В математике , в области обыкновенных дифференциальных уравнений , нетривиальное решение обыкновенного дифференциального уравнения
называется колеблющимся, если имеет бесконечное число корней ; в противном случае он называется не колеблющимся . Дифференциальное уравнение называется осциллирующим, если оно имеет колеблющееся решение. Число корней несет также информацию о спектре связанных краевых задач .
Примеры
Дифференциальное уравнение
колеблется, поскольку sin ( x ) является решением.
Связь со спектральной теорией
Теория колебаний была инициирована Жаком Шарлем Франсуа Штурмом в его исследованиях проблем Штурма – Лиувилля в 1836 году. Там он показал, что n-я собственная функция задачи Штурма – Лиувилля имеет ровно n-1 корень. Для одномерного уравнения Шредингера вопрос о колебаниях / неосцилляции отвечает на вопрос, накапливаются ли собственные значения в нижней части непрерывного спектра.
Теория относительных колебаний
В 1996 году Gesztesy - Simon - Teschl показал , что число корней Вронского детерминанта двух собственных функций задачи Штурма-Лиувилля дает число собственных значений между соответствующими собственными значениями. Позднее он был обобщен Крюгером – Тешлем на случай двух собственных функций двух различных задач Штурма – Лиувилля. Исследование числа корней определителя Вронского двух решений известно как теория относительных колебаний.
Смотрите также
Классическими результатами теории колебаний являются:
Рекомендации
- Аткинсон, Ф.В. (1964). Дискретные и непрерывные краевые задачи . Академическая пресса. ISBN 978-0-08-095516-2.
- Gesztesy, F .; Саймон, Б .; Тешл, Г. (1996). «Нули вронскианской и перенормированной теории колебаний» (PDF) . Являюсь. J. Math . 118 (3): 571–594. DOI : 10,1353 / ajm.1996.0024 .
- Крейт, К. (1973). Теория колебаний . Конспект лекций по математике. 324 . Springer. DOI : 10.1007 / BFb0067537 . ISBN 978-3-540-40005-9.
- Krüger, H .; Тешл, Г. (2009). «Теория относительных колебаний, взвешенные нули вронскиана и функция спектрального сдвига». Commun. Математика. Phys . 287 (2): 613–640. arXiv : math / 0703574 . Bibcode : 2009CMaPh.287..613K . DOI : 10.1007 / s00220-008-0600-8 .
- Штурм, JCF (1836). "Воспоминание о различных линейных уравнениях второго порядка". J. Math. Pures Appl . 1 : 106–186. DOI : 10.1007 / 978-3-7643-7990-2_30 .
- Суонсон, Калифорния (2016) [1968]. Сравнение и теория колебаний линейных дифференциальных уравнений . Эльзевир. ISBN 978-1-4832-6667-1.
- Тешл, Г. (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- Вайдманн, Дж. (1987). Спектральная теория обыкновенных дифференциальных операторов . Конспект лекций по математике. 1258 . Springer. DOI : 10.1007 / BFb0077960 . ISBN 978-3-540-47912-3.