Одностороннее волновое уравнение

В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Апрель 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Волновое уравнение односторонний является частичным дифференциальным уравнение используется в научных областях , такие как геофизика , чьи решения включают в себя только волны , которые распространяются в одном направлении. ^[1] В одномерном случае уравнение односторонней волны позволяет рассчитать распространение волны без осложнений, связанных с наличием как исходящей, так и входящей волны (например, деструктивной или конструктивной интерференции). Некоторые методы аппроксимации используют одномерное уравнение односторонней волны для трехмерных сейсмических расчетов. ^{[2] [3] [4]}

Одномерный случай [ править ]

Стандартное волновое уравнение 2-го порядка в одном измерении можно записать как:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial t ^ {2}}} - c ^ {2} {\ frac {\ partial ^ {2} s} {\ partial x ^ {2 }}} = 0}$,

где - координата, - время, - смещение, - скорость волны.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\displaystyle s=s(x,t)}$${\displaystyle c}$

Из-за неоднозначности направления скорости волны, уравнение не ограничивает направление волны и поэтому имеет решения, распространяющиеся как в прямом ( ), так и в обратном ( ) направлениях. Общее решение уравнения - решения в этих двух направлениях: ${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$${\displaystyle +x}$${\displaystyle -x}$

${\textstyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)}$

где и - равные и противоположные перемещения. ${\displaystyle s_{+}}$${\displaystyle s_{-}}$

Когда формулируется задача односторонней волны, направление распространения волны может быть выбрано произвольно, удерживая один из двух членов в общем решении.

Факторизация оператора в левой части уравнения дает пару односторонних волновых уравнений, одно с решениями, которые распространяются вперед, а другое с решениями, которые распространяются в обратном направлении. ^{[5] [6]}

${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{\biggr )}s={\biggl (}{\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}{\biggr )}{\biggl (}{\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}{\biggr )}s=0,}$

Волны, бегущие вперед и назад, описываются соответственно:

${\textstyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$

Односторонние волновые уравнения (в однородной среде) также могут быть получены непосредственно из характеристического удельного акустического импеданса . ^{[ сомнительно - обсудить ]} В продольной плоской волне удельный импеданс определяет локальную пропорциональность давления и скорости частиц : ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle p=p(x,t)}$${\displaystyle v=v(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$

с = плотность.${\displaystyle \rho }$

Преобразование уравнения импеданса приводит к:

${\displaystyle v-{\frac {1}{\rho c}}p=0}$ (*)

Продольная плоская волна угловой частоты имеет смещение . Давление и скорость частицы могут быть выражены через смещение ( : модуль упругости ): ^{[7] [ необходим лучший источник ]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle s=s(x,t)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$ [Это полностью аналогично напряжению в механике : с деформацией , определяемой как ]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma =E\epsilon }$${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$

${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$

Эти отношения, вставленные в приведенное выше уравнение (*), дают:

${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$

С определением локальной скорости волны ( скорости звука ):

${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$

непосредственно следует уравнению в частных производных 1-го порядка одностороннего волнового уравнения:

${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$

Скорость волны может быть задана в этом волновом уравнении как направление распространения волны или в соответствии с ним.${\displaystyle c}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle -c}$

Для распространения волны в направлении единственного решения есть ${\displaystyle +c}$

${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$

а для распространения волны в направлении соответствующее решение имеет вид${\displaystyle -c}$

${\textstyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$

^[8]

См. Также [ править ]

• волновое уравнение

• стоячая волна

Ссылки [ править ]