямая линия, проведенная из центра Солнца под прямым углом к ось и встречающиеся со сторонами конуса отношение больше, чем отношение 979 к 10 125 (Heath 1913: 394).
• Предложение 14 гласит, что прямая линия, соединяющая центр Земли с центром Луны, имеет прямую, отрезанную от оси к центру Луны прямой линией, проходящей через [окружность] в тени Земли a отношение больше, чем у 675 к 1 (Heath 1913: 400).
• Предложение 15 утверждает, что диаметр Солнца имеет отношение к диаметру Земли больше 19/3, но меньше 43/6 (Heath 1913: 403). Это означает, что Солнце (в среднем) в 6¾ раз шире Земли или что Солнце имеет ширину 13½ земного радиуса. Тогда Луна и Солнце должны находиться на расстоянии 20¼ и 387 земных радиусов от нас, чтобы иметь угловой размер 2º.
• Предложение 17a в средневековой арабской версии книги Ат -Туси о размерах утверждает, что отношение расстояния вершины теневого конуса от центра Луны (когда Луна находится на оси [то есть в середине затмение] конуса, содержащего Землю и Солнце) к расстоянию от центра Луны до центра Земли больше отношения 71 к 37 и меньше отношения 3 к одному (Berggren & Sidoli 2007: 218). ^[5] Другими словами, вершина теневого конуса Земли находится между 108/37 и в четыре раза дальше, чем Луна.

Известные копии [ править ]

• Выставка Библиотеки Конгресса Ватикана.

См. Также [ править ]

• Аристарх Самосский
• Эратосфен , греческий математик, рассчитавший расстояние от Земли до Солнца.
• Гиппарх
• О размерах и расстояниях (Гиппарх)
• Посидоний , греческий философ, рассчитавший длину окружности Земли.

Заметки [ править ]

Библиография [ править ]

• Хит, Томас (1913). Аристарх Самосский, Древний Коперник . Оксфорд: Кларендон. Позже это было перепечатано, см. ( ISBN 0-486-43886-4 ). 
• ван Хелден, А. Измерение Вселенной: космические измерения от Аристарха до Галлея . Чикаго: Univ. of Chicago Pr., 1985. ISBN 0-226-84882-5 .